Линейные уравнения второго порядка свойства

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , неоднородное — y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) . F ( x ) , p ( x ) и q ( x ) являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования x . Частным случаем принято считать p ( x ) = p и q ( x ) = q , то есть при наличии постоянных в записи функции.

Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений

Общее решение y 0 для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 из интервала x при наличии постоянных коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) , располагаемых на x , считают линейную комбинацию n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , где имеются произвольные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .

Общим решением y для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) из интервала x при наличии коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и функции f ( x ) является сумма вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 , где y

считается одним из общих решений ЛНДУ.

Отсюда следует, что

• выражение y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 считается общим решением дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , а y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями;
• y = y 0 + y

обозначают в качестве общего решения уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , где y

принимает одно из любых частных решений, y 0 соответствует общему решению ЛОДУ.

После чего необходимо находить y 1 , y 2 и y

Если функции простые, то применяется метод подбора.

Линейно независимые функции y 1 и y 2 находятся из

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x .

Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида W ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ‘ ( x ) y 2 ‘ ( x ) . Когда функции располагаются на интервале х , тогда такой определитель не равен 0 на заданном промежутке.

Когда имеются функции вида y 1 = 1 и y 2 = x , где x принадлежит множеству действительных чисел, то W ( x ) = 1 x 1 ‘ x ‘ = 1 x 0 1 = 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R .

Функции вида y 1 = sin x и y 2 = cos x считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как W ( x ) = sin x cos x ( sin x ) ‘ ( cos x ) ‘ = sin x cos x cos x — sin x = = — sin 2 x — cos 2 x = — 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R

Функции y 1 = — x — 1 и y 2 = x + 1 считаются линейно независимыми из интервала ( — ∞ ; + ∞ )

W ( x ) = — x — 1 x + 1 — x — 1 ‘ ( x + 1 ) ‘ = — x — 1 x + 1 — 1 1 = = — x — 1 + x + 1 = 0 ∀ x ∈ R

Не всегда можно подобрать y 1 , y 2 , y

. Поэтому следует использовать другой метод. При наличии ненулевого частного решения y 1 ЛОДУ второго порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой y = y 1 · ∫ u ( x ) d x .

Найти общее решение уравнение вида y » — y ‘ + y x = 0 .

Решение

Частное решение записывается как y 1 = x для дифференциального уравнения y » — y ‘ + y x = 0 , когда x не равен 0 . Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида y = y 1 · ∫ u ( x ) d x = x · ∫ u ( x ) d x , а итоговое значение примет вид интеграла ∫ u ( x ) d x = y x .

По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида

y ‘ = x · ∫ u ( x ) d x ‘ = x ‘ · ∫ u ( x ) d x + x · ∫ u ( x ) d x ‘ = = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) = y x + x · u ( x ) y » = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) ‘ = ∫ u ( x ) d x ‘ + x ‘ · u ( x ) + x · u ‘ ( x ) = = 2 u ( x ) + x · u ‘ ( x )

Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:

y » — y ‘ + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — y x — x · u + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — x · u = 0 ⇔ x · d u d x + u · — x + 2 = 0 ⇔ d u u = 1 — 2 x d x , u = 0

Интегрируем обе части выражения и получаем, что ln u + C 1 = x — 2 ln x + C 2 ⇔ ln u = x + ln 1 x 2 + C 2 — C 1 . Переходим к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид u = C · e x x 2 с C являющейся произвольной постоянной.

Ответ: из выражения y = x · ∫ u d x очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид y = x · C · ∫ e x x 2 d x = x · C · ( F ( x ) + C 3 ) , когда F ( x ) считается одной из первообразных функции e x x 2 .

Для решения неоднородного дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) нужно подбирать y

, если возможно найти y 1 и y 2 . Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случаем ЛОДУ принимает вид y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 . Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид y 0 = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 , где производные неизвестных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) можно определить из системы вида C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) , а получение самих функций производится путем интегрирования.

Найти общее решение уравнения y » — y = 2 x .

Решение

Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ y » — y = 0 они являются y 1 = e — x и y 2 = e x , то есть выражение вида y 0 = C 1 · e — x + C 2 · e x . Изменяя постоянные, общее решение получит вид

y = C 1 ( x ) · e — x + C 2 ( x ) · e x .

Необходимо составить систему линейных уравнений и решить

C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) ⇔ C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 0 — C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 2 x

Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда

∆ = e — x e x — e — x e x = e — x · e x + e — x · e x = 2 ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e x 2 x e x = — ( 2 e ) x ⇒ C 1 ‘ ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = — 1 2 · 2 e x ∆ C 2 ‘ ( x ) = e — x 0 — e — x 2 x = 2 e x ⇒ C 2 ‘ = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = 1 2 · 2 e x

После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти C 1 ( x ) и C 2 ( x ) , запишем, что

C 1 ( x ) = — 1 2 · ∫ ( 2 e ) x d x = — 1 2 · ( 2 e ) x ln ( 2 e ) + C 3 = = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 C 2 ( x ) = 1 2 · ∫ 2 e x d x = 1 2 · 1 ln 2 e · 2 e x + C 4 = = 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4

Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида

y = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 · e — x + 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4 · e x .

Итоги

• Поиск общего решения ЛОДУ 2 порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 выполняется из y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений y 1 и y 2 чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 . Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка с помощью замены y = y 1 · ∫ u ( x ) d x , причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
• Поиск общего решения ЛНДУ 2 порядка вида y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) производится с помощью y = y 0 + y

является любым частным решением, а y 0 считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение y 0 _, то есть общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , производится первоначально. После чего производится подбор y

. Если необходимо, то в начале производится подбор y 1 и y 2 для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.

23. Линейные уравнения второго порядка. ОбЩИе свойства

Определение. Линейным дифФЕренциальным уравнением втоРОго порядка называется уравнение первой степени (линейное) относительно неизвестной функции и ее производНЫх. Мы будем записывать его в виде

(*)

Где А1 и A2 — функции независимой переменной Х или постоянные величины.

Функция называется Правой частью уравнения. Если функция тождественно равна нулю, то уравнение (*) называется Линейным уравнением без правой части (или Однородным). В противном случае уравнение (*) называют Линейным уравнением с правой частью (или Неоднородным).

I. Линейные уравнения без правой части.

Рассмотрим уравнения без правой части, т. е.

(**)

Теорема. Если и — решения линейного уравнения (**), то функция при любых постоянных С1 и С2 также является решением уравнения.

Для краткости в дальнейшем мы будем записывать решения в виде и У2, а выражение называть их линейной комбинацией.

Доказательство. Продифференцируем дважды функцию .

Подставим У, у’ и У» в левую часть уравнения (**). Получим:

.

Выражения в скобках представляют собой результат подстановки в левую часть уравнения (**) соответственно функций У1 и У2, а так как они по условию суть решения уравнения, то оба эти выражения тождественно равны нулю и, таким образом, функция У(Х) действительно удовлетворяет уравнению (**).

На основе доказанной теоремы мы можем сделать следующий вывод о структуре общего решения линейного уравнения без правой части

(**)

Если у1 и у2 — решения уравнения (**) такие, что их отношение не равно постоянной величине , то линейная комбинация этих функций

Является общим решением уравнения.

В предыдущей теореме мы доказали, что функция Является решением линейного уравнения без правой части, а так как она содержит две произвольные постоянные, то она и является общим решением.

Если же то и выражение фактически содержит не две произвольные постоянные, а только одну, равную ; следовательно, оно не является общим решением.

Зная общее решение уравнения, мы можем по заданным начальным условиям отыскивать соответствующее частное. Пусть, например, заданы начальные условия и , причем в точке Х0 коэффициенты уравнения А1 и A2 непрерывны. В Частности, если А1 и A2 — постоянные, то Х0 может быть любым. Подставляя ЭТи значения в выражение для общего решения и его Производной, получим систему линейных уравнений относительно С1 и C2:

.

Для того чтобы из общего решения можно было получить любое частное, надо проверить, что полученная система имеет решение при любых начальных данных У0 и . Для этого определитель системы должен быть отличен от нуля:

(***)

Доказательство этого факта для общего случая мы опустим, а позже произведем соответствующую проверку для частных случаев.

В частности, отсюда следует, что если заданы нулевые начальные условия и , то частным решением однородного уравнения

Является функция, тождественно равная нулю:

Действительно, система уравнений относительно С1 и С2 имеет в этом случае единственное решение .

II. Линейные уравнения с правой частью.

Пусть теперь дано линейное уравнение второго порядка с правой частью

. (*)

Уравнение без правой части

, (**)

Получающееся из данного уравнения (*), если вместо свободного члена взять нуль, назовем СоответствуюЩИм уравнению (*). Докажем теорему о структуре общего решения уравнения с правой частью (*).

Теорема. Общее решенИЕ уравнения с правой частью (*) Можно составить как сумму общего решения соответствующего уравнения без правой части (**) и какого-Нибудь частного решения данного уравнения (*).

Доказательство. Обозначим через Ф(Х) общее решение уравнения (**), а через — какое-нибудь частное решение уравнения (*). Возьмем функцию

Подставляя выражения для У, у’, у» в левую часть заданного уравнения (*), найдем:

Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, ибо Ф(Х) — Решение уравнения без правой части (**), а выражение во второй квадратной скобке равно , ибо — решение уравнения с правой частью (*). Следовательно, функция действительно есть решение уравнения (*). Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных (от них зависит функция Ф(Х)), То оно и есть общее решение, что мы и хотели доказать.

Итак, для того чтобы найти общее решение уравнения с правой частью, нужно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и лишь одно какое-нибудь частное решение заданного уравнения. Это можно записать так:

Где У1 и У2 — частные решения соответствующего уравнения без правой части , а — Частное решение уравнения с правой частью.

Статья «Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства

Теория линейных дифференциальных уравнений является самый простой и разработанной частью теории дифференциальных уравнений, и именно линейные уравнения наиболее часто встречаются в приложениях. Мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и начнем с уравнений второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где через P (у) мы для краткости обозначили левую часть. Из линейности выражения P (у) относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных C , C ₁ и C ₂ :

Если y = y ₁ есть решение уравнения, то есть P(y₁)=0, то, очевидно, P ( Cy ₁ )=0 ,то есть и у = Су₁ есть также решение уравнения. Точно же, если у₁ и у₂ суть решения, то

e сть также решение при произвольных постоянных С₁ и C ₂ то есть решения линейного однородного уравнения (1.1) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение. Очевидно, это же свойство имеет место и для линейного однородного уравнения любого порядка. Теорема существования и единственности для уравнения (1.1) формулируется особенно просто, как это мы покажем в конце этой главы: если p ( x ) и q ( x ) — непрерывные функции в некотором конечном замкнутом промежутке I ( a ≤ x ≤ b ) — любое значение из этого промежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям

y y (1.3)

где y ₀ и y₀‘ — любые заданные числа, и это решение существует на всем промежутке I .

Если фиксировать x₀ и придавать y ₀ и y ‘₀ всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все решения уравнения (1.1). Во всех этих решениях функции у( x ) , у'( x ) и y «( x ) непрерывны вплоть до концов промежутка a ≤ x ≤ b и предельные значения у’ ( x ) и y » ( x ) при x = а суть производные у’ ( a +0), у» ( a +0) — справа, а при x = b производные слева у’ ( b -0), у»( b -0). В дальнейшем мы в аргументах не будем писать ± 0. Из формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежутка a x b , который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать решения уравнения (1.1) на промежутке непрерывности коэффициентов p ( x ) и q ( x ).

Уравнение (1.1) имеет очевидное решение у ≡ 0 (нулевое решение). Ему соответствует y ₀ = y ‘₀ = 0 . В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (1.1), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения.

Введем одно новое понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть y ₁ и y ₂ — два решения уравнения (1.1).Рассмотрим следующее выражение, составленное из них:

Оно называется определителем Вронского решений y ₁ и y ₂ для него имеет место следующая замечательная формула:

∆( y ₁ , y ₂ )=∆₀ , (1.5)

.

Принимая во внимание, что y ₁ и y ₂ суть решения уравнения (1.1), можем написать

, .

Умножая первое уравнение на (- y ₂ ) второе на y ₁ и складывая почленно, получим

Это есть линейное однородное уравнение относительно . Из этой формулы непосредственно следует, что определитель или тождественно на промежутке I равен нулю, если постоянная ∆₀ равна нулю или не равен нулю ни при одном x из I, так как показательная функция в нуль не обращается. Напомним, что p ( x ) считается непрерывной на I функцией.

Два решения y ₁ и y ₂ уравнения (1.1), отличные от нулевого, называются линейно независимыми, если не существует тождественного относительно x на промежутке I соотношения

(1.6)

с постоянными коэффициентами a ₁ и a ₂ , отличными от нуля. Если такое соотношение имеется, то решения y ₁ и y ₂ называются линейно зависимыми. Отметим, что если один из коэффициентов, например a ₂ ¹ 0 , то из (1.3) следует y ₂ ≡0 , а это противоречит тому что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следует естественность требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Линейная зависимость решений y ₁ и y ₂ , выражаемая тождеством (1.6), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем у₂= Cy ₁ , где постоянная C отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: у‘₂ = Cy ‘₁ из двух соотношений

Из первого уравнения C = и, подставляя это во второе уравнение,

убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что D ( y ₁ , y ₂ ) равно 0 тождественно, и в частности при x = x ₀ . Таким образом, решение y ( x )= y ₂ ( x )- Cy ₁ ( x ) уравнения (1.1) удовлетворяет начальным условиям (3) при y ₀ = 0 и y ¢ ₀ =0 , т. е. у ( x ) есть нулевое решение и следует, что y ₂ ( x )- Cy ₁ ( x ) º 0 или y ₂ ( x )= Cy ₁ ( x ). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению: равенство нулю определителя Вронского D ( y ₁ , y ₂ ) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений y ₁ и y ₂ т. е. два решения y ₁ и y ₂ уравнения (1.1) линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от нуля.

Отметим еще следующую очевидную формулу для производной от частного двух решений:

(1.7)

Она, очевидно, теряет смысл в тех точках, где y ₁ обращается в нуль.

Покажем теперь, что если y ₁ и у₂ – линейно независимых решения уравнения (1.1), то при надлежащем выборе постоянных C ₁ и С₂ формула (1.2) дает нам решение уравнения (1.1), удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям

y , y (1.8)

Опять через y ₁₀ , y ₂₀ , y ¢ ₁₀ , y ¢ ₂₀ обозначим значения y ₁ , y ₂ и их первых производных при x = x₀ . Чтобы удовлетворить начальным условиям (1.8), надо определить C ₁ и C ₂ в формуле (1.2) из системы уравнений

Из линейной независимости y ₁ и y ₂ вытекает, что

и следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения C ₁ и C ₂ , что доказывает наше утверждение.

Но в силу теоремы существования и единственности всякое решение уравнения (1.1) вполне определяется своими начальными условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если y ₁ и y ₂ -два линейно независимых решения уравнения (1.1), то формула (1.2) дает все решения этого уравнения.

Таким образом, задача интегрирования (1.1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть у₁ — одно из решений этого уравнения и у₂ — какое-либо его решение. Интегрируя соотношение (1.7), получим

(1.9)

т. е. если известно одно частное решение уравнения (1.1), то второе его решение может быть получено по формуле (1.9), где D ₀ — постоянная, которую можно положить и равной единице.