Линейные уравнения высшая математика для чайников

Высшая математика

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «высшая математика»

Лекции подготовлены для школьников и студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета « высшая математика ».

В лекциях вы найдёте основные законы, теоремы, формулы и примеры задач с подробным решением.

Высшая математика — курс обучения в средних и высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ. Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики. Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам. wikipedia.org/wiki/Высшая_математика

Введение в высшую математику

Онлайн учебник содержит разделы курса «Высшая математика»: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, элементы высшей алгебры, соответствующие программе для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Предназначено для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Высшая математика».

1. В линейной алгебре изучаются внешне различные объекты: системы линейных уравнений, матрицы, арифметические пространства и линейные операторы в этих пространствах, квадратичные формы. Несмотря на внешнее различие, эти объекты тесно связаны между собой. Целью изучения данной темы и является формирование представлений об этих важных и имеющих многочисленные приложения объектах и их взаимосвязях.
2. В векторной алгебре изучаются геометрические векторы, линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, линейная зависимость и независимость системы векторов, взаимное расположение векторов, понятия базиса и декартовой системы координат.
3. Аналитическая геометрия занимается изучением линий на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве с использованием понятий вектора и координат. Рассматриваются различные формы уравнений прямой и плоскости, канонические уравнения кривых второго порядка и взаимное расположение прямых и плоскостей.
4. В дифференциальном исчислении функции одной переменной изучаются понятия производной и дифференциала и их применения при исследовании функций.
5. В интегральном исчислении функции одной переменной изучаются понятия первообразной, неопределенного и определенного интеграла, с геометрическими и механическими приложениями определенного интеграла.
6. В теории рядов изучаются понятия решения любых корректно поставленных задач с достаточной для практического использования точностью.
7. В численных (вычислительных) методах изучаются методы и понятия решения математических задач в численном виде.

Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра — наиболее важная в приложениях часть алгебры. Первым по времени возникновения вопросом, относящимся к линейной алгебре, была теория линейных уравнений. Развитие последней привело к созданию теории определителей, а затем теории матриц и связанной с ней теории векторных пространств и линейных преобразований в них. В нашем курсе мы будем рассматривать два ключевых аспекта линейной алгебры: теорию матриц и определителей.

Идея введения определителей восходит к известному немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716), чей математический гений безграничен и чье имя еще не раз будет упомянуто нами. Лейбниц пришел к определителям при решении систем линейных уравнений в 1678 году. Впервые он сообщил о своем новом методе решения систем в 1693 году в письме к Гийому Лопиталю. В одном из следующих писем Лейбниц писал: «На мой взгляд, это одно из лучших открытий в анализе». К сожалению, Лейбницем в 1700 году был опубликован лишь метод обозначения коэффициентов без каких-либо практических приложений и выводов, поэтому открытие определителей прошло практически незамеченным.

В 1750 году определители были вновь изобретены женевским математиком Крамером, при этом Крамер употребил очень простые и понятные названия — «строки» и «столбцы» определителя, которые сразу же вошли в обиход. Метод Крамера был замечен и очень скоро стал основной частью школьной программы.

Первое исследование, посвященное определителям, было опубликовано французским математиком Вандермондом в 1772 году. Он впервые изложил цельную теорию, ему принадлежат многие классические результаты (например, условие равенства определителя нулю).

Первые полные изложения теории принадлежат Бине и французскому математику Огюстену Коши (1789-1857). Именно Коши ввел в употребление термин «детерминант» (от лат. — «ограничивать», «определять») или «определитель». Бине и Коши одновременно занялись теорией определителей, и, естественно, получили некоторые общие результаты. Во избежание споров о приоритете, они договорились сделать доклады в Академии Наук на одном заседании и опубликовать свои статьи одновременно (1812 год). Коши посвятил теории определителей еще 14 мемуаров. Именно он совсем близко подошел к современному обозначению элементов определителя, употребляя запись . Считают, что именно Коши превратил теорию определителей в самостоятельную дисциплину, оторвав ее от линейных уравнений.

Следующий этап в тридцатых-сороковых годах XIX века составили 30 работ Якоби, среди которых завершающая статья «О построении и свойствах определителей». Якоби ввел в рассмотрение функциональные определители и сделал их методом исследования в математическом анализе. Ему и Коши принадлежит термин «определитель -ro порядка». Но на этом математики не остановились: они стали рассматривать бесконечные определители (Котерич в 1770 г., Жюль Пуанкаре (1854-1912) и Кох в 1885).

Ко второй половине XIX века, казалось, не осталось такого раздела математики, куда бы не проникли определители. Но задача, породившая их: в каких случаях система линейных уравнений имеет решения, и если имеет, то сколько их? — еще не была решена. Такое исследование было проведено немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823-1891) и изложено им на лекциях в 1864 году. Что касается методов вычисления определителей, то один из них — метод треугольников — придумал страсбургский профессор Саррюс. Другой основан на свойстве определителя, подмеченном Якоби в 1841 году.

Матрицы возникли в середине XIX века одновременно в исследованиях нескольких ученых. Английский математик Артур Кэли (1821-1895) открыл, что систему чисел можно рассматривать как единый математический объект, над которым могут производиться алгебраические действия. Идеи матричного исчисления развивали с 1843 года Кэли, Сильвестр, Лагерр (именно в его статье «Об исчислении линейных систем» матрицы трактуются почти в современной форме), Фробениус (пришел к теории квадратных матриц). Все эти исследования в конце XIX века слились в единую теорию матриц, к изучению которой мы и приступаем.

Понятие матрицы. Операции над матрицами

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Лекции:

Определители. Свойства определителей

Определитель — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Лекции:

Обратная матрица. Ранг матрицы

Обратная матрица — это такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Лекции:

Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

Лекции:

Элементы аналитической геометрии

Геометрия — одна из наиболее древних и ранее других систематизированная ветвь математики. Еще древнегреческие математики изучали различные кривые и подразделяли их на «плоские» (прямая, окружность), «телесные» (определяемые сечением тел — эллипс, парабола, гипербола) и линейные (кривые, определяемые кинематически). Но единых методов решения геометрических задач, связанных с данными кривыми, не существовало. Найти такие методы с целью применения их к изучению важных для практики линий различной формы и была призвана аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия позволила применять к решению задач не только геометрические модели, тесно связанные с графическим изображением, но и модели аналитические, позволяющие задать любую линию или поверхность с помощью уравнения.

Главным в становлении аналитической геометрии послужило создание координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления, построения же имеют вспомогательное значение. Создание координатного метода было подготовлено трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония (3-2 в. до н.э.), заложившего основы теории плоских сечений конуса. Он исследовал их методами алгебры, поэтому может считаться одним из предвестников аналитической геометрии.

Систематическое развитие координатный метод получил в первой половине XVII века в работах французских математиков Пьера Ферма (1601-1665) и Рене Декарта (1596-1650). В 1636 году Ферма написал статью «Введение в изучение плоских и телесных мест». Он выбирал косоугольную систему координат и в ней показывал, что кривая, задающаяся квадратным уравнением, есть коническое сечение — эллипс, парабола или гипербола. Но это произведение долго оставалось в рукописи и не нашло широкого распространения.

Опубликование в 1637 году «Геометрии» Декарта считается датой рождения аналитической геометрии благодаря использованию координатного метода. В «Геометрии» содержалось много нововведений. Именно Декарт стал обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (, , ), а коэффициенты — первыми (). Он также ввел привычную нам запись степеней: . Но Декарт и Ферма рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был впервые применен Леонардом Эйлером (1707-1783).

Что же касается понятия «вектора», то для математики оно относительно новое. К середине XIX века оно возникает одновременно в трудах нескольких ученых. Первое векторное исчисление на плоскости развил итальянский ученый Беллавитис (1835), в этом исчислении объектами служили отрезки. В это же время получили известность работы Аргана и Весселя о геометрической интерпретации комплексных чисел. Именно Арган обозначил направленный отрезок черточкой над буквой и ввел понятие «модуля» (от лат. — мера).

Сам термин «вектор» (от лат. — несущий) впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805-1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. В созданных Гамильтоном кватернионах необходимо было различать скалярную и векторную часть. Поэтому Гамильтону пришлось ввести такие термины, как «скаляр» (от лат. — шкала, лестница), «скалярное произведение». Общепринятые ныне векторы также ввел Гамильтон в 1853 году. Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вел немецкий математик Герман Грассман (1809-1877). Грассман ввел единичные векторы () и представление вектора в виде: .

Англичанин Уильям Клиффорд (1845-1879) сумел объединить эти два подхода в рамках общей теории. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Итак, аналитическая геометрия — раздел математики, в котором изучение геометрических объектов (векторов, прямых, плоскостей, кривых, поверхностей) проводится при помощи их аналитических моделей.

Векторы. Операции над векторами. Координаты вектора

Вектор — это направленный отрезок с начальной и конечной точкой. Его можно перемещать параллельно самому себе.

Лекции:

Прямая на плоскости

Прямая на плоскости — это одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

Лекции:

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Лекции:

Основы математического анализа

Математическим анализом называют систему дисциплин, объединенных следующими характерными чертами. Предметом их изучения являются количественные соотношения окружающего мира (в отличие от геометрических дисциплин, занимающихся его пространственными свойствами). Эти соотношения выражаются при помощи чисел, как и в алгебре. Но в алгебре рассматриваются преимущественно постоянные величины (преобразование выражений, уравнения — они характеризуют состояние), а в математическом анализе — переменные величины, характеризующие процессы. В основе изучения зависимости между переменными величинами лежит понятие функции.

Зачатки методов математического анализа можно встретить еще у древнегреческих математиков. Так, Архимед (287-212 гг. до н.э.) при вычислении площадей некоторых фигур и при определении объема шара по существу использовал интегральное исчисление, хотя, естественно, не знал его общих методов. Систематическое развитие эти методы получили в XVII веке. Одним из основателей математического анализа стал английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727). Исследования в области механики привели его к проблемам дифференциального и интегрального исчисления. Одновременно с Ньютоном проблемами анализа занимался и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Оба этих великих ученых не только завершили создание дифференциального и интегрального исчисления (получившего название анализа бесконечно малых величин), но и заложили основы учения о рядах и дифференциальных уравнениях.

Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия во многом были предопределены великим открытиям Ньютона и Лейбница. В XVIII веке большой вклад в развитие математического анализа внес швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783), свыше 30 лет проработавший в России. Систематизацией уже имеющихся результатов, а также дальнейшим развитием теории занимались многие французские математики: Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1818), Пьер Лаплас(1749-1827), А.Лежандр (1752-1833), Ж.Фурье (1768-1830). К концу XVIII века был накоплен огромный фактический материал, но он был недостаточно разработан в логическом отношении. Многие понятия ученые воспринимали интуитивно.

Очевидные противоречия привели к критическому пересмотру в XIX веке существующих методов и четкому логическому построению математического анализа. Только в XIX веке были даны строгие определения функции, непрерывности, были уточнены понятия предельного перехода и основанные на нем понятия производной и интеграла. Современное понятие функции сформировалось в первой половине XIX века благодаря исследованиям таких выдающихся математиков, как Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Петер Дирихле (1805-1859) и др. Производная была определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента (французский математик Огюстен Коши (1780-1856)), интеграл — как предельное значение интегральных сумм (немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866)). До сих пор математическое образование основывается на этих подходах, хотя в XX веке они получили значительное развитие. Тогда же вошли в употребление термины математика «элементарная» (математика, предшествовавшая рождению математического анализа) и «высшая» (начинается с понятий производной, предела и интеграла).

Одним из важнейших завоеваний математического анализа в XIX веке стало рождение теории аналитических функций и функций комплексного переменного. Следует упомянуть немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855), ставшего основателем теории функций комплексного переменного и определившего понятие предела, русских математиков Пафнутия Львовича Чебышева (1821-1866), создателя конструктивной теории функций, Софью Васильевну Ковалевскую (1850-1891), немецкого математика Давида Гильберта (1862-1943). Важнейшие труды, касающиеся стройного логического построения математического анализа, принадлежат немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815-1897), Юлиусу Дедекинду (1831-1916) и Георгу Кантору (1845-1918).

В XX веке, уже на новом уровне, происходит все большее слияние геометрии и математического анализа. Областью приложения анализа становятся кривые и поверхности, расположенные в многомерных пространствах с дополнительной алгебраической структурой. Исследования в области математического анализа продолжаются и в наши дни.

Теория пределов

Понятие предела — одно из основных понятий математического анализа, на котором базируются многие важные определения, в частности, определение производной. Истоки понятия предела следует искать в Древней Греции. Некоторым подобием предельного перехода был метод исчерпывания, изобретенный Евдоксом (ок. 408-355 до н.э.). В работах Архимеда (ок. 287-212 до н.э.) и Евклида (конец IV-III век до н.э.) этот метод дал поразительные результаты. В новое время идеи предела появляются у немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), итальянского математика Бонавентура Кавальери (1598-1647), английского математика Джона Валлиса (1616-1703).

Слово «лимит» (предел) произошло от латинского — «межа», «граница». Этим словом впервые воспользовался Исаак Ньютон. Однако исторически сложилось так, что точное определение такого ключевого понятия, как предел, и такого важного понятия, как непрерывность, вплоть до конца XVIII века отсутствовали. Соответственно, и многие математические рассуждения содержали пробелы, а иногда были даже ошибочны. Характерный пример — определение непрерывности. Эйлер, Лагранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX века) называли непрерывной функцию, заданную на области определения одним аналитическим выражением.

Тем самым бурно развивающаяся «новая» математика XVII-XVIII века не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых еще со времен древних греков. Интуиция, столь необходимая математикам, существенно опередила логику. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логические основы.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы XIX века французским математиком Огюстеном Коши (1789-1857), предложившим точное определение пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа, в частности теоремы о пределах. Несколько раньше (в 1821 году) определение предела, непрерывности и ряд других замечательных результатов получил чешский математик Бернард Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее. После лекций известного немецкого профессора Карла Вейерштрасса (1815-1897), которому принадлежит современное обозначение предела, определение предела по-Коши (на языке ) прочно вошло в обиход и используется нами по сей день.

Числовые последовательности

Числовая последовательность — это последовательность чисел. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Лекции:

Предел функции

Предел функции — это такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Лекции:

Непрерывность функции

Непрерывная функция — это функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Лекции:

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Дифференциальное исчисление — один из важнейших разделов математического анализа, в котором изучаются производные и их приложения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление было создано сравнительно недавно, в конце XVII века. К этому понятию одновременно в 70-х-80-х годах XVII века независимо друг от друга подошли два величайших человека своего времени: английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Грандиозные успехи естествознания и математики в последующие три столетия были во многом определены великим открытием Ньютона и Лейбница.

Ньютон исходил из необходимости описывать движение тел и развитие различных процессов. Он мыслил как физик — кинематически. Для него суть дифференцирования -нахождение скорости тела в любой момент времени по известному пути. Свое открытие он сделал в 1665-1666 годах, когда Англию постигла эпидемия чумы, и Ньютон вынужден был находиться в своем поместье Вулсторп. Впоследствии он написал работу «Метод флюксий и бесконечных рядов», где метод флюксий — не что иное, как дифференцирование. Но эта работа была опубликована лишь в 1736 году. Сочинения Ньютона по математике увидели свет лишь в XVIII веке, однако кое-что было известно его коллегам из писем. Так, некоторые свои результаты в математическом анализе Ньютон сообщил Лейбницу в 1676 году, когда тот уже сам пришел к открытию дифференциального исчисления.

Подход Лейбница был геометрическим. На него большое впечатление произвели работы Паскаля, в особенности задачи о проведении касательной. В 1765 году им были сделаны первые шаги по созданию нового исчисления: в рукописях Лейбница появляются основные понятия, вводятся операции и символы. Именно Лейбниц ввел термин «дифференциальное исчисление», который с удивительной точностью описывает суть теории. по латыни — «разделение», «раздробление». Процесс дифференцирования состоит в замене функции на маленьком участке ее дифференциалом, т.е. кусочком ее касательной. Участку, на котором производится замена, Лейбниц дал название «бесконечно малый». Свои результаты Лейбниц опубликовал лишь в 1684 году в короткой статье из шести страниц «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». С этого момента начинается официальная история математического анализа.

Следует отметить, что в предыдущие полвека Блез Паскаль (1623-1662), Пьер Ферма (1601-1665) и другие ученые фактически дали правила разыскания производных многих функций. Ферма предложил правила нахождения экстремумов. Ньютон и Лейбниц завершили это развитие, они разработали аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов, применили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики.

Исследования Лейбница в значительной степени определили развитие методов анализа в Европе. Среди его последователей — братья Иоганн (1667-1748) и Якоб (1654— 1705) Бернулли, Пьер Вариньон и Гийом де Лопиталь (1661-1704). Именно Лопиталь в 1696 году стал автором первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

Производная функции, нахождение производных различных функций

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Лекции:

Геометрический смысл производной. Дифференциал функции

Геометрический смысл производной — это когда численно производная функция в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох.

Лекции:

Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя

Производные высших порядков — это если функция y=f(x)y=f(x) имеет производную в каждой точке xx своей области определения, то ее производнаяf′(x)f′(x) есть функция от xx. Функция y=f′(x)y=f′(x), в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции y=f(x)y=f(x) (или второй производной) и обозначают символом f′′(x)f′′(x).

Дифференциалы высших порядков — это если функция y=f(x) зависит от переменной x и дифференцируема в точке x. Может оказаться, что в точке xдифференциал dy=f′(x)dx, рассматриваемый как функция от x, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала d(dy) данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции y=f(x).

Лекции:

Возрастание и убывание, экстремумы функций

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Экстремум функции — это называются значения функции в точках максимума и минимума.

Лекции:

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Выпуклая функция — это функция, для которой любой отрезок между двумя любыми точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика. Эквивалентно, выпуклой является функция, на график которой является выпуклым множеством.

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Лекции:

Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Лекции:

Общая схема исследования функции и построения графика

В данной лекции мы подведем итог всему ранее изученному материалу. Конечная цель нашего долгого пути — уметь исследовать любую аналитически заданную функцию и строить ее график. Важными звеньями нашего исследования будут исследование функции на экстремумы, определение интервалов монотонности, выпуклости и вогнутости графика, поиск точек перегиба, асимптот графика функции.

Лекция:

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Интегральное исчисление — один из важнейших разделов математического анализа, тесно связанный с дифференциальным исчислением. Интегральное исчисление возникло из потребностей создать общий метод нахождения площадей фигур и объемов тел.

Истоки интегрального исчисления следует искать в Древней Греции. Евдокс Книдский (ок. 408-355 до н.э.) создал метод исчерпывания, которым пользовался при вычислении площадей криволинейных фигур. Этот метод был усовершенствован Архимедом (ок. 287-212 до н.э.) и позволил ему найти объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Архимед предвосхитил многое идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исследования.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) правильно вычислил ряд площадей (криволинейную трапецию он представлял составленной из бесконечного числа вертикальных отрезков длиной ) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования продолжили итальянские математики Бонавентура Кавальери (1598-1647) и Эванджелиста Торричелли (1608-1647). Французский математик Пьер Ферма (1601-1665) уже в 1629 году умел находить площадь под кривой , т.е. по существу вывел формулу . Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования.

Первым человеком, сумевшим обнаружить связь между вычислением площади под кривой и задачей о проведении касательной, был учитель Ньютона, английский математик Исаак Барроу (1630-1677). Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII века, исчисления еще не было. Нужно было выделить общие идеи, лежащие в основе многих частных задач, установить связь интегрирования и дифференцирования. Это сделали Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, открывшие независимо друг от друга формулу, известную нам как формула Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно сформировался общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Термин «интегральное исчисление» возник в результате переписки Лейбница и И.Бернулли. Вероятно, оно происходит от лат. — «восстановление». Действительно, при интегрировании мы «восстанавливаем» функцию по известной производной. Существует и другая точка зрения. по-латыни — «целый», интегрирование — процесс объединения в целое малых элементов, из которых составлена фигура (при нахождении площади, объема).

Методы математического анализа активно развивались в XVIII веке. В первую очередь следует назвать Леонарда Эйлера (1707-1783), завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций. Большое значение имели результаты русских ученых Пафнутия Львовича Чебышева (1828-1894), доказавшего, что существуют интегралы, невыразимые через элементарные функции, а также Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862) и В.Я.Буняковского (1804-1889).

Строгое изложение теории интегралов появилось только в XIX веке. Решение этой задачи связано с именем Огюстена Коши (1789-1857). Теорию интегралов Коши обобщил крупнейший немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены создателями теории меры (обобщение понятие площади и объема) Камилем Жорданом (1838-1922) и Анри Лебегом (1875-1941).

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Лекции:

Основные методы интегрирования неопределённых интегралов

Непосредственное интегрирование — это метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Интегралы от некоторых сложных функций — это интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Метод интегрирования подстановкой — это метод заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Метод интегрирования по частям — это нахождение данного интеграла с помощью формулы интегрирования к нахождению другого интеграла. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.

Лекции:

Интегрирование рациональных и иррациональных функций. Универсальная подстановка

Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение. , то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Иррациональная функция — это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Лекции:

Определенный интеграл

Определённый интеграл — это одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм).

Лекции:

Методы вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона – Лейбница
2. Замена переменной в определенном интеграле
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Лекции:

Приложения определенного интеграла в геометрии

Основными геометрическими приложениями определенного интеграла являются: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат и вычисление длины дуги плоской кривой.

Лекции:

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл — это определённый интеграл, если при решении выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком [a,+ ∞ ). Функция f(x) является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Лекции:

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Функции нескольких действительных переменных. Предел и непрерывность

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.

Лекции:

Частные производные. Дифференциал функции нескольких действительных переменных

Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю. В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Дифференциалом функции — это сумму произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных.

Лекции:

Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно запомнить, что величина dx не зависит от x , то есть относительно переменной дифференцирования является константой, поэтому при дифференцировании по x величину dx следует рассматривать как постоянный множитель.

Лекции:

Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных

Интегральное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений.

Двойные интегралы и их свойства

Двойные интегралы — это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y).

Лекции:

Сведение двойных интегралов к повторным в случае областей i и ii типа

Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам.

Лекции:

Приложение двойного интеграла к вычислению объемов геометрических тел

• Геометрический смысл двойного интеграла
• Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла

Лекции:

Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

• Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции.
• Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Лекции:

Теория рядов

Ряд — это называемый также бесконечная сумма, одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел.

Определение числового ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Лекции:

Признаки сравнения, Даламбера, Коши и интегральных положительных рядов

Признак д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Признак Коши — признак сходимости числового ряда.

Лекции:

Рассмотренные достаточные признаки позволяют исследовать на сходимость фактически любой положительный числовой ряд. Только практика поможет приобрести необходимые навыки исследования и довести их до совершенства.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Знакочередующийся ряд — это математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков.

Признак Лейбница — это признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем.

Абсолютная и условная сходимость — это ряд с действительными или комплексными членами ∞∑n=1an, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∞∑n=1|an|,

Лекции:

Функциональные и степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

Функциональный ряд — это ряд, члены которого являются функциями одной или нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.

Степенной ряд — это функциональный ряд вида:

в котором коэффициенты a_n берутся из некоторого кольца R.

Лекции:

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд

Ряд Тейлора — это разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Маклорена — это степенной ряд, в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке 0 и её производные всех порядков в точке 0, делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на x в соответствующей степени.

Лекции:

Ряды Фурье

Ряд Фурье — это представление функции f с периодом τ в виде ряда:

Лекции:

Дифференциальные уравнения

Различные проблемы, занимавшие математиков в конце XVII и начале XVIII столетий, привели к необходимости введения такого понятия как дифференциальные уравнения. Поскольку в дифференциальных уравнениях присутствуют производные или дифференциалы функций, то первые дифференциальные уравнения появились в работах создателей интегрального и дифференциального исчисления Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Именно Ньютон в 1687 году в своих «Началах» решил дифференциальное уравнение первого порядка.

Проблемой решения дифференциальных уравнений были заняты многие математики того времени. Особо следует отметить Иоганна (1667-1748) и Якоба (1654-1705) Бернулли, предложивших решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородных и линейных. Но все применявшиеся ими методы по большинству были разрозненными, единой стройной теории дифференциальных уравнений не существовало.

Методическая разработка теории дифференциальных уравнений была начата известным математиком Леонардом Эйлером (1707-1783). Вместе с ним большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли французские математики Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1813), Пьер Лаплас (1749-1827), немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Самое главное заключается в том, что решение подобных уравнений было необходимо для практических нужд, поскольку именно присутствующая в дифференциальных уравнениях производная описывает скорость изменения различных процессов. Некоторые виды дифференциальных уравнений появились при решении задач о колеблющихся струне и колеблющейся мембране. Даламбер сформулировал правила составления дифференциальных уравнений при движении материальных систем. Дифференциальные уравнения стали основой работ Леонарда Эйлера «Физическое исследование причины морских приливов и отливов», «Исследования по вопросу о неравенствах в движении Сатурна и Юпитера», «Исследование возмущений, которые испытывает движение планет от их взаимодействия».

Нельзя не сказать о вкладе французского математика Огюстена Коши (1789-1857) в теорию дифференциальных уравнений. Он впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

Известными авторами фундаментальных трудов по дифференциальным уравнениям являются французкий математик Жак Адамар (1865-1963), российские математики Владимир Игоревич Арнольд (род. 1937 г.), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).

Кстати тут дополнительная теория из учебников по высшей математике

Дифференциальные уравнения, основные понятия

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Лекции:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка — это дифференциальное уравнение вида:

называют обыкновенным дифференциальным уравнением. Оно содержит известную функцию F, независимую переменную x, её функцию y и производные (или дифференциалы) функции y(x).

Лекции:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнения первого порядка — это дифференциальное уравнение, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Лекции:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка — это уравнение вида F (x; y ; y’ ; y») =0

Лекции:

Основы теории комплексных чисел

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения. В середине XVI века итальянские математики Никколо Тарталья (1499-1557) и Джероламо Кардано (1501-1576) представили миру способ решения уравнения третьей степени. Но один из возможных случаев так и остался для них загадкой. Оказалось, что при выполнении вспомогательных действий рассматриваемая система нс имела решений, а исходное уравнение имело действительный корень. На это загадочное явление впервые пролил свет другой итальянский математик Рафаэле Бомбелли (1526-1572).

Бомбелли первым ввел в алгебру мнимые величины. Квадратный корень из отрицательного числа, как заметил Бомбелли, нс может быть ни положительным, ни отрицательным числом. Он предложил назвать эти новые «софистические» числа «плюсом из минуса» , когда их нужно складывать, и «минусом из минуса » . когда их нужно вычитать. И тогда у любого кубического уравнения прекрасно отыскивались корни! С этого момента комплексные числа уже нельзя было игнорировать. Бомбелли в своей «Алгебре» (1560, издана 1572) дал первое формальное обоснование действию над комплексными числами. Определение мнимой единицы, данное Бомбелли, за прошедшие 400 лет по свой сути нс изменилось, а арифметические действия с ней производятся именно так, как это делала Бомбелли в XVI веке.

Мнимые числа, введенные Бомбелли, более двух столетий воспринимались лишь как удобные символы. Математики применяли их только в промежуточных выкладках, но для результата использовали лишь «настоящие» — действительные числа. Лейбниц в 1702 году писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием». Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине XVIII века русский математик Леонард Эйлер (1707-1783) — один из величайших математиков всех времен и народов. Именно он предложил современное обозначение мнимой единицы — .

Комплексные числа не были в достаточной мере востребованы математиками еще и потому, что очень трудно было их представить. Наглядно представить мнимые числа попытался еще в XVII веке английский ученый Джон Валлис (1616-1703), но эти попытки были нс слишком удачные. В 1799 году датский математик — землемер Каспар Вессель (1745-1818) предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной, поскольку Вессель не имел контактов с научными кругами своего времени. Лишь через три десятка лет немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выпустил в свет свой труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление комплексных чисел, как и Вессель. Именно после опубликования этой работы в 1831 году геометрическое изображение комплексных чисел получило широкую известность и признание. Идея Веселя и Гаусса настолько прозрачна, что остается только удивляться, почему никто из ученых не додумался до нее раньше.

Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа — это запись комплексного числа z в виде z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^<2>=-1 . Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = z. Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = z .

Геометрическая интерпретация комплексных чисел — это kюбое комплексное число которое можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей: действительная ось (соответствует оси абсцисс); мнимая ось (соответствует оси ординат).

Лекции:

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа — это запись z = r (cos φ + i sin φ) где r=√(x²+y²) — модуль комплексного числа z.

Показательная форма комплексного числа — это выражение z=re ^ i φ где r=|z|=√(x²+y²) — модуль комплексного числа, e^i φ — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Лекции:

Переход между различными формами комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения задач, поэтому вы можете перевести комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от поставленной задачи.

Лекции:

Численные методы

Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, матриц, числовых таблиц. Их значение возрастает параллельно с развитием вычислительной техники.

Приближенные величины. Действия с приближенными числами

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

• Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.
• Приближенные– которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решения уравнений находится приближённо в следующей последовательности:

• отделение (локализация) корня;
• приближённое вычисление корня до заданной точности.

Лекции:

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).

Лекции:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера

Метод Эйлера — это простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Лекции:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Системы линейных уравнений с примерами решений

Содержание:

Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используют для решения сложных и необходимых задач. Системы уравнений бывают с двумя, тремя и более переменными. В этой главе вы ознакомитесь с простейшими системами двух уравнений с двумя переменными. Основные темы лекции:

• уравнения с двумя переменными;
• график линейного уравнения;
• системы уравнений;
• способ подстановки;
• способ сложения;
• решение задач составлением системы уравнений.

Уравнения с двумя переменными

До сих пор мы рассматривали уравнение с одной переменной. Однако существуют задачи, решение которых приводит к уравнениям с двумя переменными.

Пример:

На 22 руб. купили несколько книжек по 5 руб. и географических карт — по 3 руб. Сколько купили книжек и карт?

Решение:

Пусть купили х книжки у карт. За книжки заплатили 5х руб., а за карты — 3у руб. Всего заплатили 22 руб., то есть, 5х + Зу = 22.

Это уравнение с двумя переменными. Приведём и другие примеры таких уравнений с двумя переменными:

Уравнение вида ах + by = с, где а, b, с — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Если

Примеры линейных уравнений:

два первых из них — уравнение первой степени с двумя переменными.

Паре чисел х = -1 и у = 9 удовлетворяет уравнение 5х + Зу -= 22, так как А пара чисел х = 1 и у = 2 этому уравнению не удовлетворяет, поскольку

Каждая пара чисел, удовлетворяющая уравнение с двумя переменными, т. е. обращающая это уравнение в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Обратите внимание: одно решение состоит из двух чисел, на первом месте записывают значение х, на втором — у. Корнями их не называют.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, следует подставить в уравнение произвольное значение первой неременной и, решив полученное уравнение, найти соответствующее значение второй переменной.

Для примера найдем несколько решений уравнения

Если х = 1, то отсюда у = -2. Пара чисел х = 1 и у = -2 — решение данного уравнения. Его записывают ещё и так: (1; -2). Придавая переменной х значения 2, 3, 4, . , так же можно найти сколько угодно решений уравнения: (2; 1), (3; 4), (4; 7), (5; 10), . Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.

Уравнение также имеет бесконечно много решений, но сформулированную выше задачу удовлетворяет только одно из них: (2; 4).

Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Для уравнения с двумя переменными остаются справедливыми свойства, сформулированные для уравнений с одной переменной.

Обе части уравнения с двумя переменными можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Любой член такого уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. В результате получается уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение можно преобразовать так: . Каждое из этих уравнений равносильно друг другу.

Иногда возникает потребность решить уравнение с двумя переменными во множестве целых чисел, то есть определить решения, являющиеся парами целых чисел. Способы решения таких уравнений определил древнегреческий математик Диофант (III в.), поэтому их называют диофантовыми уравнениями. Например, задача о книжках и картах сводится к уравнению где х и у могут быть только целыми (иногда натуральными) числами.

Переменную у из этого уравнения выразим через х:

Будем подставлять в равенство вместо х первые натуральные числа до тех пор, пока не получим целое значение переменной у. Это можно делать устно. Если х = 2, то у = 4. Других натуральных решений уравнение не имеет. Поэтому задача имеет единственное решение: 2 книги и 4 карты.

Пример:

Решение:

а) При любых значениях х и у значения выражения не может быть отрицательным числом. Поэтому уравнение не имеет решений.

б) Значение выражения равно нулю только при условии, когда x -3 = 0 и y = 0. Значит, уравнение имеет только одно решение: х = 3, у = 0.

Пример:

Составьте уравнение с двумя переменными, решением которого будет пара чисел (1; -5).

Решение:

Пишем любой двучлен с переменными х и у, например Если х = 1, а у = -5, то значение даного двучлена равно 28. Следовательно, уравнение удовлетворяет условие задачи.

Есть много других линейных уравнений с двумя переменными, имеющих такое же решение (1; -5).

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение Давая переменной х значения -2, -1,0,1,2, 3. найдём соответствующие значения переменной у. Будем иметь решение данного уравнения: (-2; -б), (-1; -4,5), (0; -3),

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.