Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.
Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.
Логарифмическая функция
Определение
0,\, a\ne 1 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
называют логарифмической функцией.
Основные свойства
Основные свойства логарифмической функции y = loga x:
| a > 1 | 0 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел: 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство: 0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма): 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Решение логарифмических уравнений и неравенствПример 1. Решите уравнение: Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств: 0, \\ 8+5x > 0 \end С учетом того, что -\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения: На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению: В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7. Пример 2. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств: 0, \\ -x-31>0 \end Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет. Ответ: корней нет. Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований). Примет 3. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0. Уравнение принимает вид: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами. Пример 4. Решите уравнение: Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств: 0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению: Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению: Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит. Ответ: x = -1. Пример 5. Решите уравнение: Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения. Пример 6. Решите уравнение: Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид: 0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению: Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем: В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4. Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема: Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то: Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств: 0, \\ x+4>0 \end Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству: Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений: 0, \\ \frac<(x-9)^<11>> На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования: После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем: С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ: Пример 9. Решите логарифмическое неравенство: Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой: 0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству: С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение. Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств: 0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству: Неравенство будет равносильно двум системам. Первой: Итак, окончательный ответ: II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду: Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход: Множество решений данного неравенства Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?
Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике. Логарифмические уравненияПрежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы. Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />. Обратим внимание на область допустимых значений логарифма: Основное логарифмическое тождество: Основные формулы для логарифмов: (Логарифм произведения равен сумме логарифмов) (Логарифм частного равен разности логарифмов) Формула перехода к новому основанию: Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа. Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений. Простейшие логарифмические уравнения Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся. Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />. Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ. 2. Решите уравнение: В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто. 3. Решите уравнение: Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени. 4. Решите уравнение: Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ /> Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5. Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />. 5. Решите уравнение: Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы: 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений. Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию: Запишем решение как цепочку равносильных переходов. 0 \end Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1. ОДЗ: Теперь можно «убрать» логарифмы. — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />. 8. Решите уравнение . ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ /> Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно. Вернемся к переменной х: Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом. Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени. Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену Вернемся к переменной х. Получим: . Мы нашли все корни исходного уравнения. Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале. Логарифмическая функция в математике с примерами решения и образцами выполненияПример: Найти положительный корень уравнения ( По определению арифметического корня имеем- Пример: Решить уравнение Запишем данное уравнение так: откуда х = 4. В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени; Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение таким способом решить не удается. Однако вы знаете, что это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводите понятие логарифма числа. Уравнение , где а > 0 , а , имеет единственный корень. Этот корень называют ло-1 Лаплас Пьер Симон (1749— 1827)— французский математик, физик и астроном, адъюнкт Французской Академии Наук. После Великой Французской революции принимал активное участие в реорганизации системы образования. Важнейшие направления его исследований — математика, небесная механика и математическая физика. Один из создателей теории вероятностей. Итак, логарифмом положительного числа b по основанию а, где так как так как так как Определение логарифма можно кратко записать так: Это равенство справедливо при b > 0, а > 0, . Его обычно С помощью основного логарифмического тождества можио В самом деле, Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Пример: Вычислить Обозначим По определению логарифма Так как то , откуда Пример: Вычислить Используя свойства степени и основное логарифмическое равенство, находим: Пример: Решить уравнение Но определению логарифма откуда х = — 8. Пример: При каких значениях х существует Так как основание логарифма 5 > 0 и то данный логарифм Получено неравенство, находим 1 Свойства логарифмов При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них. Пусть а>0, , b > 0, с > 0, r —любое действительное число. Тогда справедливы формулы: По основному логарифмическому тождеству 1) Перемножая равенства (4) и (5), получаем: откуда по определению логарифма Формула (1) доказана. 2) Разделив равенства (4) и (5), получим: откуда по определению логарифма следует формула (2). откуда по определению логарифма следует формула (3). • Пример: Вычислить Десятичные и натуральные логарифмыДля логарифмов чисел составлены специальные таблицы Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln e вместо Иррациональное число е играет важную роль в математике Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по Вычисления на микрокалькуляторе lg b и ln b проводятся Например, вычисляя lg 13, получаем: вычисляя ln 13, получаем: Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить где b > 0, а > 0 , , с > 0 , Докажем справедливость формулы (1). Используя свойство логарифма степени, получаем: Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются формулы Пример: С помощью микрокалькулятора МК-54 вычислить 1) С помощью десятичных логарифмов: 2) С помощью натуральных логарифмов: Ответ. ▲ Формула перехода от одного основания логарифма к другому Пример: Решить уравнение По формуле перехода Поэтому уравнение принимает вид откуда ▲ Пример: Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный Через сколько лет каждый из вкладов удвоится? 1) Для первого вклада откуда 2. Вычисления проведем на МК-54: 2) Для второго вклада и программа вычислений Ответ. По первому вкладу приближенно через 36 лет, а Логарифмическая функция и ее графикВ математике и ее приложениях часто встречается где а — заданное число, а > 0, . 2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел. 3) Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x > 0, если а > 1 , и убывающей, если Пользуясь основным логарифмическим Пусть 0 1, то функция принимает положительные значения при х >1, отрицательные — при 0 1. Это следует из того, что функция принимает На рисунке 9 изображен график функции а на рисунке 10 — график функции Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку ( 1 ; 0). При решении уравнений часто используется следующая теорема: Теорема: Если где a > 0, , то Предположим, что например Если a > 1, то из неравенства следует, что если Ответ. Обратная функцияИзвестно, что зависимость скорости v от времени t движения Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от скорости: Функцию называют обратной к функции а функцию v (t) — обратной к функции t (v ). Отметим, что в этом примере каждому значению t соответствует единственное значение v и, наоборот, каждому значению v соответствует единственное значение t. Рассмотрим теперь показательную и логарифмическую где а — заданное число, а > 0, . Решим уравнение относительно х. По определению Вообще если функция y = f(x) задана формулой, то для Если уравнение f(x)= y имеет более чем один корень, то Например, функция не имеет обратной, так как Пример: Найти функцию, обратную к функции Решая это уравнение относительно х, получаем В этой задаче область определения функции есть Вообще область определения обратной функции совпадает
Логарифмические уравненияПример: Предположим, что х — такое число, при котором равенство ( 1 ) является верным, т. е. х — корень уравнения ( 1 ). Из этого равенства по определению логарифма получаем: откуда т. е. Последнее равенство верно, если или Итак, предположив, что число х — корень уравнения (1),
т. е. х = 1 — корень уравнения ( 1 ). При х = — 5 числа х + 1 и х + З отрицательны, и поэтому Заметим, что х = — 5 является корнем уравнения (2), так Получилось, что число х = 1 является корнем обоих уравнений Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Отметим, что в уравнении, которое является следствием В большинстве случаев, как и в задаче 1, уравнения решаются постепенным переходом к более простым уравнениям, Пример: Перенесем логарифм из правой части в левую; Решая это уравнение, получаем Число не является корнем исходного уравнения, так Пример: По свойству логарифмов Проверка показывает, что оба значения x Проверкой можно убедиться в том, что числа являются корнями не только уравнений (6) и (3), но и уравнений Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, Отметим, что любое из двух равносильных уравнений является следствием другого. Напомним, что уравнение заменяется ему равносильным при Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется Пример: Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма, откуда х = — 2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = — 2 Здесь посторонний корень появился потому, что при переходе Пример: Преобразуем данное уравнение: Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями Отметим, что если обе части уравнения (7) разделить на Вообще при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней. При решении уравнений главное не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Пример: Решить систему уравнений Из первого уравнения выразим х через Подставив х = 2у во второе уравнение системы, получим откуда Найдем значения х : Проверкой убеждаемся, Логарифмические неравенстваПри изучении логарифмической функции рассматривались Приведем примеры решения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ решения таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений. Пример: Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть — при x + 1 > 0, т. е. при х > — 1. т. е. неравенство ( 1 ) и система (2) имеют одно и то же множество решений. Решая систему (2), находим Пример: Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при х — 3 > 0 и х — 2 > 0. Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3 . По свойствам логарифма неравенство (3) Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств Решая первое неравенство этой системы, получаем откуда Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3 , получаем (рис. 14). Пример: Область определения неравенства находится из условия Неравенство (5) можно записать в следующем виде: Так как логарифмическая функция с основанием является Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе неравенств Решая первое квадратное неравенство, получаем х 2 (рис. 15). Решая второе квадратное неравенство, получаем (рис. 16). Следовательно, оба неравенства систе Определение: Логарифмом числа а по основанию b называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b. В качестве основания мы будем всегда брать положительное число а, отличное от 1. В записи b = число а является основанием степени, t — показателем, b — степенью. Число t — это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b. Следовательно, t — это логарифм числа b по основанию а: Можно сказать, что формулы = b и t = равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, t и b (при а>0, а ≠ 1, b>0). Число t — произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается. Подставляя в равенство = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством: Представляя в равенстве выражение b в виде степени, получим еще одно тождество: Свойства логарифмовТеорема: Верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов: 1), т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей; 2) т. е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя; 3) т. е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания. Доказательство: Свойства логарифмов выводятся из свойств степеней с помощью основного логарифмического тождества, выражающего определение логарифма. Выведем для примера первое свойство. Обозначим По основному логарифмическому тождеству имеем:
Перемножим эти равенства: По свойству степеней
По определению логарифма t1+ t2 = т. е. что и требовалось доказать. Свойства 2 и 3 выведите самостоятельно. Свойства степеней и логарифмов тесно связаны между собой. Они фактически выражают одно и то же, только один раз мы обращаем внимание на поведение самих степеней, а другой — на поведение показателей: С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, составленные с помощью операций умножения, деления и возведения в степень. Иногда приходится искать выражение по его логарифму. Такую операцию называют потенцированием. Примеры: Замечание. Запись имеет смысл лишь при b> 0. Поэтому в тождествах, отражающих свойства логарифмов, все выражения, стоящие под знаком логарифма, будем считать положительными. При логарифмировании буквенных выражений надо их раскладывать на множители так, чтобы все множители были положительны. Например, пусть необходимо прологарифмировать выражение А=х(х — 1). Сделать это можно лишь тогда, когда А >0, т. е. когда либо х 1. Если х> 1, то оба множителя х и х— 1 положительны и мы можем записать: Если же х Аналогично при ( —x) при x Модуль переходаВ вычислениях в качестве основания а часто берется число а=10. В то же время зачастую необходимы вычисления степеней и логарифмов с разными основаниями. Возникает вопрос: как связать между собой степени и логарифмы с разными основаниями? Пусть дана степень b = . Мы хотим перейти к новому основанию с, т. е. записать число в виде сх при некотором х. Записав равенство и прологарифмировав его по основанию а, получим , откуда Так как = b, = b, то можно с помощью логарифмов записать: , , откуда Выведенную формулу называют формулой перехода от одного основания логарифма к другому. Таким образом, мы видим, что при изменении основания значения логарифмов изменяются пропорционально. Коэффициент пропорциональности называют модулем перехода. Отметим простые следствия выведенной формулы: 1) (положим в формуле перехода b = а) 2) (положим в формуле перехода с = аk) 3) (положим в предыдущей формуле k=-l). С помощью логарифмов все степени можно привести к одному основанию. Если в качестве основания берется число a =10, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком lg и называются десятичными. Можно записать: Если в качестве основания берется число е, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком ln и называются натуральными: Значения модулей перехода от десятичных логарифмов к натуральным и наоборот таковы: Исследование логарифмической функцииОпределение: Логарифмической функцией называется функция вида Напомним, что в качестве основания логарифмов выбирается число а> 0, отличное от 1. Основные свойства логарифмической функции (схема X).
Графики функций симметричны друг другу относительно прямой у = х. Действительно, если точка Р <с; d) лежит на графике функции у = ах, то d = ac. Но тогда и точка Q Так как точки Р (с; d) и Q (d; с) симметричны относительно прямой у = х (рис. 109), то симметричны и графики показательной и логарифмической функций. Вместо логарифмических функций с произвольным основанием удобно рассматривать функции вида у = с ln х. Так как то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции. Функция у = ln х растет с ростом х, однако медленнее, чем любая степенная функция вида (k>0), в частности медленнее, чем (схема IX). Производная логарифмической функцииРассмотрим две функции у = и у = ln х. Мы знаем, что их графики симметричны относительно прямой у = х. Это поможет нам найти производную логарифмической функции, зная производную экспоненты. Возьмем точку Р (с; d) на графике экспоненты (т. е. d = ec) и симметричную точку Q (d; с) на графике логарифмической функции (т. е. c = lnd). Касательные к графикам в этих точках тоже будут симметричны (рис. 109). Угловой коэффициент k1 касательной к графику экспоненты равен значению производной функции у = ех при х = с, т. е. k1=ec, так как Пусть a1 и а2 — углы, образованные проведенными касательными с осью абсцисс. Из рисунка 109 ясно, что
Таким образом, производная функции у = ln х в точке x = d равна Мы видим, что производная логарифмической функции y = ln х равна степенной функции . Интересно заметить, что функция не получается как производная какой-либо другой степенной функции вида у = схк. Действительно, хотя при любом к, но получить значение к— 1, равное —1, можно лишь при k = 0, а (x°)’ = 0. Так как то По формулам производной показательной функции и
Известно, что ,где k= ln а. Поэтому т. е. Примеры: Зная производные экспоненты и логарифма, можно получить приближенные формулы для их вычисления. Пусть Разность —это приращение у на отрезке [0; h]. Вычислив dy при хо = 0, получим dy = y’ (0) dx. Так как у’ = ех, то у'(0)= 1. Заменив ∆у на dy и подставив dx = h, получим приближенную формулу Более точная формула для вычисления экспоненты такова: Пусть теперь у =lnх. Выберем дго=1, xо = ln l =0. Положим dx = h и вычислим ln (l+h). Найдем dy при xo=1. Так как (In то y’ (jc0)= 1 и dy= 1 •dx = h. Заменяя ∆y= ln (1+h) — ln l = ln (l+h), получаем приближенную формулу Более точная формула для вычисления логарифма такова: Вычисление логарифмовБолее 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Их основное достоинство — способность сводить умножение к сложению по формуле Были составлены обширные таблицы логарифмов чисел, с помощью которых можно легко переходить от чисел к их логарифмам и обратно. Все таблицы логарифмов до 1950 г. являлись перепечаткой или сокращением таблиц Бриггса. Генри Бриггс (1561 —1630) с очень большой точностью (16 знаков после запятой) извлек подряд 57 квадратных корней из 10 и получил значения Комбинируя эти значения, он получил густую сетку чисел с известными десятичными логарифмами: и т. п. После этого десятичный логарифм любого числа х из промежутка [1; 10] с хорошей точностью находится округлением до ближайшего известного. Это огромная работа, и за 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы ее. Любопытно, что немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550—1617). С появлением ЭВМ ситуация переменилась. Умножение по-прежнему выполняется дольше, чем сложение, но логарифмирование требует еще больше времени. Поиск числа в таблице очень дорогая операция для ЭВМ. Поэтому теперь значение логарифмов как инструмента вычисления резко упало, а с распространением калькуляторов оно сходит на нет. С другой стороны, сами по себе логарифмические зависимости легко обрабатываются и используются при вычислениях на ЭВМ. Например, формула xk = exp(k ln x) служит основным средством возведения в степень (кроме k= l, 2, 3) на всех ЭВМ и на калькуляторах. На современных ЭВМ (и на калькуляторах) значения In х и вычисляют, пользуясь заранее найденными приближенными формулами. По этим формулам вычисление логарифмов становится довольно простым. Пользователю ЭВМ никогда не приходится думать о вычислении логарифмов: на всех ЭВМ для этого имеются стандартные программы. Прикладные примерыВо вводной беседе мы уже говорили о том, что многие процессы описываются с помощью показательных функций. Почему так происходит, это мы обсудим в следующей главе, а сейчас приведем примеры зависимостей, в которых встречаются экспоненты и логарифмы.
Вычислим значение m при t — Т. Так, Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полураспада радия равен 1600 лет, урана-238 — 4,5 млрд. лет, цезия-137 —31 год, иода-131 —8 суток. Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде . Связь константы т с периодом полураспада нетрудно найти:
2. Рост народонаселения. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где Nо — число людей при t= 0, N — число людей в момент времени t, а — некоторая константа. Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону где ро — давление на уровне моря (А = 0), р — давление на высоте h, H — некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20 °С величина Н ≈ 7,7 км. 4. Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты у с ее массой m, такова: , где vr — скорость вылетающих газов, mо — стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и, для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т. е. почти всю стартовую массу отдать под топливо. 5. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле где po — давление звука до поглощения, р — давление звука, прошедшего через стену, А — некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например, 20 дБ, то это означает, что =1 и po = 10 p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь). Дополнение к логарифмической функции
Логарифмическая функцияОпределение логарифма: Логарифмом числа N по данному основанию а называется такой показатель степени, в который надо возвести основание а, чтобы получить число N; запись Примеры: Таким образом, это другое название для показателя степени. Примеры: 1. Проверить справедливость следующих равенств: Решение: следовательно, равенства б), г), е) верны; следовательно, следовательно, 2.Следующие равенства переписать в виде логарифмических равенств: Решение: Указать, какие из нижеследующих уравнений имеют решение. Запишите это решение с помощью логарифма: Решение: а) Уравнение можно переписать в вид откуда х = —6, или б) Уравнение также имеет решение Так как в) Уравнение не имеет решения (показательная функция не может принимать отрицательных значений). Таким образом, выражение не имеет смысла. Десятичные логарифмыЕсли основанием логарифмов служит число 10, то такие логарифмы называются десятичными. Десятичный логарифм числа N принято обозначать Примеры: Найти десятичные логарифмы следующих чисел: Решение: Так как Аналогично: поэтому наконец, 2.Решить следующие уравнения: Решение: Функция Функция является монотонно возрастающей, поэтому у нее есть обратная функция. Для того чтобы найти эту обратную функцию, поменяем в равенстве переменные х и у местами. Получим откуда Этой формулой задается функция, обратная показательной функции Как отмечалось выше (см. стр. 118), графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х—биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 88). Отметим основные свойства функции 1.Областью определения функции является множество всех положительных чисел. 2.Областью значений функции является множество всех действительных чисел. Справедливость этих двух свойств вытекает из того факта, что функции являются взаимно обратными и, следовательно, область определения и множество значений у них меняются местами. 3.Функция является монотонно возрастающей (большему числу соответствует больший логарифм). 4.При (график пересекает ось абсцисс в точке (1; 0)); если то (рис. 88). Примеры: 1. На рис. 89 изображен график функции в случае, когда масштаб по оси Оу в 10 раз крупнее масштаба по оси Ох. Воспользовавшись этим графиком: а) найти б) найти х, если Решение: не существует, так как б) если Если 2.Сравнить значения выражений: Решение: а) Функция возрастающая, значит, так как то, следовательно, б) так как в) так как 3.Решить уравнения и неравенства: Решение: Воспользовавшись изображенным на рис. 89 графиком функции получим следующие результаты: 4.Найти область определения функции: Решение: При решении этих примеров надо помнить о том, что область определения функции есть множество положительных чисел. Таким образом областью определения служит множество Область определения —объединение двух множеств
Область определения —множество Выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно при всех значениях х, кроме х = 2 (при котором оно обращается в ноль), а поэтому область определения этой функции есть множество
Решение: а) Так как то уравнение можно переписать в виде Далее из свойства монотонности функции вытекает, что эта функция каждое значение принимает только один раз. Следовательно, откуда х = 4. Аналогично решаются и остальные уравнения; т.е. данное уравнение может быть записано в виде откуда поэтому откуда поэтому откуда или поэтому откуда или Логарифмирование и потенцированиеПрименение логарифмов позволяет во многих случаях значительно упростить вычисления. Чтобы убедиться в этом, прежде всего выясним, как находятся логарифмы произведения, частного, степени и корня. Теорема: Логарифм произведения любых двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей, т. е. Доказательство: Пусть Тогда по определению логарифма Перемножив эти равенства почленно, получим Предлагаем читателю самому доказать, что установленное свойство справедливо для любого числа положительных множителей. Теорема: Логарифм степени с положительным основанием равен произведению показателя степени и логарифма ее основания, т. е. Доказательство: Пусть Тогда по определению логарифма Возведем обе части этого равенства в степень Следовательно, Покажем, что знания этих теорем достаточно для нахождения логарифмов дроби и корня. Действительно, пусть дано выражение где Это выражение можно переписать в виде тогда Пусть теперь дано выражение тогда Таким образом, если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то его логарифм можно выразить через логарифмы входящих в него чисел. Такое преобразование называется логарифмированием. Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием. Примеры: 1. Найти приближенные значения следующих логарифмов: Решение: Прежде всего, воспользовавшись графиком функции (см. рис. 89), выпишем приближенные значения следующих логарифмов: 2.Прологарифмировать следующие выражения (буквами обозначены положительные числа): Решение: Решение: а) Прологарифмировав обе части данного равенства, получим откуда (значения найдены графически с помощью рис. 89); б) в результате логарифмирования имеем равенство откуда (значение найдено с помощью рис. 89);
4.Найти x, если:
Решение: Решение: а) Потенцируя обе части равенства, получаем уравнение Сделаем проверку. Подставив в уравнение найденное решение х = 21, получим: Таким образом, корень данного уравнения x=21; б) прежде чем потенцировать, заметим, что и перепишем уравнение в виде Сделаем проверку: Итак, х= 14 —корень уравнения; в) потенцируя, получаем Сделаем проверку. Корень является посторонним, так как при этом значении x выражение 2х—4 будет отрицательным, а, как мы знаем, область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. Корень x = 5, как легко видеть, удовлетворяет уравнению (Проверьте сами!); г) уравнение не имеет корней, так как искомое значение х должно удовлетворять системе неравенств а эта система противоречива и решения не имеет. Стандартный вид числа. Характеристика и мантиссаЛюбое положительное число х можно записать в так называемом стандартном виде: Число n называется порядком числа х. Примеры: Записать следующие числа в стандартном виде и указать их порядок: а) 273; б) 51,83; в) 0,8912; г) 400012; д) 0,00051; е) 1,002. Решение: Легко видеть, что если то порядок числа неотрицателен, причем трехзначное число, например 273, имеет порядок 2; а число, содержащее две цифры в целой части, например 51,83, имеет порядок n= 1; наконец, число, содержащее одну цифру в целой части, имеет порядок n= 0. Можно сделать следующий вывод: если число содержит в целой части m цифр, то его порядок будет Если же число то его порядок отрицателен, причем равен числу нулей в x: до первой значащей цифры, включая ноль целых. Так, если x: = 0,8912, то n = —1; если х = 0,00051, то n = —4. Пример: Не переходя к стандартному виду записи, найти порядок чисел: а) х = 373,25; б) x: = 0,00085. Решение: а) Число 373,25 больше единицы и содержит в целой части три цифры. Следовательно, его порядок n= 2; б) число 0,00085 меньше единицы и содержит четыре нуля до первой значащей цифры. Следовательно, n =—4. Пусть х=375,8. Запишем это число в стандартном виде и найдем его логарифм: Так как т. е. Таким образом, представлен в виде суммы целого числа 2 и положительного числа, меньшего единицы т. е. в виде суммы его целой и дробной частей. Целая часть логарифма числа х равна порядку этого числа, а дробная часть равна Целая часть логарифма числа называется его характеристикой, а дробная часть — мантиссой. Теорема: Характеристика логарифма числа где равна порядку этого числа, т. е. n, а мантисса равна Доказательство: Пусть и Тогда Так как Следовательно, причем Следствие: Логарифмы чисел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу. Доказательство: Пусть где тогда Например, пусть Запишем эти числа в стандартном виде и найдем их логарифмы: Таким образом, доказанное следствие можно сформулировать иначе: мантисса логарифма числа не зависит от положения запятой в числе. Примеры: 1. Найти характеристику логарифма числа а) 302;б) 87,5; в) 0,015. Решение: Как было доказано Выше, характеристика логарифма числа равна его порядку, а поэтому 2.Зная, что найти: Решение:
Вычисления с помощью таблиц логарифмовКак известно, характеристика логарифма числа легко находится устно (она равна порядку числа). Значения мантисс приведены в таблице «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса. Приведем часть этой таблицы и укажем как ею пользоваться. Примеры: 1. Найти логарифмы следующих чисел: Решение: а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда: Для отыскания мантиссы мы, прочитав число 8739 на пересечении строки с меткой «74» и столбца с меткой «8», прибавим к этому числу поправку на четвертую цифру. Эта поправка расположена в правой части таблицы на пересечении той же строки и столбца поправок с меткой «5». Поправка равна 3, следовательно, мантисса равна Таким образом, Для решения обратной задачи —нахождения числа по его логарифму пользуются таблицей, с которой мы уже знакомы (см. стр. 198)4 2.Найти x:, если: Решение: а) По таблице значений функции найдем число 1,077, соответствующее мантиссе равной 0,0324. Так как характеристика логарифма равна 2, то б) представим данный логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: Мантиссу 0,0335 имеет любое число вида Характеристика равна —3, поэтому В заключение приведем пример вычисления с помощью таблиц логарифмов. 3.Вычислить значение х, если Решение: По таблице логарифмов найдем: Решение: а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда: Решение заданий и задач по предметам: Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника. © Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института источники: http://ege-study.ru/logarifmicheskie-uravneniya/ http://lfirmal.com/logarifmicheskaya-funkciya/ |