Линия тока трубка тока уравнение бернулли

Линия тока трубка тока уравнение бернулли

Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

1.6.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует поле векторов скорости. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором (Рис. 1.6.1). Эти линии называются линиями тока .

Рис. 1.6.1. Линии тока в жидкости

Густота линий (отношение числа линий к единичной площадке) пропорциональна величине скорости в данном месте.

Картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то такое движение называется установившимся, или стационарным . Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Вектор скорости будет касательным к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (Рис. 1.6.2).

Рис. 1.6.2. Трубка тока

Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время dt через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает значения vdt. Следовательно, за время dt через сечение S пройдет объем жидкости, равный Svdt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (ее плотность одинакова и не изменяется), то количество жидкости между сечениями S₁ и S₂ (Рис.1.6.3) будет оставаться неизменным.

Рис. 1.6.3. К теореме о неразрывности струи

Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S₁ и S₂, должны быть одинаковыми (считаем, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят):

Данный результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи . Из соотношения (1.6.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (Рис.1.6.4) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.

Рис. 1.6.4. Изменение скорости струи

1.6.2. Уравнение Бернулли

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с трением. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (Рис.1.6.5). Рассмотрим малый объем жидкости, ограниченной стенками трубки тока и перпендикулярными сечениями S₁ и S₂. За время Δt этот объем переместится вдоль трубки тока (сечение S₁ переместится в положение S₁‘, пройдя путь Δl₁, сечение S₂ переместится в положение S₂‘, пройдя путь Δl₂). В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: ΔV₁ = ΔV₂ =ΔV.

Рис. 1.6.5. К выводу уравнения Бернулли

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время Δt в любой из точек незаштрихованного объема (например, в точке О), имеет такую же скорость, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии ΔЕ можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов ΔV₁ и ΔV₂.

Возьмем сечение трубки тока и отрезки Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления р и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом (ρ — плотность жидкости):

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (1.6.2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым оно приложены, и работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S₁ и S₂:

Приравнивая (1.6.2) и (1.6.3), после упрощения получим:

Сечения S₁ и S₂ были взяты совершенно произвольно. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:

Данное соотношение носит наименование уравнения Бернулли . Несмотря на то, что оно получено в приближении идеальности жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не слишком велико.

Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда будет выполняться равенство:

откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.

Для жидкости, текущей горизонтально, выполняется:

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

1.6.3. Силы внутреннего трения

Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость, или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим такой опыт. Пусть в жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (Рис. 1.6.6), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние d между ними.

Рис. 1.6.6. Внутреннее трение в жидкостях

Считаем нижнюю пластину неподвижной, а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v₀. Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v₀ необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной силой . Поскольку пластина не получает ускорения, то действие этой силы уравновешивается равное по величине, но противоположно направленной силой .

Из опыта следует, что выполняется:

где S — площадь пластин, h — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости, называемы коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Нижняя пластина при перемещении верхней пластины также оказывается подверженной действию силы , по величине равной силе . Чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, должно выполняться: . Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому. Если в любом месте зазора провести плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой . Следовательно, соотношение (1.6.8) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону:

Действительно, частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и движутся с той же скоростью, что и пластины. Из (1.6.9) следует:

Подставляя (1.6.10) в (1.6.8), имеем:

Следовательно, сила трения пропорциональна градиенту скорости.

Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м&sup2 поверхности касания слоев (1 Н·с/м&sup2). В СГС единицей вязкости служит 1 пуаз (пз), равный такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 см/с на 1 см, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см&sup2 поверхности касания слоев. 1 Н·с/м&sup2 = 10 пз.

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем у жидкостей вязкость сильно уменьшается с температурой, у газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой возрастает. Такое различие указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. При повышении температуры сильно возрастает подвижность молекул в жидкости, что и влечет уменьшение ее вязкости.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Конспект по физике на тему «Уравнение Бернулли» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зависимость давления жидкости от скорости ее течения. Движение тел в жидкостях и газах. Уравнение Бернулли. Использование и учет его в технике и жизни .

Один из способов наблюдения течения жидкости состоит в том, что к жидкости подмешивают алюминиевый порошок и следят при сильном освещении за движением алюминиевых блесток. При этом траектории движения этих частиц будут совпадать с линиями тока.

Линии тока – линии, проведенные так, что касательные к ним совпадают по направлению со скоростями частиц жидкости в соответствующих точках пространства.

Свойства линий тока:

1) Цепочки, которые образует алюминиевый порошок, показывают форму линий тока.

2) Через любую точку жидкости можно провести линию тока.

3) Направление линий тока определяется направлением скорости частиц жидкости в данной точке.

4) Густота линий тока характеризует величину скорости в разных точках пространства текущей жидкости: там, где линии тока расположены гуще, скорость больше; там, где линии тока расположены реже, скорость меньше.

Трубка тока – объем жидкости, ограниченный линиями тока.

Скорости элементов жидкости в каждой точке поверхности трубки направлены по касательной к этой поверхности, поэтому частицы при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Различают два вида движения жидкостей:

движение жидкости, при котором отдельные ее слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь.

Движение жидкости, сопровождающееся перемешиванием ее различных слоев с образованием завихрений.

Примеры: течение воды в спокойных реках,

Примеры: поток быстрых рек, океанские течения.

Для описания движения жидкости обычно пользуются следующим методом: фиксируют скорости различных элементов жидкости в одних и тех же точках пространства. Кинематически описать движение реальных жидкостей достаточно сложно. Примем некоторые допущения для упрощения задачи:

1) Ограничимся рассмотрением ламинарного течения.

2) При описании движения жидкости будем рассматривать идеальные жидкости:

Идеальная жидкость – жидкость, вязкостью и сжимаемостью которой можно пренебречь.

Когда мы говорим, что жидкость несжимаема, то имеем в виду, что она не может быть сжата настолько, чтобы заметно изменился ее объем, но очень малое сжатие, вызывающее появление сил упругости, неизбежно происходит.

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление относительному перемещению своих частей. Вязкость обусловлена наличием сил внутреннего трения в жидкости.

3) Будем считать, что движение жидкости стационарное:

Скорости элементов жидкости в различных точках пространства, вообще говоря, различны. Если во всех точках пространства скорости элементов жидкости не меняются со временем, то движение жидкости называется стационарным (установившимся).

При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку с одним и тем же значением скорости. В другой какой-либо точке скорость частицы будет иной, но также постоянной во времени для всех частиц.

Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной. Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Рассмотрим ламинарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. Разобьем жидкость на отдельные трубки тока, настолько тонкие, что в каждом сечении скорости элементов жидкости можно считать одинаковыми.

Рассмотрим два сечения S ₁ и S ₂ . Обозначим через и соответствующие скорости течения жидкости.

За малое время Δ t через первое сечение проходит жидкость, масса которой равна: , а через второе — .

Для несжимаемой жидкости и , так как жидкость не пересекает стенок трубки и не может в ней накапливаться. Следовательно:

–уравнение неразрывности несжимаемой жидкости:

модули скоростей несжимаемой жидкости в двух сечениях трубки тока обратно пропорциональны площадям сечений.

Это уравнение справедливо как для стационарного, так и для нестационарного течения.

Давление внутри неподвижной жидкости передается в любую точку этой жидкости без изменений (закон Паскаля). Выясним распределение давления в движущейся жидкости.

Рассмотрим следующий опыт. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены открытые сверху измерительные трубки. При стационарном течении жидкость в каждой измерительной трубке поднимается до определенной высоты, отсчитываемой от горизонтального уровня. По высоте столба жидкости можно судить о ее давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но, согласно уравнению неразрывности несжимаемой жидкости, чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод:

Закон Бернулли: при стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и наоборот, меньше в тех местах, где больше скорость течения.

Объяснить результат эксперимента можно следующим образом. Так как при переходе жидкости с участка трубы с большей площадью сечения, на участок с меньшей площадью сечения скорость течения увеличивается, то жидкость движется с ускорением, направленным по течению. При переходе жидкости из узкой части в широкую, скорость течения уменьшается, жидкость движется с ускорением, направленным против течения. Согласно II закону Ньютона ускорение вызывается силой и совпадает с ней по направлению. Такой силой может быть лишь равнодействующая сил давления окружающей жидкости на поверхность выделенного объема. Сила давления представляет собой силу упругости сжатой жидкости. Таким образом, в широком участке трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узком участке трубы.

Установим зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения математически. Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Система труба-жидкость-Земля является замкнутой и потенциальной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Согласно теореме об изменении потенциальной энергии:

По определению работы:

(где

— уравнение Бернулли.

где — плотность кинетической энергии или динамическое давление (обусловленное );

— плотность потенциальной энергии или гидростатическое давление (обусловленное гравитационного взаимодействия);

— статическое давление (обусловленное упругого взаимодействия)

Согласно уравнению Бернулли: сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения потока.

Если труба горизонтальна, то и уравнение примет вид:

.

Это уравнение показывает, что с увеличением скорости течения давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе, уменьшается .

Применение уравнения Бернулли:

1) Измерение давления и скорости.

Для измерения давления в текущей жидкости используют манометрические трубки, имеющие Г-образную форму с отверстиями. Если располагать трубку, чтобы отверстие было направлено навстречу потоку, скорость жидкости перед отверстием равно нулю; линии тока перед манометром расходятся, не попадая в область перед отверстием. Подставляя в уравнение Бернулли , имеем:

Давление можно измерить с помощью манометрической трубки, помещенной в поток жидкости отверстием вверх (плоскость отверстия расположена параллельно линиям тока). Течение жидкости вдоль боков трубки остается практически таким же как и без трубки, следовательно, показания манометра будут совпадать с показаниями манометра, который движется вместе с жидкостью.

Манометр, обращенный отверстием к потоку, измерит большее давление , чем манометр с отверстием, параллельным линиям тока . Избыток давления получается потому, что частицы жидкости тормозятся перед манометром, вследствие этого давление повышается.

Измерив давление и , можно определить скорость потока:

Эта формула может быть использована для измерения скорости подводной лодки или самолета.

2) Определение скорости истечения жидкостей из отверстия в сосуде.

С помощью уравнения Бернулли можно найти скорость истечения идеальной жидкости из отверстия расположенного в сосуде на глубине h относительно поверхности жидкости. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорости жидкости в сосуде малы. Ко всему потоку жидкости в целом можно применить уравнение Бернулли. В верхнем сечении у поверхности давление равно атмосферному, а скорость . В нижнем сечении трубки – в отверстии давление также равно атмосферному. Если скорость в отверстии обозначить через , то из уравнения Бернулли для этих двух сечений получим:

Истечение идеальной жидкости происходит с той же скоростью, какую имело бы тело при свободном падении с высоты h .

Применение уравнения Бернулли в технике:

1) Водоструйный насос.

Струя воды подается в трубку А, имеющую на одном конце сужение. По сужению вода течет с большей скоростью. Из-за этого давление в струе в этом месте оказывается меньше атмосферного, воздух из сосуда всасывается в струю через трубку В и удаляется вместе с водой.

Простейший пульверизатор состоит из двух трубок, расположенных перпендикулярно друг другу. Через горизонтальную трубку продувается воздух. В узкой части струи при выходе из трубки давление меньше атмосферного. Атмосферное давление поднимает жидкость по вертикальной трубке, и она распыляется струей воздуха.

3) Карбюратор – прибор, предназначенный для питания двигателя внутреннего сгорания горючей смесью.

Во время всасывающих тактов движения поршня двигателя наружный воздух проходит по трубе, которая имеет суженную часть – диффузор. В диффузоре помещен жиклер (распылитель воздуха) – трубка с малым отверстием. Жиклер соединен с поплавковой камерой карбюратора. При прохождении потока воздуха его скорость в диффузоре резко возрастает, давление становится меньше атмосферного и атмосферное давление выталкивает бензин из поплавковой камеры через жиклер. Бензин распыляется в потоке воздуха – образуется рабочая смесь, которая поступает в цилиндр двигателя.

Жидкости и газы существенно отличаются друг от друга. Различие между жидкостями и газами обусловлено большой сжимаемостью газов. Несмотря на это, явления в неподвижных жидкостях и газах аналогичны (закон Паскаля, закон Архимеда). При исследовании движения в жидкостях и газах эта аналогия во многом сохраняется, а именно: при движении газов со скоростями, значительно меньшими скорости звука (340м/с), сжимаемость газов достаточно мала и ее можно не учитывать. В связи с этим полученные ранее законы и утверждения можно применять и для газов.

Применим уравнение Бернулли для расчета подъемной силы крыла самолета.

При отсутствии сил сопротивления воздуха крыло обтекает ламинарный поток. Согласно уравнению Бернулли:

и

Если учитывать сопротивление воздуха, картина будет другая. Когда воздушный поток начинает обтекать крыло, то из-за действия сил трения у задней кромки образуется вихрь, в котором воздух вращается против часовой стрелки, если крыло движется влево. Применим уравнение Бернулли:

(т.к. вблизи точки 2 образуется вихрь) и .

Но по закону сохранения момента импульса при возникновении вращения против часовой стрелки должно возникнуть вращение по часовой стрелке.

Такое вращение воздуха и возникает вокруг крыла. На обтекающий крыло поток накладывается циркуляция воздуха вокруг крыла. В результате скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом, так как над крылом скорость циркуляции имеет такое же направление, как и скорость набегающего на крыло потока, а под крылом эти скорости противоположны по направлению. Но согласно закону Бернулли давление должно быть больше там, где скорость меньше. Следовательно, под крылом самолета давление больше, чем над ним. Из-за этого и возникает подъемная сила.

и .

Известно, что наименьшая сила сопротивления действует на тело каплеобразной формы. Такая форма крыла самолета обеспечивает хорошую его обтекаемость.

Гидродинамика. Трубка тока. Линии напоров.

Трубкой тока принято обозначать трубчатую непроницаемую поверхность, она формируется когда в текущей жидкости берут бесконечно малый замкнутый контур, причем он должен быть перпендикулярен направлению течения, и по контуру проводят линии тока через все его точки.

Часть потока, движущегося внутри трубки тока, принято называть элементарной струйкой.

Линиями одинаковых напоров принято обозначать линии перпендикулярные к линиям тока.

Проекции линий одинаковых напоров на горизонтальную поверхность формируют карту уровенной поверхности.

Уровенная поверхность – символическая поверхность, во всяком месте которой потенциал силы тяжести имеет одинаковую величину. Ее наглядной примером служит поверхность жидкости в состоянии равновесия.

Гидродинамическая сетка – система линий одинаковых напоров и перпендикулярно идущих к ним линий тока.