Линия заданная уравнением r sin есть
Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где 0 Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Упражнения
1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .
2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .
3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от декартовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением
.
4. Докажите, что уравнение
задает эллипс, если 0 
> 1.
5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?
6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?
7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = 
.
8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 
2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.
9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | 
|.
10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = 
.
11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = 
.
12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.
1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.
2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.
3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.
4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.
5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.
6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.
7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.
8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.
10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Реферат по математическому анализу выполнил: студент МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий
Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.
Определение 1. Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.
Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения TÍR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).
Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R 3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом
Определение 2. Множество ГÌR 3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t — параметром кривой.
При фиксированном значении t = t 0 Î [a, b] параметра значения x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 ) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление
Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.
Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F 1 (x, y, z) = 0, F 2 (x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать
Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ(a, b) называют простым замкнутым контуром.
Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:
причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = <(x; y) Î R 2 : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] >.
В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.
Кривизна плоской кривой.
Длина дуги иеё производная.
В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.
Пусть дуга кривой M 0 M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВ точки M 0 , M 1 , M 2 , … , M i-1 , M i …, M n -1, M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M 0 M 1 M 2 … M i -1 M i …M n -1 M, вписанную в дугу M 0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через P n .
Длиной дуги M 0 M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной M i -1 M i , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M 0 M 1 M 2 … M i-1 M i …M n-1 M .
. При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.</p><p style=)
Дадим x приращение Dx. Тогда дуга s получит приращение Ds = дл. ÈMM 1 . Пусть 
Из DMM 1 Q находим  2 +(Dy) 2 . Умножим и разделим левую часть наDs 2 :</p><p style=)
. При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.</p><p style=)
, угол смежности, соответствующий дуге ÈMM 1 равен абсолютной величине разности углов j и j+Dj, то есть равен ½Dj½.</p><p style=)
. Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q .</p><p>Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим</p><p>x = f(q) cos q, y = f(q) sin q</p><p>Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.</p><p style=)
 данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C 1 (a, b) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.</p><p>По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.</p><p>Определение 8. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L 1 , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой.</p><p>Если данная кривая определяется уравнением y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты a и b. Если же кривая задана параметрически x = j(t), y = y(t), то уравнеия (2) дают параметрические уравнеия эволюты.</p><p>Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте.</p><p style=)
</p><p style=)
, и сравнивая равенства (4), (5) находим</p><p style=)
: S(x 2 ) = s 2 , s(x 1 )= s 1 , R(x 2 )=R 2 , R(x 1 )=R 1</p><p style=)
1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L ! (рис.11 )., очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ 1 и КМ 2 к эвольвентам Э 1 и Э 2 будут лежать на отрезке М 1 М 2 общей касательной к окружностям радиусов R 1 и R 2 соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М 1 М 2 (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М 1 М 2 .</p><p>Если угловая скорость w 2 ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость w 2 R 2 движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость w 1 =w 2 R 2 /R 1 ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения w 1 /w 2 = R 2 /R 1 зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O 1 O 2 , вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.</p><p>Эвольвентное зацепление предложено математиком Л. Эилером.</p><p>1. Найдём кривизну параболы y = x 2 в любой её точке.</p><p style=)
Найдём значения X и Y: 
. Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:</p><p style=)
, а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.</p><p>Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через a угол, образованный этими касательными, или – точнее — угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).</p><p style=)
, y=y(t). Тогда</p><p style=)
, направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.</p><p>Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.</p><p>Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.</p><p>Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты a и b центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:</p><p style=)
 находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:</p><p style=)
 и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y !! ½= y !! , формулы координат центра запишем в следующем виде:</p><p style=)
, y = y(t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y ! и y !! их выражения через параметр:</p><p style=)
 и (4) получим</p><p style=)
 и R(x) на отрезке [x 1, x 2 ]:</p><p style=)
. Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L ! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L ! ; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L ! . Отсюда следует, что данная эволюта L ! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.</p><p>следует, что данная эволюта L ! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.</p><p style=)
http://vasmirnov.ru/Lecture/AnalPath/AnalPath.htm
http://www.km.ru/referats/9C113C0CE55E42398B5DBA3DD3155A90