Лобанов с г дифференциальные уравнения
Основные темы научной работы
Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах; геометрия пространств Фреше. Дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах.
Окончил мехмат МГУ в 1973 по кафедре теории функций и функционального анализа.
1975–1978 аспирантура Отделения математики мехмата МГУ.
1980 — кандидат физико-математических наук.
1995 — доктор физико-математических наук. 1973-окончание мехмата МГУ.
«Е. Б. БУРМИСТРОВА, С. Г. ЛОБАНОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Допущено Научно методическим советом по математике Министерства образования и науки . »
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЭКОНОМИКЕ
Е. Б. БУРМИСТРОВА, С. Г. ЛОБАНОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Научно методическим советом по математике
Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям направления подготовки «Экономика»
УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Б912 Высшая математика и ее приложения к экономике
Р е ц е н з е н т ы:
д р физ. мат. наук, проф. МФТИ В. Н. Диесперов;
д р физ. мат. наук, проф. МГУ им. М. В. Ломоносова Е. Т. Шавгулидзе Бурмистрова Е. Б.
912 Математический анализ и дифференциальные уравнения :
учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е. Б. Бурмистрова, С. Г. Лобанов. — М. : Издательский центр «Академия», 2010. — 368 с. — (Университетский учебник. Высшая математика и ее при ложения к экономике).
ISBN 978 5 7695 6265 5 В учебнике приведены сведения из математического анализа, теории дифференциальных и разностных уравнений, отражающие как требования образовательных стандартов, так и потребности основных разделов совре менной экономической теории. Часть материала, например теоремы об огибающей, впервые представлена в учебной литературе на русском языке.
Помимо иллюстрирующих основной материал примеров учебник содер жит задачи для самостоятельного решения.
Для студентов высшего профессионального образования. Может быть использован преподавателями математических дисциплин экономических и технических вузов.
УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Оригинал макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается © Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., 2010 © Образовательно издательский центр «Академия», 2010 © Оформление. Издательский центр «Академия», 2010 ISBN 978 5 7695 6265 5
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
x X — элемент x принадлежит множеству X x X — элемент x не принадлежит множеству X / — пустое множество A B — объединение множеств A и B A B — пересечение множеств A и B A \ B — разность множеств A и B A B — множество A содержится в множестве B A B — декартово произведение множеств A и B R, производная слева, производная справа A(j) — j-й столбец матрицы A Aij — алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A A — транспонированная матрица A det A или |A| — определитель матрицы A A1 — матрица, обратная к матрице A rang A — ранг матрицы A rang(a1. an ) — ранг системы векторов a1. an dim L — размерность линейного пространства L ker, Im — ядро и множество значений линейного оператора x . — существует такое x, что. x. — для любого x. x = f 1 (y) — функция, обратная к функции y = f (x) i, j, k — векторы единичной длины, указывающие положительное направление осей координат — конец доказательства Наши учебники «Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной» и «Математический анализ и дифференциальные уравнения» отвечают программам курсов линейной алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений для студентов экономического факультета Государственного университета — Высшей школы экономики (ГУ ВШЭ). Первый учебник включает все, что относится к линейной алгебре, в том числе некоторые сведения из аналитической геометрии, и несколько разделов одномерного математического анализа: пределы числовых функций, непрерывные числовые функции, дифференцируемые числовые функции. Второй учебник, который предлагается вашему вниманию, содержит остальные разделы математического анализа и все, что относится к дифференциальным и разностным уравнениям. Структура изложения материала данного учебника отражает место математического анализа в последовательности изучения различных дисциплин на экономическом факультете ГУ ВШЭ. В курсе микроэкономики, который начинается сразу после нового года, принято уже на ранней стадии использовать многомерный анализ. В частности, принцип множителей Лагранжа. В связи с этим интегралы и ряды рассматриваются после дифференциального исчисления функций многих переменных. Наше внимание к вопросам зависимости экстремальных значений от параметров объясняется требованиями современной экономической теории. Так называемые теоремы об огибающей позволяют получить в качестве простого следствия экономическую интерпретацию множителей Лагранжа, изучить дифференциальные свойства функций спроса по Маршаллу и по Хиксу, косвенной функции полезности и функции расходов, в частности доказать лемму Шепарда и тождество Роя. Здесь же находят естественные применения рассмотренные ранее свойства выпуклых и вогнутых функций. Всего этого нет в классических курсах математического анализа, например в знаменитом трехтомнике Г. М. Фихтенгольца [27]. По сходным причинам мы рассматриваем и применяем окаймленный гессиан — математическую конструкцию, встречающуюся почти исключительно только в литературе по математической экономике, например [16], [28], [30]. В наших учебниках всюду, где это возможно, применяются векторные, матричные или операторные обозначения. Это позволяет записывать в привычном для одномерного анализа виде некоторые важные формулы многомерного анализа. Например, производная композиции функций всякий раз есть произведение производных исходных функций, только в многомерном случае эти производные являются матрицами. Все многомерные конструкции иллюстрируются в учебнике примерами для пространств небольшой размерности и часто сопровождаются рисунками. Упражнения, расположенные в конце каждой главы, являются дополнительной иллюстрацией материала этих глав. Подобные задачи из года в год успешно решают многие студенты экономического факультета ГУ ВШЭ. В заключение мы хотели бы поблагодарить всех, кто способствовал работе над текстами. Прежде всего студентов разных лет, позволивших ознакомиться с записями наших лекций, и просто дотошных студентов, обращавшихся с поучительными для нас вопросами. На последнем этапе подготовки учебников к изданию мы учли замечания, высказанные рецензентами и научным редактором. Векторной функцией называется всякая функция f : X Rn Rm, определенная на некотором подмножестве X пространства Rn и принимающая значения из пространства Rm, где m и n — некоторые натуральные числа. Если m = 1, n 1, то о функции говорят, что это числовая функция многих переменных. В случае m 1, n 1 будем говорить, что f — векторная функция многих переменных. Векторная запись функции y = f (x) соответствует равенству строк Графиком отображения f : X Y некоторых множеств X и Y называется подмножество <(x, y) : x X, y = f (x) Y >декартова произведения множеств X Y. В случае X Rn, Y Rm график является подмножеством пространства Rn Rm, которое можно отождествить с пространством Rn+m, записывая упорядоченную пару строк в виде одной строки, составленной из элементов данных двух строк. Таким образом, нарисовать график можно лишь при n + m 3. Пример 1.1. 1. Квадрат длины вектора: f : R2 R, (x1, x2 ) x2 + x2 или y = x2 + x2. Здесь n = 2, m = 1, n + m = 3, следовательно, график функции может быть изображен. Множество точек из Rn, удовлетворяющих уравнению f (x) = = C, где C — заданная константа, которая при n = 2 называется линией уровня, а при n 2 — поверхностью уровня функции f. В некоторых разделах экономической теории это же называют изоквантой, или линией безразличия, метеорологи говорят об изотермах и т. д. Линия уровня f (x, y) = C функции двух переменных есть проекция на горизонтальную координатную плоскость z = 0 линии пересечения графика функции z = f (x, y) с плоскостью z = C. В данном случае линии уровня x2 + y 2 = C являются при C 0 окружностями радиуса C с центром в начале координат, линия уровня при C = 0 состоит из одной точки, линий отрицательного уровня нет. 2. Равномерное вращение точки по единичной окружности: f : R R2, t (cos t, sin t) или x = cos t, y = sin t. Множество значений данной функции есть окружность единичного радиуса с центром в начале координат, так как x2 + y 2 = 1 при всех t. Здесь n = 1, m = 2, n + m = 3, следовательно, график функции может быть изображен в трехмерном пространстве. В данном случае график оказывается спиралью, расположенной на поверхности бесконечного цилиндра радиусом 1, осью симметрии которого является ось времени Ot. 3. Связь полярных и декартовых координат: f : R2 R2, (, ) ( cos, sin ). Если соединить произвольную точку плоскости A с началом координат O, а затем достроить отрезок OA до прямоугольного треугольника с катетами, параллельными осям координат, то длины катетов будут с точностью до знака совпадать с декартовыми координатами (x, y) точки A. Если обозначить длину гипотенузы OA через, а угол, образованный гипотенузой с положительным направлением оси Ox, через, то можно пару чисел (x, y) выразить через пару чисел (, ) Причем это соответствие при ограничении 0, 0 2 будет взаимно-однозначным для всех точек плоскости, за исключением начала координат, где = 0, а угол не определен. Построенные вышеописанным способом числа (, ) называются соответственно полярным радиусом и полярным углом, а пара этих чисел — полярными координатами точки плоскости. В ряде задач использование полярных координат предпочтительнее использования декартовых координат. Здесь n = 2, m = 2, n + m = 4, следовательно, график функции изобразить невозможно. Некоторое представление о свойствах отображений из R2 в R2, (x, y) (u, v) можно получить с помощью изображения на плоскости с координатами (u, v) образов прямых, параллельных осям Ox и Oy. Например, в случае отображения (x, y) (x cos y, x sin y) образ координатной сетки x = C, y = C состоит из проходящих через начало координат прямых и окружностей с центром в начале координат. 4. Параметрическое уравнение прямой: f : R Rn, t x + th, где x, h Rn — заданные векторы. Точки y = x + th расположены при различных t R на прямой, проходящей через точку x в направлении вектора h. Напомним, что нормой элемента y = (y1. ym ) Rm называется число |y| = y1 + · · · + ym, что согласуется с обозначением абсолютной величины в случае m = 1. Это позволяет дать определение предела векторной функции без каких-либо отличий от определения предела числовых функций. А именно вектор L = (L1. Lm ) Rm называется пределом функции f : X Rm по базе B, если для любого положительного числа найдется такой элемент E базы B, что для всех x E выполняется неравенство |f (x) L|. Иначе говоря, lim f (x) = L 0 E B : x E |f (x) L|. B Оказывается, что векторный предел существует тогда и только тогда, когда существует предел каждой числовой функции, из которых складывается векторная функция. Теорема 1.3 (о бесконечно малых и финально ограниченных функциях). 1. Произведение бесконечно малой и финально ограниченной функций по некоторой базе является бесконечно малой функцией по той же базе. 2. Сумма бесконечно малой и финально ограниченной функций по некоторой базе является финально ограниченной функцией по той же базе. 3. Векторная функция является бесконечно малой тогда и только тогда, когда все ее компоненты являются числовыми бесконечно малыми функциями. 4. lim f (x) = L f (x) = L + (x), где — бесконечно малая B по базе B. Если h Rn — заданный ненулевой вектор, : R Rn, (t) = x0 + th, то предел lim f ( (t)) называется пределом функt0 ции f в точке x0 по направлению h. Существование предела по всем направлениям и независимость величины предела от направления являются необходимым условием существования предела f при x x0. Однако оно может быть выполнено и в случае отсутствия предела. Пример 1.3. отлична от нуля только в точках параболы y = x2. Поэтому по любому направлению h = (h1, h2 ) предел функции в точке (0, 0) равен нулю. В то же время lim f ( (t)) = 1 для функции (t) = (t, t2 ). Поt0 этому предел f при (x, y) (0, 0) не существует. Обсудим далее некоторые приемы, применяемые при вычислении пределов функций многих переменных. Как показано в разд. 1.1, достаточно рассмотреть случай числовых функций многих переменных. Пределы вида lim f (x) заменой переменной u = x x0 своxx0 дятся к пределу lim f (u + x0). Если u R2, то после этого нередu0 ко бывает полезно перейти к полярным координатам, т. е. совершить замену переменной u1 = cos, u2 = sin и воспользоваться свойствами равномерного перехода к пределу, определяемого далее. Пусть — некоторое множество, B — база на множестве X, f : X R — некоторая функция. Тогда lim f (x, ) = L() называется равномерным на множеB стве пределом, если 0 E B : x E |f (x, ) L()| для всех. Теорема 1.4 (о пределах в полярных координатах). Следующие условия эквивалентны: 2) lim f ( cos, sin ) = L равномерно по [0, 2). 0+ Доказательство. По определению базы (x, y) (0, 0) первое условие выполняется тогда и только тогда, когда равномерно по [0, 2), так как зависящий от множитель не превосходит по абсолютной величине единицы. Вообще, если бесконечно малая по базе 0+ функция g1 () умножается на ограниченную функцию g2 ( ), то предел полученного произведения по базе 0+ равен нулю равномерно по. Действительно, в таком случае для любого 0 найдется такое 0, что при 0 выполняется неравенство |g1 ()| /C, где C — число, которое ограничивает сверху значения |g2 ( )|. Отсюда |g1 ()g2 ( ) 0| для всех. то двойной предел при (x, y) (0, 0) равен нулю, так как |f (x, y)| |x| + |y|. Предел f при x 0 не существует при y = 0, а предел f при y 0 не существует при x = 0. Тем более не существуют повторные пределы. Если изменить функцию, убрав множитель sin(1/x), то будет существовать предел f при x 0 и не существовать предел f при y 0. Достаточное условие равенства двойного предела и повторных пределов содержится в теореме 1.5. Теорема 1.5 (о повторных пределах). Если существует lim f (x, y) = L и финально при y y0 двойной предел (x,y)(x0,y0 ) существует предел lim f (x, y) = (y), то двойной предел равен xx0 повторному 2017 www.net.knigi-x.ru — «Бесплатная электронная библиотека — электронные матриалы» Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам. Специалитет: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет: механико-математический, специальность «Математика», квалификация «Математик» Победитель конкурса «Преподаватель года 2008» Фонда образовательных инноваций ГУ-ВШЭ 1973-1975, 1978-1995 — Московский автомобильно-дорожный институт (МАДИ), 1995-н.в. — Высшая школа экономики (ВШЭ), доцент и профессор кафедры Преподаваемые в разные годы курсы: математический анализ, линейная алгебра, http://net.knigi-x.ru/24ekonomika/685267-1-e-burmistrova-lobanov-matematicheskiy-analiz-differencialnie-uravneniya-dopuscheno-nauchno-m.php http://www.hse.ru/org/persons/64977ОТ АВТОРОВ
ЧАСТЬ I
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
«Сращивание теневой экономики и теневой политики1 С.Ю. БАРСУКОВА В современной России теневая экономика и теневая политика неразрывно связаны. Они воспроизводят друг друга. Экономические агенты делают политику теневой, покупая ме. »«КАТАЛОГ НАШИХ РАБОТ Кухни 2016-2017г. «Мокин-Мебель» твоя уникальность! Мы проверенный путь организовать место для Ваших вещей!Компания «Мокин-Мебель» имеет несколько направлений деятельности: про. »«Журнал «Human Progress» http://progress-human.com/ Том 2, № 4 (апрель 2016) redactor@ progress-human.com УДК 331.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОВЕСНОЙ ЦЕНЫ ТРУДА СПЕЦИАЛИСТА НА РЫНКЕ ТРУДА Г. КРАСНОТУРЬИНСКА Кулькова Инна Анатольевна Докт. »«Тувинский государственный университет _2. Minaev, A.V. Gosudarstvennaya granitsa v prigranichnom subyekte Rossiyskoy Federatsii: istoriya i sovremennost issledovaniya opyita Respubliki Tyiva (1921-2009gg.). (monografiya). Krasnoyarsk: Izd-vo «Luna Reka», 2009, – 200s.3. Federalnyiy zakon ot 0. »«Гужов В.В., Калюжная И.А., Тюнина Н.О., Федорова Т.Н.РАЗРАБОТКА ПОЛИТИКИ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ В ОРГАНИЗАЦИЯХ ИННОВАЦИОННОЙ СФЕРЫ ЭКОНОМИКИ Монография Москва – 2007 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ..ГЛ. »«Федорова Наталья Петровна ФОРМИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ В ОРГАНИЗАЦИЯХ АПК (на материалах Удмуртской Республики) Специальность 08.00.05Экономика и управление народным хозяйством (Экономика, организация и уп. »«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА» В Г. НАХОДКЕ Кафедра Дизайна и сервиса География туризма Рабочая прог. »«Транспортная стратегия — XXI век №12, 2011 Регионы Лизинг – важнейший элемент инвестиционной политики Ц ентральной проблемой транспорГосударственная транспортная лизинговая тной отрасли современной России компания предлагает в лизинг все виды техниявляется устаревш. »«Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ) Выпуск 2, март – апрель 2014 Опубликовать статью в журнале http://publ.naukovedenie.ru Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru УДК 338.012 Решетько Наталья Игоревна ФГБОУ ВПО. »
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.Лобанов Сергей Григорьевич
Образование, учёные степени и учёные звания
Профессиональные интересы
Достижения и поощрения
Достижения, поощрения, награды
Учебные курсы (2021/2022 уч. год)
Учебные курсы (2020/2021 уч. год)
Учебные курсы (2019/2020 уч. год)
Учебные курсы (2018/2019 уч. год)
Учебные курсы (2017/2018 уч. год)
Публикации 17
Опыт работы
ассистент, доцент кафедры высшей математики и кафедры прикладной математики
математики, статистики и эконометрики, профессор кафедры высшей математики на
факультете экономики, профессор департамента математики факультета
экономических наук
дифференциальные и разностные уравнения, теория вероятностей, математическая
статистика, исследование операций, математическое моделирование, численные
методы, вычислительная геометрия, математика для экономистов.