Задача Коши онлайн
Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
при заданных начальных условиях:
При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .
Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:
удовлетворяющее начальным условиям:
Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:
Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:
Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :
Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :
Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:
Другие полезные разделы:
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
Линейные уравнения с постоянными задача коши
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;
3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;
5) – уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).
Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.
△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем
x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲
508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.
△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
, или
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
▲
509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.
△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.
Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.
△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим
, или ln |y| = – arctg x + С
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,
ln у = – arctg х + π/4,
откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Применения операционного исчисления
Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами
Пример 1.
Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin
Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin
Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin . \end Пример 2. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin Запишем операторное уравнение: \begin Пример 3. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Пример 4. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Решаем полученное уравение: \begin . \end Пример 5. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Запишем изображения: \begin , \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1> . \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1> .\\ \end Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end Пример 6. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \begin . &\\ \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end Пример 7. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1> .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin +\displaystyle\frac<4> -\displaystyle\frac<2p+3> \risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox +\displaystyle\frac<2> \risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox Введем обозначения: Запишем алгоритм решения. ,\\ h(p)=p^n+a_1p^ 2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin Пример 8. Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin 2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin . \end \,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1> Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin Пример 9 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin -\frac . \end Находим изображение для $\displaystyle\frac<1> $ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin \risingdotseq \mbox \risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox $ по теореме запаздывания будет равно: \begin \risingdotseq (-\mbox Решение заданного уравнения: \begin Пример 10 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end (1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2> (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin =\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда. Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin http://an-site.ru/kr/ko.htm http://vmath.ru/vf5/oplaplace/seminar5_2Решение задачи Коши для систем линейных ДУ
Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда
Решение задачи Коши с периодической правой частью