Линейные уравнения в целых числах 7 класс

Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Методический комментарий к уроку

Развитие личности в системе образования обеспечивается, прежде всего, через формирование универсальных учебных действий. Овладение учащимися универсальными учебными действиями создаёт возможность самостоятельного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения, т.е. умения учиться. Системно-деятельностный подход обуславливает определение цели школьного обучения не только усвоение знаний, умений и навыков, но, прежде всего умение учиться. Создание проблемной ситуации, аргументирование актуальности проблемы, действия постановки и решения проблемы творческого и поискового характера способствуют личностному и познавательному развитию учащихся.

Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах является неизвестным материалом для подавляющего большинства учащихся 7 класса. Это новое знание можно ввести в традиционной форме, а можно и другими методами. Нами выбрана технология проблемно-диалогического обучения, так как посредством диалога можно сформулировать тему или вопрос для исследования, тем самым вызвать у учащихся интерес к теме урока. Далее в диалоге же организуется “открытие” знания учениками, добиваясь подлинного понимания материала, ибо нельзя не понимать то, что ты открыл собственной головой.

Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения уравнений, учиться решать задачи, развивать потребность выбора наиболее оптимальных способов решения, формирование математической интуиции.

Психологическая установка учащимся:

На уроке можно выдвигать гипотезы, ошибаться, сомневаться. Дать себе установку: “понять , запомнить и уметь видеть решение.”.

“Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому” (Д. Пойа)

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Методическая разработка урока по алгебре в 7 классе «Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Гаврилова НЛ_.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

МБОУ «СОШ №14» г.Братск 2014г

Обучение должно быть трудным, но посильным. «Страшная опасность – это безделье за партой; безделье шесть часов ежедневно, безделье месяцы и годы. Это развращает». В.А. Сухомлинский «Математика – наука для глаз, а не для ушей». К.Ф. Гаусс

Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей (Сюжет был предложен Б. А. Кордемским в статье «Этому виду задач более 1 600 лет» в журнале «Квант» [13]). Сказочнице, очевидно, потребуется x + у ночей, где x и у — натуральные корни уравнения 3х + 5у = 1001, которое и называют диофантовым уравнением в честь знаменитого математика II—III веков н. э. Диофанта.

Диофа́нт Александри́йский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Иногда упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой решению алгебраических уравнений. Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Диофант также одним из первых развивал математические обозначения.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие. В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения. Поэтому мы должны для каждого уравнения выбирать собственный метод решения и более чем 10 методов, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения. Поэтому мы должны для каждого уравнения выбирать собственный метод решения и более чем 10 методов, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел.

Выбранный для просмотра документ Гаврилова НЛ_Сценарий.docx

Методическая разработка урока по алгебре в 7 классе

«Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах»

Методическое обоснование темы

Обращение к данной теме не является случайным. Задачи «Решить уравнение вида ax + by = c в целых числах» все чаще встречается в материалах ЕГЭ. Данная тема в школьных учебниках встречается в учебниках для классов с углубленным изучением математики и в олимпиадных задачах. Поэтому данной разработкой можно воспользоваться для проведения факультативного или индивидуального занятия для обучающихся традиционных 7-11 классов с высоким уровнем подготовки.

Тема: «Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах»

Тип урока : урок изучения нового материала.

Учебно – методическое обеспечение:

учебник «Алгебра – 7» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов (для углубленного изучения алгебры) Москва 2013 изд. «Мнемозина»;

дидактические материалы. Методические рекомендации. 7 классы. Автор: И.Е. Феоктистов. Изд. «Мнемозина», Москва, 2013 г.

научить решать линейные уравнения с двумя переменными в целых числах;

развивать вычислительные навыки;

совершенствовать умение применять изученные методы решения уравнений в целых числах через решение задач.

Организационное начало. Эмоциональный настрой. (Слайд 2)

Проверка домашнего задания. (Слайд 3-6). Сообщения обучающихся

Актуализация опорных знаний. Постановка целей и задач урока. Изучение нового материала. (Слайд7). Видео UROKIMATEMATIKI . RU

Работа в парах. Каждая пара решает №1216, №1218. (Защита своих заданий у доски).

Решение задач №1220-№1224 (весь класс).

Подведение итогов. Рефлексия . На обратной стороне листочка закончите фразу: «Сегодня на уроке мне удалось…» (получить ответ на вопрос, преодолеть трудности, справиться с задачей …)

Домашнее задание – карточки (дополнительные задания из ЕГЭ, С-6)

Дополнительные задания из ЕГЭ:

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 — 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Решить уравнение в целых числах:

уравнение целых решений

3.В клетке сидят кролики и фазан. Всего у них 18 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. (Ответ: (4;1), (3;3), (2;5), (1;7).

4. Решите в целых числах уравнение: 5х+8у=39 (Ответ: (3;3).)

5.Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если они весят 3 тонны? Укажите все решения. (Ответ: 12к по 130кг, 9к по 160кг).

6. У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног. (Ответ: 3 осьминога и 3 морской звезды).

Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. Книга для учащихся 10-11 классов. – Москва. Просвещение. 1996

Гельфанд А.О. Решение уравнений в целых числах. – Москва. Наука. 1983

Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск. Сибирское университетское издательство. 2003

Кравцев С.В., Макаров Ю.Н., Максимов В.Ф., Нараленков М.И., Чирский В.Г. Методы решения задач по алгебре. – Москва. Экзамен. 2003

Крейн М. Г. Диофантово уравнение // Квант — №4 – 1985 – с. 13 – 16

Кулагин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных задач по математике. – Москва. Айрис пресс. 2007

Малинин В. Решение уравнений в натуральных и целых числах // Математика. Учебно-методическая газета — №21 — 2001 – с. 28-32, №22 – 2001 – с. 25-28

Садовничий Ю.В. Конкурсные задачи с решениями. – Москва. Экзамен. 2007

Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – Москва. Физматлит. 1961

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике. – Москва. Наука. 1983

Колоскова М. Уравнения и неравенства в целых числах // Математика. Учебно-методическая газета — №16 – 2007 – с.35-39

Краткое описание документа:

Тема: «Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах»

Тип урока : урок изучения нового материала.

Учебно – методическое обеспечение:

· учебник «Алгебра – 7» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов (для углубленного изучения алгебры) Москва 2013 изд. «Мнемозина»;

· дидактические материалы. Методические рекомендации. 7 классы. Автор: И.Е. Феоктистов. Изд. «Мнемозина», Москва, 2013 г.

Цели и задачи:

· научить решать линейные уравнения с двумя переменными в целых числах;

· развивать вычислительные навыки;

· совершенствовать умение применять изученные методы решения уравнений в целых числах через решение задач.

источники:

http://math4school.ru/uravnenija_v_celih_chislah.html

http://infourok.ru/metodicheskaya_razrabotka_uroka_po_algebre_v_7_klasse_reshenie_lineynyh_uravneniy_s_dvumya-130109.htm