Линия без потерь и ее уравнения

Колебания в линиях без потерь

Содержание:

Колебания в линиях без потерь:

Любая реальная линия всегда обладает потерями. Однако на практике во многих случаях применяются очень короткие линии, собственное затухание которых составляет тысячные доли децибел, а длина их

В подобных линиях величины первичных параметров R и G очень малы

Определение:

Линии, в которых удовлетворяются условия называются линиями с пренебрежимо малыми потерями или линиями без потерь.

Такая идеализация справедлива для линий, работающих в области сверхвысоких частот (фидеров, измерительных линий, согласующих СВЧ устройств и т. д.). Она позволяет более ясно представить волновые процессы в длинных линиях и существенно упростить расчёты.

25.1.1. Вторичные параметры и уравнения передачи длинной линии без потерь

При условии равенства нулю первичных параметров R = 0 и G = 0 вторичные параметры линии без потерь принимают вид:

коэффициент распространения линии без потерь чисто мнимый:

коэффициент затухания равен нулю

коэффициент фазы линейно зависит от частоты

волновое сопротивление является чисто активным (резистивным)

Уравнения передачи линии без потерь, описывающие распределение напряжений и токов в режиме гармонических колебаний, можно получить из выражений (24.16) и (24.17) после подстановки в них соответствующих вторичных параметров. Необходимо также учесть, что в теории длинных линий без потерь общепринято отсчитывать расстояние до выбранного сечения не от начала линии, а от её конца, как показано на рис. 25.1. Тогда, произведя в уравнениях (24.16) и (24.17) замены получаем:

(25.1)

Группируя слагаемые в уравнениях (25.1) и пользуясь формулой Эйлера

приведём систему уравнений к более удобному виду:

(25 2)

Выразим напряжение и ток через напряжение и ток падающей волны. Рассмотрим первое уравнение в (25.1):

в котором стоящая в скобках дробь представляет собой коэффициент отражения р линии без потерь. Действительно,

и согласно определению (24.15) имеем:

(23.5)

Полученный результат позволяет записать выражение для комплексной амплитуды напряжения

(25.4)

Аналогичные преобразования второго уравнения в (25.1) приводят к записи комплексной амплитуды тока в виде:

(25.5)

Уравнения (25.4) и (25.5) являются уравнениями передачи длинной линии без потерь, которые удобно представить в виде системы уравнений:

(25.6)

в длинных линиях без потерь модуль коэффициента отражения при нагрузке линии на любой пассивный двухполюсник не может превышать единицы.

Действительно, поскольку вещественная часть комплексного пассивного сопротивления нагрузки всегда не меньше нуля , то имеет место неравенство

(25.7)

По этой причине амплитуда отражённой волны в линии без потерь при любой пассивной нагрузке не может превышать амплитуду падающей волны.

Режим бегущей волны (согласованной нагрузки) в линии без потерь

Рассмотрим частный случай, когда сопротивление нагрузки линии без потерь является чисто активным и равным волновому сопротивлению

Понятно, что при этом условии отношение напряжения на нагрузке равно произведению волнового сопротивления на ток в нагрузке а уравнения передачи принимают вид:

(25.8)

Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям колебаний, из (25.8) получаем:

(25.9)

где — начальная фаза колебаний в конце линии.

Из (25.9) можно сделать следующие выводы (рис. 25.2):

• начальные фазы напряжения и тока в конце линии равны друг другу поскольку
• отражённая волна отсутствует;
• колебания напряжения и тока в любом сечении линии происходят в фазе;
• амплитуды тока и напряжения остаются неизменными по всей линии.

Режим стоячих волн

Рассмотрим режим длинной линии, когда модуль коэффициента отражения равен единице: Это приводит к полному отражению падающей волны,

что согласно формуле коэффициента отражения для линии без потерь (25.7) возможно в трёх случаях:

• линия замкнута накоротко ;
• линия разомкнута
• линия нагружена на чисто реактивное сопротивление .

Изучим указанные варианты, для чего положим для простоты значение начальной фазы падающей волны в конце линии равным нулю и получим мгновенные значения напряжения и тока.

Обратимся к системе уравнений (25.6) и вновь рассмотрим уравнение для напряжения, где

где — аргумент коэффициента отражения. Отсюда получаем мгновенные значения напряжения:

Следовательно, мгновенное значение напряжения в линии без потерь имеет вид:

Применение к последнему равенству известной формулы для суммы косинусов

дает следующий результат:

(25.11)

Аналогично, с использованием формулы для разности косинусов, можно получить выражение для тока:

Изучим выражение (25.11). Оно отображает гармоническое колебание с частотой и амплитудой

значения которой изменяются вдоль линии следующим образом:

в сечениях линии, где

амплитуда гармонического напряжения принимает максимальное значение, вдвое превышающее амплитуду напряжения падающей волны;

в сечениях линии, где

амплитуда напряжения равна нулю .

Картина распределения напряжения вдоль линии для двух моментов времени показана на рис. 25.3.

Рассмотренный режим колебаний в линии называется режимом стоячих волн.

Режим стоячих волн характеризуется (рис. 25.3):

наличием в линии сечений, в которых амплитуда колебаний равна нулю, и сечений, в которых она максимальна; первые называются узлами, вторые — пучностями стоячей волны;

удалённостью смежных узлов и смежных пучностей друг от друга на расстояние, равное половине длины падающей (отражённой) волны, что следует из (25.13) и (25.14);

расстоянием между узлом и смежной пучностью, равным четверти длины волны;

В режиме короткого замыкания линии , поэтому

синфазностью колебаний напряжения в любых сечениях (точках), находящихся между смежными узлами;

скачкообразным изменением фазы колебаний на при переходе через узел.

Анализируя выражение (25.12) для тока, получаем те же выводы, что и для напряжения, но узлы тока совпадают с пучностями напряжения, а пучности тока — с узлами напряжения, что показано (рис. 25.4) на примере распределения амплитуд напряжений и токов в короткозамкнутой линии (режим короткого замыкания): в конце линии расположен узел напряжения , которому соответствует пучность тока.

Распределение амплитуд и фаз можно найти из (25.11) и (25.12), если положить поскольку при коротком замыкании

Распределение амплитуд напряжений и токов в разомкнутой линии (режим холостого хода) показано на рис. 25.5: в конце линии располагаются узел тока и пучность напряжения.

При нагрузке линии реактивным сопротивлением первый узел или первая пучность напряжения располагается на удалении четверти длины волны от конца линии.

Выводы:

• в режиме стоячих волн не происходит рассеяния энергии, подведённой ко входу линии, поскольку в самой линии, по определению, отсутствуют потери R = G = 0, а сопротивление нагрузки, как указано в начале данного раздела, или равно нулю, или бесконечно велико, или чисто реактивно;
• по этой причине разность фаз колебаний напряжения и тока в любом сечении линии равна что видно из сравнения выражения для напряжения (25.10) и для тока (25.11);
• последнее означает, что входное сопротивление линии является чисто реактивным.

Режим смешанных волн

Изученные режимы бегущих и стоячих волн соответствуют предельным случаям, в первом из которых отражённая волна отсутствует а в других — амплитуды падающей и отражённой волн одинаковы во всех сечениях длинной линии.

Рассмотрим режим линии без потерь при несогласованной нагрузке, когда Ясно, что в таком случае отражённая волна присутствует, причём её амплитуда меньше амплитуды падающей волны.

На основании (25.10) запишем решение для мгновенного значения напряжения при

где — аргумент коэффициента отражения.

Покажем, что это выражение описывает сумму бегущей и стоячей волн. Для этого в правой части уравнения вычтем и прибавим слагаемое

(25.15)

Таким образом, в рассматриваемом режиме происходит наложение бегущей (первое слагаемое) и стоячей (второе слагаемое) волн. По этой причине подобный режим колебаний называется режимом смешанных волн. Графики распределения амплитуд напряжения и тока в данном режиме показаны на рис. 25.б.

В узлах напряжений стоячей волны, где амплитуда напряжения в линии совпадает с амплитудой бегущей волны и минимальна:

Т. е. равна разности амплитуд падающей и отражённой волн.

Соответствующие сечения отстоят друг от друга на расстоянии, равном половине длины волны Пучности стоячей волны располагаются в тех сечениях, где т. е. там, где Подставляя в (25.15)

получаем:

Следовательно, в сечениях, соответствующих пучностям стоячей волны, амплитуды падающей и отражённой волн складываются, и напряжение в этих сечениях максимально:

В силу того, что в стоячей волне узлам напряжения соответствуют пучности тока и наоборот, то в режиме смешанных волн в сечениях, где амплитуда напряжения минимальна (максимальна), амплитуда тока максимальна (минимальна) и составляет:

Определение:

Отношение минимальной и максимальной амплитуд колебаний напряжения (тока) в линии называется коэффициентом бегущей волны.

(25.16)

Режиму бегущей волны соответствует а режиму стоячей волны

Входное сопротивление линии без потерь

Определение:

Входным сопротивлением линии в сечении, удалённом на расстояние от конца линии, называют отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в этом сечении.

Согласно (24.33) имеем:

(25.17)

Поскольку амплитуды падающей и отражённой волн в линии без потерь остаются, как было показано ранее, неизменными по всей длине линии, и амплитуды повторяются с периодом, равным половине длины волны, то и входное сопротивление линии обладает тем же периодом:

что также видно из (25.17).

Действительно, вычисляя показатель правой экспоненты в сечении линии, равном , получаем:

а при таком показателе значение экспоненты

Рассмотрим два важных для практики режима, используемые для определения первичных и вторичных параметров длинных линий при их строительстве и эксплуатации: режим КЗ и режим XX.

Режим короткого замыкания линии

Для этого режима коэффициент отражения а входное сопротивление, согласно (25.17),

(25.18)

чисто реактивно. Это является следствием того, что электрическая энергия при коротком замыкании (КЗ) линии не рассеивается. График входного сопротивления в режиме КЗ (рис. 25.7) представляет собой обычную тангенсоиду как функцию координаты. В пучностях напряжений (узлах тока) сопротивление короткозамкнутой линии бесконечно велико (имеет место полюс сопротивления), а в узлах напряжения (пучностях тока) оно равно нулю (имеет место нуль сопротивления). На участке линии, длина которого равна половине длины волны, сопротивление линии изменяется от до что даёт возможность подобрать такой отрезок длинной линии без потерь, который при заданной длине волны (частоте колебаний) имел бы любое наперёд определённое реактивное сопротивление как индуктивного, так и ёмкостного характера.

Положение полюсов и нулей сопротивления зависит от частоты колебания, действующего в линии длиной . Эта зависимость объясняется тем, что коэффициент фазы является функцией частоты (24.6). Найдём частоты на которых располагаются полюсы сопротивления, для чего в (25.18) заменим на .

Ясно, что функция обращается в бесконечность, когда её аргумент принимает значения При этом условии и равенстве (24.6) получаем выражение

(25.19)

Отсюда первый полюс сопротивления расположен на частоте

(25.20)

на которой короткозамкнутая линия ведет себя как параллельный колебательный LC-контур, имеющий резонансную частоту .

Режим холостого хода линии

В режиме холостого хода (XX) р = 1 входное сопротивление

также чисто реактивно. Его график представлен на рис. 25.8.

Сравнение графиков рис. 25.7 и 25.8 показывает, что один из них сдвинут относительно другого на четверть длины волны. Это естественно, поскольку разомкнутую на конце линию можно нарастить короткозамкнутым четвертьволновым отрезком, имеющим большое входное сопротивление, что никак не нарушит режима в линии.

Согласно (25.21) полюсы сопротивления в режиме XX линии длиной будут располагаться на частотах где т. е. на тех частотах, на которых располагаются нули сопротивления короткозамкнутой линии, а именно:

(25.22)

Выводы из разд. 25.4.1 и 25.4.2:

• при любой из частот (25.19) и (25.22) по длине линии укладывается ровно четвертьволновых отрезков;
• нули и полюсы сопротивления перемежаются (чередуются);
• на частотах, на которых располагаются полюсы (нули) сопротивления короткозамкнутой линии, располагаются нули (полюсы) разомкнутой линии;
• сопротивление линии возрастает с ростом частоты.

Входное сопротивление линии с произвольной нагрузкой

Рассмотрим выражение (25.17) при произвольном комплексном сопротивлении нагрузки . Входное сопротивление будет принимать максимальное по модулю значение в тех сечениях линии, где числитель максимален, а знаменатель минимален. Это возможно, когда

В таких случаях входное сопротивление чисто активно и максимально:

С другой стороны, входное сопротивление минимально по модулю в тех сечениях линии, где числитель минимален, а знаменатель максимален. Это возможно, когда

В таких случаях входное сопротивление также чисто активно, но минимально:

Понятно, что расстояние между смежными сечениями линии, в которых её входное сопротивление чисто активно и максимально (минимально), равно половине длины волны в линии, поскольку на таком расстоянии относительно друг друга расположены максимумы (минимумы) амплитуды напряжения. А посредине между ними расположены минимумы (максимумы) активной части входного сопротивления линии.

Действительно, расстояние между смежными сечениями (или ) составляет

а расстояние между смежными сечениями и равно:

В промежутках между этими сечениями линии её входное сопротивление является комплексным. Графики и показаны на рис. 25.9.

Таким образом, вещественная составляющая входного сопротивления находится в границах:

Примеры применения длинных линий с пренебрежимо малыми потерями

При синтезе разнообразных линейных электрических цепей частр существенную роль играет относительная ширина рабочей полосы частот , под которой понимают отношение рабочей полосы частот к среднегеометрической частоте рабочей полосы

Чем меньше это отношение, тем уже относительная ширина. В большинстве практически важных случаев относительная ширина рабочей полосы частот, в которой используется линия с пренебрежимо малыми потерями, является весьма узкой. По этой причине можно без большой погрешности пользоваться характеристиками линии для среднегеометрической частоты рабочей полосы частот.

Такой «одночастотный» подход позволяет строить разнообразные устройства на отрезках длинных линий с пренебрежимо малыми потерями.

Металлический изолятор

Входное сопротивление короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии стремится к бесконечности (рис. 25.7):

что позволяет использовать такой отрезок линии в качестве металлического изолятора на частоте , длина волны которой в четыре раза больше длины самого отрезка.

При наличии малых потерь (собственное затухание линии ) мнимая составляющая входного сопротивления четвертьволнового отрезка равна нулю

поэтому такой отрезок обладает только вещественным сопротивлением

которое значительно больше волнового сопротивления линии

Такие изоляторы по своим электрическим и конструктивно-механическим параметрам превосходят изоляторы из диэлектриков. Их используют для подвески двухпроводных воздушных фидерных линий (рис. 25.10): жёсткие металлические трубы или прутья подсоединяются к линии, их нижние концы заземляются, чем обеспечивается режим КЗ.

для чётных гармоник рабочей частоты металлический изолятор представляет малое сопротивление, приближённо равное , поэтому такой отрезок может использоваться в качестве фильтра, подавляющего все чётные гармоники частоты Это объясняется следующим: в режиме КЗ на частотах, где у линии без потерь располагаются нули сопротивления входное сопротивление линии с малыми потерями оказывается равным (24.30)

Колебательный контур

Колебательные системы техники сверхвысоких частот (СВЧ) не могут быть построены на катушках индуктивности и конденсаторах, поэтому взамен их используются отрезки линий с малыми потерями в режиме короткого замыкания или холостого хода.

Согласно (25.20) короткозамкнутый отрезок линии (рис. 25.11) в области первого из полюсов сопротивления (рис. 25.7) эквивалентен параллельному колебательному контуру, имеющему резонансную частоту

и резонансное сопротивление

которое можно получить из общей формулы (24.33) при условии, что для короткозамкнутой линии

Ширину полосы пропускания такого колебательного контура на уровне 0,707 можно найти по приближённой формуле

также получаемой из (24.33).

Добротность короткозамкнутого четвертьволнового отрезка

может достигать нескольких тысяч, что по крайней мере на порядок выше добротности, достижимой в RLC-KOHTypax.

Линейный вольтметр

Определение:

Линейным вольтметром (рис. 25.12) называется измерительный прибор с малым входным сопротивлением , включённый через четвертьволновый отрезок линии.

Подключение измерительного прибора к четвертьволновому отрезку образует практически короткозамкнутый отрезок, входное сопротивление которого (а потому и самого линейного вольтметра) становится очень большим. Такой прибор не оказывает заметного влияния на режим работы линии, а потому и на результаты измерений напряжения.

Действующие значения тока протекающего через измерительный прибор, и напряжения подведённого к линейному вольтметру, связаны соотношением , что следует из уравнений (25.8) при Подобные приборы используются в технике СВЧ.

Трансформатор сопротивлений

В технике СВЧ типовым является каскадное включение линий, имеющих разные волновые сопротивления и (рис. 25.13). В связи с этим возникает задача согласования сопротивлений таких линий, т. е. преобразование, или трансформация указанных сопротивлений.

Для этого между двумя линиями включают согласующий трансформатор сопротивлений, представляющий собой четвертьволновый отрезок. Найдём, чему должно быть равно волновое сопротивление этого отрезка. Воспользуемся уравнениями передачи линии в форме (25.2) при условии, что , и запишем их для отрезка длиной

Отсюда имеем входное

Но входное сопротивление отрезка равно волновому сопротивлению левой линии а сопротивление его нагрузки равно волновому сопротивлению правой линии поэтому волновое сопротивление отрезка равно корню квадратному из произведения волновых сопротивлений каскадно включаемых линий:

Четверть и полуволновые отрезки длинных линий применяются в теории и практике волновых аналоговых фильтров, рассматриваемых в лекции 45.

• ЭДС и напряжение в электрической цепи
• Закон Ома для участка цепи
• Электрическое сопротивление
• Закон Ома для замкнутой цепи
• Операторные передаточные функции
• Свободные колебания в пассивных электрических цепях
• Цепи с распределёнными параметрами
• Волновые параметры длинной линии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Линия без потерь ЛБП

Линия без потерь ЛБП

Линия без потерь (ЛБП) – это длинная линия, в которой активными потерями можно пренебречь, то есть R₀ = 0, G₀ = 0. Волновое сопротивление линии без потерь постоянно

Z В = Z 0 Y 0 = R 0 + s L 0 G 0 + s C 0 = L 0 C 0 = const ,

то есть согласование нагрузки Z_H = Z_B возможно на любой частоте.

γ 0 = Z 0 Y 0 = s L 0 C 0

описывается дробно-рациональной функцией.

Передаточная функция в согласованном режиме

H U ( s ) = H I ( s ) = e − γ 0 l = e − s l L 0 C 0 = e − s t З ,

то есть u₂(t) = u₁(t – t_З); сигналы проходят по линии без потерь длиной l с запаздыванием

v = l t З = 1 L 0 C 0 .

H U ( j ω ) = H I ( j ω ) = A e j Φ = 1 ⋅ e − j ω t З

также соответствуют характеристикам неискажающей цепи.

Приближаются к линии без потерь реальные длинные линии небольших размеров с малыми потерями, а также длинные линии в которых выполняется условие ωL₀ >> R₀, ωC₀ >> G₀ при передаче сигналов высоких частот.

ЛБП, Линия без потерь

Лекция n 21

Линия без потерь

Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры и равны нулю. В этом случае, как было показано ранее, и . Таким образом,

,

откуда .

Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента :

Тогда для линии без потерь, т.е. при , имеют место соотношения:

и .

Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента:

;

.

Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении и , что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (17) и (18).

Стоячие волны в длинных линиях

Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают стоячие волны.

Рассмотрим два предельных случая: ХХ и КЗ в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю.

При ХХ на основании уравнений (17) и (18) имеем

и ,

откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать

;

.

Последние уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами.

При ХХ в соответствии с (19) и (20) в точках с координатами , где — целое число, имеют место максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами. В точках с координатами пучности и узлы напряжения и тока меняются местами (см. рис. 2). Таким образом, узлы и пучности неподвижны, и пучности одной переменной совпадают с узлами другой и наоборот.

При КЗ на основании уравнений (17) и (18)

и ,

откуда для мгновенных значений можно записать

т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.

Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

Что называется линией без искажений? Как соотносятся первичные параметры в такой линии?

Запишите уравнения линии конечной длины для случаев, когда заданы ее входные напряжение и ток и когда выходные.

Как определяются параметры цепи с распределенными параметрами?

Что называется линией без потерь? Какими свойствами она обладает?

При каких условиях в линии образуются стоячие волны?

Определить напряжение и ток на входе трехфазной линии электропередачи длиной , если , , . Параметры линии на фазу: , , , . Определить КПД линии.

Ответ: ; ; .

Определить входное сопротивление линии без потерь длиной в четверть волны, нагруженной на емкостную нагрузку при частоте 100 МГц. Волновое сопротивление .

Ответ: .

Однородная двухпроводная линия без искажений имеет волновое сопротивление , скорость распространения волны и затухание 1,5 Неп на 100 км. Определить первичные параметры линии, и также ее КПД при длине и нагрузке, равной волновой.

Ответ: ; ; ; ; .

Линия без потерь нагружена на емкостное сопротивление, численно равное волновому. , . В конце линии . Найти на расстоянии 1м от конца линии.

Ответ: .

Линия без потерь длиной разомкнута на конце. , в начале линии . Найти в середине линии.

Ответ: .

Входное сопротивление длинной линии

Входным сопротивлением длинной линии (цепи с распределенными параметрами) называется такое сосредоточенное сопротивление, подключение которого вместо линии к зажимам источника не изменит режим работы последнего.

В общем случае для линии с произвольной нагрузкой для входного сопротивления можно записать

.

Полученное выражение показывает, что входное сопротивление является функцией параметров линии и , ее длины и нагрузки . При этом зависимость входного сопротивления от длины линии, т.е. функция , не является монотонной, а носит колебательный характер, обусловленный влиянием обратной (отраженной) волны. С ростом длины линии как прямая, так соответственно и отраженная волны затухают все сильнее. В результате влияние последней ослабевает и амплитуда колебаний функции уменьшается. При согласованной нагрузке, т.е. при , как было показано ранее, обратная волна отсутствует, что полностью соответствует выражению (1), которое при трансформируется в соотношение

.

Такой же величиной определяется входное сопротивление при .

При некоторых значениях длины линии ее входное сопротивление может оказаться чисто активным. Длину линии, при которой вещественно, называют резонансной. Как и в цепи с сосредоточенными параметрами, резонанс наиболее ярко наблюдается при отсутствии потерь. Для линии без потерь на основании (1) можно записать

.

Из (2) для режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), т.е. случаев, когда потребляемая нагрузкой активная мощность равна нулю, соответственно получаем:

;

.

Исследование характера изменения в зависимости от длины линии на основании (3) показывает, что при по модулю изменяется в пределах и имеет емкостный характер, а при — в пределах и имеет индуктивный характер. Такое чередование продолжается и далее через отрезки длины линии, равные четверти длины волны (см. рис. 1,а).

В соответствии с (4) аналогичный характер, но со сдвигом на четверть волны, будет иметь зависимость при КЗ (см. рис. 1,б).

Точки, где , соответствуют резонансу напряжений, а точки, где , — резонансу токов.

Таким образом, изменяя длину линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Поскольку длина волны есть функция частоты, то аналогичное изменение можно обеспечить не изменением длины линии, а частоты генератора. При некоторых частотах входное сопротивление цепи с распределенными параметрами также становится вещественным. Такие частоты называются резонансными. Таким образом, резонансными называются частоты, при которых в линии укладывается целое число четвертей волны.

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами имеют характер блуждающих волн, распространяющихся по цепи в различных направлениях. Эти волны могут претерпевать многократные отражения от стыков различных линий, от узловых точек включения нагрузки и т.д. В результате наложения этих волн картина процессов в цепи может оказаться достаточно сложной. При этом могут возникнуть сверхтоки и перенапряжения, опасные для оборудования.

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при различных изменениях режимов их работы: включении-отключении нагрузки, источников энергии, подключении новых участков линии и т.д. Причиной переходных процессов в длинных линиях могут служить грозовые разряды.

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных

;

Их интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим и . Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений и сверхтоков.

С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям

Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:

;

.

Учитывая, что для линии без потерь , после подстановки соотношения (10) в (9) получим

.

Аналогично получается уравнение для тока

.

Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения

;

.

Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн

и ,

где .

При расчете переходных процессов следует помнить:

В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.

Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.

Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.

Как указывалось, переходный процесс в цепях с распределенными параметрами характеризуется наложением многократно отраженных волн. Рассмотрим многократные отражения для двух наиболее характерных случаев: подключение источника постоянного напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой линии.

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на конце линии

При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале линии сразу же достигает величины , и возникают прямые волны прямоугольной формы напряжения и тока , перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно , а ток — .

Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.

Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4,а) волна будет иметь форму на рис. 4,б.

В рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны напряжения и тока (см. рис. 3,а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно и , что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно, условия в конце линии не могут влиять на процесс.

В момент времени волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута, то

,

откуда и .

В результате (см. рис. 3,б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.

В момент времени , обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение , приходит к источнику, поддерживающему напряжение . В результате возникает волна напряжения и соответствующая волне тока (см. рис. 3,в).

В момент времени волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ и (см. рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет повторяться с периодичностью .

В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени картина процесса соответствует рассмотренной выше. При , поскольку в конце линии и , что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины . При от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения и соответствующая ей волна тока , обусловливающая ток в линии, равный , и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на .

Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

Какой характер имеет зависимость входного сопротивления линии от ее длины и почему?

С помощью чего можно изменять характер и величину входного сопротивления цепи с распределенными параметрами?

Какое допущение лежит в основе анализа переходных процессов в длинных линиях?

Каким законом связаны волны напряжения и тока в переходных режимах?

Линия без потерь имеет длину , фазовая скорость волны . При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления?

Ответ: .

При каких длинах линии без потерь в ней будут наблюдаться резонансные явления, если фазовая скорость равна скорости света, а частота ?

Ответ: .

Постройте эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии, питаемой от источника постоянного напряжения, при включении и отключении в ее конце резистивной нагрузки.

Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными
параметрами к нулевым начальным условиям

С учетом граничных условий расчет переходных процессов в цепях с распределенными параметрами можно проводить как при нулевых, так и ненулевых начальных условиях. Однако в первом случае анализ осуществляется в целом проще, что определяет целесообразность сведения расчета к нулевым начальным условиям. Пример такого сведения на основе принципа наложения для задачи на подключение в конце линии нагрузки схематично иллюстрирует рис. 1, где в последней схеме сопротивление имитирует входное сопротивление активного двухполюсника.

Таким образом, если к линии, в общем случае заряженной, подключается некоторый в общем случае активный двухполюсник, то для нахождения возникающих волн необходимо определить напряжение на разомкнутых контактах ключа (рубильника), после чего рассчитать токи и напряжения в схеме с сосредоточенными параметрами, включаемой на это напряжение при нулевых начальных условиях. Полученные напряжения и токи накладываются на соответствующие величины предыдущего режима.

При отключении нагрузки или участков линии для расчета возникающих волн напряжения и тока также можно пользоваться методом сведения задачи к нулевым начальным условиям. В этом случае, зная ток в ветви с размыкаемым ключом (рубильником), необходимо рассчитать токи и напряжения в линии при подключении источника тока противоположного направления непосредственно к концам отключаемой ветви. Затем полученные токи и напряжения также накладываются на предыдущий режим.

В качестве примера такого расчета рассмотрим длинную линию без потерь на рис. 2, находящуюся под напряжением , к которой подключается дополнительный приемник с сопротивлением .

В соответствии со сформулированным выше правилом схема для расчета возникающих при коммутации волн будет иметь вид на рис. 3. Здесь

;

и в соответствии с законом Ома для волн

.

Соответствующие полученным выражениям эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии представлены на рис. 4.

Отметим, что, поскольку

,

к источнику от места подключения нагрузки пошла волна, увеличивающая ток на этом участке.

Если наоборот приемник с сопротивлением не подключается, а отключается, то расчет возникающих при этом волн тока и напряжения следует осуществлять по схеме рис.5.

Правило удвоения волны

Пусть волна произвольной формы движется по линии с волновым сопротивлением и падает на некоторую нагрузку (см. рис. 6,а).

Для момента прихода волны к нагрузке можно записать

;