Как найти k и b по графику линейной функции?
В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти \(k\) и \(b\) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):
В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.
Способ 1
Первый способ основывается на трех фактах:
Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
Примеры:
Но не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.
Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\).
Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.
\(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k 0\). \(k=+\frac
Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:
Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):
\(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).
Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».
Линейная функция, ее свойства и график
теория по математике 📈 функции
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
х |
у |
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
х | 0 | 3 |
у |
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
у=2х – 1=2 × 0 – 1= –1;
у=2х – 1=2 × 3 – 1= 5.
Вписываем в таблицу значения у:
х | 0 | 3 |
у | –1 | 5 |
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),
Проводимость — способность живой ткани проводить возбуждение.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
х | 0 | 2 |
у | 4 | –2 |
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
График данной функции зависит от k и b.
- если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
- коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b 0, то выше ноля в точке y = b
- если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Линейная функция y = kx+b и её график
Определение линейной функции
Рассмотрим движение машины по прямой со скоростью 50 км/ч, но не из начальной точки. Допустим, что мы уже находимся на расстоянии 20 км от начала координат и будем удаляться. Тогда зависимость расстояния до начала координат от времени s = 50t+20. От прямой пропорциональности s = 50t эту формулу отличает дополнительное слагаемое, связанное с ненулевыми начальными условиями.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
$$<\left\< \begin
Функция такого вида называется линейной .
Прямая пропорциональность y = kx является частным случаем линейной функции y = kx+b, при k $\neq$ 0 и b = 0.
График линейной функции
Графиком линейной функции является прямая.
Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:
Алгоритм построения графика линейной функции
- Выбрать два произвольных значения аргумента $x_1, x_2$
- Вычислить соответствующие значения функции $y_1 = kx_1+b, y_2 = kx_2+b$
- Отметить на координатной плоскости точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
- Провести прямую через точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
Эта прямая – график линейной функции y = kx+b.
http://spadilo.ru/linejnaya-funkciya-ee-svojstva-i-grafik/
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/linejnaya-funkciya-y-kx-b-i-eyo-grafik/