Линейные уравнения с постоянными коэффициентами матпрофи

Mathprofi ru дифференциальные уравнения

• Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
• Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x quad (x
e 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, , y(1/3)=1, , y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= frac , y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+cos x, quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^ .$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=frac > >, quad y(0)=4ln 4, y'(0)=3(3ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
• действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
• комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
• y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
• y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
• записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Ниже разберем способы, как решить линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше второго, имеющих постоянные коэффициенты. Подобные уравнения представлены записями y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) , в которых f 0 , f 1 , . . . , f n — 1 — являются действительными числами, а функция f ( x ) является непрерывной на интервале интегрирования X .

Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.

Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ

Мы зададим формулировку двух теорем, показывающих, какого вида общих решений ЛОДУ и ЛНДУ n -ого порядка следует искать.

Общим решением y 0 ЛОДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 на интервале
X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) непрерывны на X ) будет линейная комбинация
n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , содержащая произвольные постоянные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .

Общим решением y ЛНДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) на интервале X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) непрерывны на X ) и функцией f ( x ) будет являться сумма y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 , а y

— некоторое частное решение исходного ЛНДУ.

Итак, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, содержащего постоянные коэффициенты y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) , нужно искать, как y = y 0 + y

— некоторое его частное решение, а y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 .

В первую очередь рассмотрим, как осуществлять нахождение y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j — общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами, а потом научимся определять частное решение y

линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах.

Алгебраическое уравнение n -ого порядка k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 носит название характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка, содержащего постоянные коэффициенты, записи y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 .

Возможно определить n частных линейно независимых решений y 1 , y 2 , . . . , y n исходного ЛОДУ, исходя из значений найденных n корней характеристического уравнения k 1 , k 2 , . . . , k n .

Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ

Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.

1. Когда все решения k 1 , k 2 , . . . , k n характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 действительны и различны, линейно независимые частные решения будут выглядеть так:
   y 1 = e k 1 · x , y 2 = e k 2 · x , . . . , y n = e k n · x . Общее же решение ЛОДУ n -ого порядка при постоянных коэффициентах запишем как: y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x + . . . + C n · e k n · x .

Пример 1

Задано ЛОДУ третьего порядка, содержащее постоянные коэффициенты y ‘ ‘ ‘ — 3 y » — y ‘ + 3 y = 0 . Определите его общее решение.

Решение

Cоставим характеристическое уравнение и найдем его корни, разложив предварительно многочлен из левой части равенства на множители, используя метод группировки:
k 3 — 3 k 2 — k + 3 = 0 k 2 ( k — 3 ) — ( k — 3 ) = 0 ( k 2 — 1 ) ( k — 3 ) = 0 k 1 = — 1 , k 2 = 1 , k 3 = 3

Ответ: найденные корни являются действительными и различными, значит общее решение ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами запишем как: y 0 = C 1 · e — x + C 2 e x + C 3 · e 3 x .

1. Когда решения характеристического уравнения являются действительными и одинаковыми ( k 1 = k 2 = . . . = k n = k 0 ) , линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами буду иметь вид: y 1 = e k 0 · x , y 2 = x · e k 0 · x , . . . , y n = x n — 1 · e k 0 · x .

Общее же решение ЛОДУ будет выглядеть так:
y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · e k 0 · x + . . . + C n · x n — 1 · e k 0 · x = = e k 0 · x · C 1 + C 2 · x + . . . + C n · x n — 1

Задано дифференциальное уравнение: y ( 4 ) — 8 k ( 3 ) + 24 y » — 32 y ‘ + 16 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.

Решение

Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 — 8 k 3 + 24 k 2 — 32 k + 16 = 0 .

Преобразуем данное характеристическое уравнение, используя формулу бинома Ньютона, оно примет вид: k — 2 4 = 0 . Отсюда мы выделим его четырехкратный корень k 0 = 2 .

Ответ: общим решением заданного ЛОДУ станет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 · x + C 3 · x 2 + C 4 · x 3

1. Когда решения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах — различные комплексно сопряженные пары α 1 ± i · β 1 , α 2 ± i · β 2 , . . . , α m ± i · β m , n = 2 m , линейно независимые частные решения такого ЛОДУ будут иметь вид:
   y 1 = e α 1 x · cos β 1 x , y 2 = e α 1 x · sin β 1 x , y 3 = e α 2 x · cos β 2 x , y 4 = e α 2 x · sin β 2 x , … y n — 1 = e α m x · cos β m x , y n = e α m x · sin β m x

Общее же решение запишем так:

y 0 = e α 1 x · C 1 · cos β 1 x + C 2 · sin β 1 x + + e α 2 x · C 3 · cos β 2 x + C 4 · sin β 2 x + . . . + + e α m x · C n — 1 · cos β m x + C n · sin β m x

Задано ЛОДУ четвертого порядка при постоянных коэффициентах y ( 4 ) — 6 y ( 3 ) + 14 y » — 6 y ‘ + 13 y = 0 . Необходимо его проинтегрировать.

Решение

Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 — 6 k 3 + 14 k 2 — 6 k + 13 = 0 . Осуществим преобразования и группировки:

k 4 — 6 k 3 + 14 k 2 — 6 k + 13 = 0 k 4 + k 2 — 6 k 3 + k + 13 k 2 + 1 = 0 k 2 + 1 k 2 — 6 k + 13 = 0

Из полученного результата несложно записать две пары комплексно сопряженных корней k 1 , 2 = ± i и k 3 , 4 = 3 ± 2 · i .

Ответ: общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами запишется как:
y 0 = e 0 · C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x = = C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x

1. Когда решения характеристического уравнения — это совпадающие комплексно сопряженные пары α ± i · β , линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами будут записи:
   y 1 = e α · x · cos β x , y 2 = e α · x · sin β x , y 3 = e α · x · x · cos β x , y 4 = e α · x · x · sin β x , … y n — 1 = e α · x · x m — 1 · cos β x , y n = e α · x · x m — 1 · sin β x

Общим решением ЛОДУ будет:

y 0 = e α · x · C 1 · cos β x + C 2 · sin β x + + e α · x · x · C 4 · cos β x + C 3 · sin β x + . . . + + e α · x · x m — 1 · C n — 1 · cos β x + C n · sin β x = = e α · x · cos β x · C 1 + C 3 · x + . . . + C n — 1 · x m — 1 + + e α · x · sin β x · C 2 + C 4 · x + . . . + C n · x m — 1

Задано линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y ( 4 ) — 4 y ( 3 ) + 14 y » — 20 y ‘ + 25 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.

Решение

Составим запись характеристического уравнения, заданного ЛОДУ, и определим его корни:

k 4 — 4 k 3 + 14 k 2 — 20 k + 25 = 0 k 4 — 4 k 3 + 4 k 2 + 10 k 2 — 20 k + 25 = 0 ( k 2 — 2 k ) 2 + 10 ( k 2 — 2 k ) + 25 = 0 ( k 2 — 2 k + 5 ) 2 = 0 D = — 2 2 — 4 · 1 · 5 = — 16 k 1 , 2 = k 3 , 4 = 2 ± — 16 2 = 1 ± 2 · i

Таким образом, решением характеристического уравнения будет двукратная комплексно сопряженная пара α ± β · i = 1 ± 2 · i .

Ответ: общее решение заданного ЛОДУ: y 0 = e x · cos 2 x · ( C 1 + C 3 · x ) + e x · sin 2 x · ( C 2 + C 4 · x )

1. Встречаются различные комбинации указанных случаев: некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые — действительными и совпадающими, а какие-то — комплексно сопряженными парами или совпадающими комплексно сопряженными парами.

Пример 5

Задано дифференциальное уравнение y ( 5 ) — 9 y ( 4 ) + 41 ( 3 ) + 35 y » — 424 y ‘ + 492 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.

Решение

Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 5 — 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 — 424 k + 492 = 0 .

Левая часть содержит многочлен, который возможно разложить на множители. В числе делителей свободного члена определяем двукратный корень k 1 = k 2 = 2 и корень k 3 = — 3 .

На основе схемы Горнера получим разложение: k 5 — 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 — 424 k + 492 = k + 3 k — 2 2 k 2 — 8 k + 41 .

Квадратное уравнение k 2 — 8 k + 41 = 0 дает нам оставшиеся корни k 4 , 5 = 4 ± 5 · i .

Ответ: общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 x + C 3 · e — 3 x + e 4 x · C 4 · cos 5 x + C 5 · sin 5 x

Таким образом, мы рассмотрели основные случаи, когда возможно определить y 0 — общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами.

Следующее, что мы разберем – это ответ на вопрос, как решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -ого порядка с постоянными коэффициентами записи y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) .

Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: y = y 0 + y

. Поскольку мы уже умеем определять y 0 , остается разобраться с нахождением y

, т.е. частного решения ЛНДУ порядка n с постоянными коэффициентами.

Приведем все способы нахождения y

согласно тому, какой вид имеет функция f ( x ) , находящаяся в правой части рассматриваемого ЛНДУ.

Когда f ( x ) представлена в виде многочлена n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , частным решением ЛНДУ станет: y

= Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом степени n , а r – указывает, сколько корней характеристического уравнения равно нулю.
Когда функция f ( x ) представлена в виде произведения многочлена степени n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e α · x , частным решением ЛНДУ второго порядка станет: y

= e α · x · Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом n —ой степени, r указывает, сколько корней характеристического уравнения равно α .
Когда функция f ( x ) записана как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin ( β x ) , где А 1 и В 1 – числа, частным решением ЛНДУ станет запись y

= A cos β x + B sin β x · x γ . Здесь где А и В являются неопределенными коэффициентами, r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно ± i β .
Когда f ( x ) = e α x · P n ( x ) sin β x + Q k x cos β x , то y

= e α x · L m x sin β x + N m x cos β x · x γ , где r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно α ± i β , P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , m и m соответственно, m = m a x ( n , k ) .

Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства y

( n — 1 ) + . . . + f 1 y

Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.

Когда функция f ( x ) имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.

Пусть нам заданы y j , j = 1 , 2 , . . . , n — n линейно независимые частные решения соответствующего ЛОДУ, тогда, используя различные вариации произвольных постоянных, общим решением ЛНДУ
n -ого порядка с постоянными коэффициентами будет запись: н = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j . В нахождении производных функций C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n поможет система уравнений:

∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0

а собственно функции C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n найдем при последующем интегрировании.

Задано ЛНДУ с постоянными коэффициентами: y ‘ ‘ ‘ — 5 y » + 6 y ‘ = 2 x . Необходимо найти его общее решение.

Решение

Составим характеристическое уравнение: k 3 — 5 k 2 + 6 k = 0 . Корни данного уравнения: k 1 = 0 , k 2 = 2 и k 3 = 3 . Таким образом, общим решением ЛОДУ будет запись: y 0 = C 1 + C 2 · e 2 x + C 3 · e 3 x , а частные линейно независимые решения это: y 1 = 1 , y 2 = e 2 x , y 3 = e 3 x .

Варьируем произвольные постоянные: y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x .

Чтобы определить C 1 ( x ) , C 2 ( x ) и C 3 ( x ) , составим систему уравнений:

C ‘ 1 ( x ) · y 1 + C ‘ 2 ( x ) · y 2 + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y ‘ 1 + C ‘ 2 ( x ) · y ‘ 2 + C ‘ 3 ( x ) · y ‘ 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y » 1 + C ‘ 2 ( x ) · y » 2 + C ‘ 3 ( x ) · y » 3 = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ ‘ = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 2 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 3 e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 4 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 9 e 3 x = 2 x

Решаем, используя метод Крамера:

∆ = 1 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 0 4 e 2 x 9 e 3 x = 18 e 2 x · e 3 x — 12 e 2 x · e 3 x = 6 e 5 x ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 2 x 4 e 2 x 9 e 3 x = e 5 x · 2 x ⇒ C ‘ 1 ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = e 5 x · 2 x 6 e 5 x = 1 6 · 2 x ∆ C 2 ‘ ( x ) = 1 0 e 3 x 0 0 3 e 3 x 0 2 x 9 e 3 x = — 3 e x · 2 x ⇒ C ‘ 2 ( x ) = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = — 3 e 3 x · 2 x 6 e 5 x = — 1 2 · e — 2 x · 2 x ∆ C 3 ‘ ( x ) = 1 e 2 x 0 0 2 e 2 x 0 0 4 e 2 x 2 x = 2 e 2 x · 2 x ⇒ C ‘ 3 ( x ) = ∆ C 3 ‘ ( x ) ∆ = 2 e 2 x · 2 x 6 e 5 x = 1 3 · e — 3 x · 2 x

Интегрируем C ‘ 1 ( x ) = 1 6 · 2 x с помощью таблицы первообразных, а
C ‘ 2 ( x ) = — 1 2 · e — 2 x · 2 x и C ‘ 3 ( x ) = 1 3 · e — 3 x · 2 x при помощи метода интегрирования по частям, получим:
C 1 ( x ) = 1 6 · ∫ 2 x d x = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 C 2 ( x ) = — 1 2 · ∫ e — 2 x · 2 x d x = — 1 2 · e — 2 x · 2 x ln 2 — 2 + C 5 C 3 ( x ) = 1 3 · ∫ e — 3 x · 2 x d x = 1 3 · e — 3 x · 2 x ln 2 — 3 + C 6

Ответ: искомым общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x = = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 + — 1 2 · e — 2 x · 2 x ln 2 — 2 + C 5 · e 2 x + + 1 3 · e — 3 x · 2 x ln 2 — 3 + C 6 · e 3 x

где C 4 , C 5 и C 6 – произвольные постоянные.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1) .
Член f ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.

Здесь все коэффициенты a _i – постоянные. n – порядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2) .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.

Линейно независимые функции – это такие функции, для которых соотношение

может выполняться только если все постоянные равны нулю.

Линейно зависимые функции – это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3) .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.

Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-07-2013 Изменено: 13-12-2019