Линейным однородным дифференциальным уравнением ii ого порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья рассматривает способы решения линейных дифференциальных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p y ‘ + q y = 0 с p и q являющимися действительными числами. Будет рассмотрена теория с приведением примеров с подробным решением.

Перейдем к формулировке теоремы, которая показывает, какого вида должно быть уравнение, чтобы можно было искать общее решение ЛОДУ.

Теорема общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 с непрерывными на интервале интегрирования x коэффициентами f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяют линейную комбинацию вида y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , где y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на интервале x , где C j , j = 1 , 2 , . . . , n берут за произвольные постоянные.

Отсюда получаем, что общее решение такого уравнения y » + p y ‘ + q y = 0 может быть записано как y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 выражаются линейно независимыми решениями, а С 1 и C 2 – произвольными постоянными. Необходимо поработать с нахождением частных решений y 1 и y 2 .

Существует формула по Эйлеру для поиска частных решений вида y = e k · x .

Если взять y = e k · x за частное решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 , тогда, используя подстановку, получим тождество вида:

e k · x » + p · e k · x ‘ + q · e k · x = 0 k 2 · e k · x + p · e k · x + q · e k · x = 0 e k · x · ( k 2 + p · k + q ) = 0 k 2 + p · k + q = 0

Данное тождество называют характеристическим уравнением с постоянными коэффициентами k 1 и k 2 , которые и являются его решениями и определяют частые решения вида y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x заданного ЛОДУ.

При различных значениях p и q можно получить характеристические уравнения с корнами такого вида:

Действительные и различные k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R .
Действительные и совпадающие k 1 = k 2 , = k 0 , k 0 ∈ R .
Комплексно сопряженную пару k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Первый случай показывает, что решениями такого уравнения могут быть y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x , а общее решение принимает вид y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x с постоянными коэффициентами. Функции y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x рассматриваются, как линейно независимыми по причине отличного от нуля определителя Вронского W ( x ) = y 1 y 2 y 1 ‘ y 2 ‘ = e k 1 · x e k 2 · x k 1 · e k 1 · x k 2 · e k 2 · x = e k 1 · x · e k 2 · x · k 2 — k 1 с действительными k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R .

Второй случай объясняет, что первым частным решением функции – это выражение y 1 = e k 0 · x . Вторым частным решением можно брать y 2 = x · e k 0 · x . Определим, что y 2 = x · e k 0 · x может являться частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 и докажем линейную независимость y 1 и y 2 .

Имеем, что k 1 = k 0 и k 2 = k 0 являются совпадающими корнями характеристического уравнения. Тогда оно примет вид k — k 0 2 = 0 ⇔ k 2 — 2 k 0 · k + k 0 2 = 0 . Отсюда следует, что y » — 2 k 0 · y ‘ + k 0 2 · y = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением. Необходимо подставить выражение y 2 = x · e k 0 · x для того, чтобы убедиться в тождественности:

y 2 » — 2 k 0 · y ‘ 2 + k 0 2 · y 2 = 0 x · e k 0 · x » — 2 k 0 · x · e k 0 x ‘ + k 0 2 · x · e k 0 · x = 0 e k 0 · x + k 0 · x · e k 0 x ‘ — 2 k 0 · e k 0 · x + k 0 · x · e k 0 x + k 0 2 · x · e k 0 · x = 0 ( k 0 · e k 0 · x + k 0 · e k 0 · x + k 0 2 · x · e k 0 · x — — 2 k 0 · e k 0 · x — k 0 2 · x · e k 0 · x + k 0 2 · x · e k 0 · x ) = 0 0 ≡ 0

Отсюда следует, что y 2 = x · e k 0 · x — это частное решение данного уравнения. Необходимо рассмотреть линейную независимость y 1 = e k 0 · x и y 2 = x · e k 0 · x . Чтобы убедиться в этом, следует прибегнуть к вычислению определителя Вронского. Он не должен быть равен нулю.

W ( x ) = y 1 y 2 y 1 ‘ y 2 ‘ = e k 0 · x x · e k 0 · x e k 0 · x ‘ x · e k 0 · x ‘ = = e k 0 · x x · e k 0 · x k 0 · e k 0 · x e k 0 · x · ( 1 + k 0 · x ) = = e k 0 · x · e k 0 · x · 1 + k 0 · x — k 0 · x · e k 0 · x · e k 0 · x = e 2 k 0 · x ≠ 0 ∀ x ∈ R

Можно сделать вывод, что линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 считаются y 1 = e k 0 · x и y 2 = x · e k 0 · x . Это подразумевает то, что решением будет являться выражение y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · x · e k 0 · x при k 1 = k 2 = k 0 , k 0 ∈ R .

Третий случай говорит о том, что имеем дело с парой комплексных частных решений ЛОДУ вида y 1 = e α + i · β · x и y 2 = e α — i · β · x .

Запись общего решения примет вид y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x .

Функции y 1 = e a · x · cos β x и y 2 = e a · x · sin β x могут быть записаны вместо частных решений уравнения, причем с соответствующими действительной и мнимой частями. Это понятно при преобразовании общего решения y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x . Для этого необходимо воспользоваться формулами из теории функции комплексного переменного вида. Тогда получим, что

y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x = = C 1 · e α · x · cos β x + i · sin β x + C 2 · e α · x · cos β x — i · sin β x = = ( C 1 + C 2 ) · e α · x · cos β x + i · ( C 1 — C 2 ) · e α · x · sin β x = = C 3 · e α · x · cos β x + C 4 · e α · x · sin β x

Отчетливо видно, что С 3 и С 4 используются в качестве произвольных постоянных.

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными переменными вида y » + p y ‘ + q y = 0 :

Запись характеристического уравнения k 2 + p ⋅ k + q = 0 .
Нахождение корней характеристического уравнения k 1 и k 2 .
Производим запись ЛОДУ, исходя из полученных значений с постоянными коэффициентами:

y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x при k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · x · e k 0 · x при k 1 = k 2 = k 0 , k 0 ∈ R ;
y 0 = e α · x · ( C 1 · cos β x + C 2 · sin β x ) при k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Найти общее решение заданного уравнения с постоянными коэффициентами y » + 4 y ‘ + 4 y = 0 .

Решение

Следуя алгоритму, необходимо записать характеристическое уравнение k 2 + 4 ⋅ k + 4 = 0 , после чего обозначить его корни. Получаем, что

k 2 + 4 k + 4 = 0 ( k + 2 ) 2 = 0 k 1 = k 2 = k 0 = — 2

Очевидно, что полученные корни являются совпадающими.

Ответ: Запись общего решения: y 0 = C 1 · e k 0 x + C 2 · x · e k 0 x = C 1 · e — 2 x + C 2 · x · e — 2 x .

Найти решение заданного уравнения вида y » — 5 y ‘ + 6 y = 0 .

Решение

По условию имеется ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Это указывает на то, что необходимо записать характеристическое уравнение и обозначить его корни. Получим:

k 2 — 5 k + 6 = 0 D = 5 2 — 4 · 6 = 1 k 1 = 5 — 1 2 = 2 k 2 = 5 + 1 2 = 3

Видно, что корни различные и действительные. Это говорит о том, что уравнение общего вида запишется как y 0 = C 1 · e k 1 x + C 2 e k 2 x = C 1 · e 2 x + C 2 · e 3 x .

Ответ: y 0 = C 1 · e k 1 x + C 2 e k 2 x = C 1 · e 2 x + C 2 · e 3 x .

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — y ‘ + 3 y = 0 .

Решение

Необходимо перейти к характеристическому уравнению ЛОДУ 2 порядка, что соответствует записи k 2 — k + 3 = 0 , после чего обозначить его корни. Тогда получим, что

D = 1 2 — 4 · 3 = — 11 k 1 = 1 + i 11 2 = 1 2 + i · 11 2 k 2 = 1 — i 11 2 = 1 2 — i · 11 2 ⇒ α = 1 2 , β = 11 2

На выходе имеем пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Отсюда следует, что общим решением является запись уравнения вида

y 0 = e a · x · ( C 1 · cos β x + C 2 · sin β x ) = = e x 2 · C 1 · cos 11 x 2 + C 2 · sin 11 2

Ответ: y 0 = e x 2 · C 1 · cos 11 x 2 + C 2 · sin 11 2 .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y — функция, которую требуется найти, а p(x) , q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b) .

Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю ( f(x) ≠ 0 ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y» :

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Если y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x) + y 2 (x) — также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x) , где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x) и y 2 (x) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема. Функция C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно независимы.

Определение. Функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p и q — постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения — действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравения — вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравнения — комплексные

То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим метод решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Линейной комбинацией функций и называется выражение вида

где — некоторые произвольные постоянные.

Функции и называются линейно независимыми, если если их линейная комбинация обращается в нуль тогда и только тогда, когда коэффициенты равны нулю.

Теорема 7.2. Если и — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение данного уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

Следовательно, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, надо знать два его частных линейно независимых решения: и .

Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, выводим:

Очевидно, функция будет решением дифференциального уравнения, если число к является корнем квадратного уравнения

которое называется характеристическиль уравнением исходного дифференциального уравнения.

Как известно, для корней данного квадратного трехчлена возможны три случая.

Если дискриминант больше нуля , то корни характеристического уравнения действительные, простые:

Если дискриминант равен нулю ( = 0), то корни характеристического уравнения действительные, кратные:

Если дискриминант меньше нуля (

где — действительная, — мнимая часть комплексного числа; — мнимая единица.

Теорема 7.3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от дискриминанта и корней характеристического уравнения:

где — некоторые произвольные постоянные.

Пример:

Найти частные решения заданных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие начальным условиям:

► Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении производные неизвестной функции у соответствующими степенями неизвестного заменим на — на а на 1. В результате получим квадратное уравнение: