Логарифмические и показательные уравнения 12 6

Показательные и логарифмические уравнения ЕГЭ по математике

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Показательные и логарифмические уравнения».

12. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
12.1. Показательные уравнения
12.2. Логарифмические уравнения
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Решение логарифмических уравнений

Данный калькулятор позволяет найти решение логарифмических уравнений.
Логарифмическое уравнение – это уравнения, в которых переменная величина находится под знаком логарифма. Логарифмическая функция всегда монотонна и может принимать любые значения. Кроме того, переменный аргумент логарифма должен быть больше нуля и переменное основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

При решении логарифмических уравнений зачастую необходимо логарифмировать или потенцировать обе части уравнения. Логарифмировать алгебраическое выражение — выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Потенцирование – нахождение выражения, от которого получен результат логарифмирования.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно ввести это уравнение в ячейку и нажать на кнопку «Вычислить». В ответе отображаются корни уравнения и график логарифмической функции.

Калькулятор поможет найти решение логарифмических уравнений онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

• : x^a

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства

Разделы: Математика

В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.

Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.

Ход урока

Показательные уравнения

Пример 1. 4·2 x — 2 x = 96 (линейное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 2 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Уравнение 2 x = 32 имеет корень x = 5.

Ответ: 5

Пример 2. 5 x + 2 / 5 x — 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 5 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Уравнение 5 x = 1 имеет корень х = 0.

Уравнение 5 x = 2 имеет корень х = log₅2.

Ответ: 0; log₅2

Показательные неравенства

Пример 1. 5 x — 5 x+2 ≥ — 120 (линейное показательное неравенство).

— 24 · 5 x ≥ — 120 | : (-24),

Т.к. 5 > 1, то функция у = 5 x является возрастающей.

Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.

Ответ: (-∞; 1]

Пример 2. 5 x +2 · 5 -x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).

5 2x +2 – 3 · 5 x ≤ 0 .

Вводим новую переменную 5 x = у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .

Отсюда получим неравенство 1≤ 5 x ≤ 2.

Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log₅2

Ответ: [0; log₅2]

Логарифмические уравнения

Пример 1. log₁₆x + log₄x + log₂x= 7 (переход к новому основанию логарифма).

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

Ответ: 16

Пример 2. lg 2 x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).

Вводим новую переменную lg x = у.

Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y 2 — 3y + 2 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Ответ: 10; 100

Пример 3. log₂(x 2 — 3x) = log₂ (х — 3) (потенцирование логарифмических уравнений).

Потенцируя уравнение, получаем x 2 — 3x = х — 3 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни х₁ = 1, х₂ = 3 .

При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.

1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log₂(- 2).

Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x₁ не является корнем заданного уравнения.

2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log₂(0).

Это выражение также не имеет смысла, поэтому x₂ не является корнем заданного уравнения.

Ответ: решений нет

Логарифмические неравенства

Пример 1. lg 2 x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).

ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.

Вводим новую переменную lg x = t .

Это квадратное неравенство выполняется при t 2 .

Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx 2 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 100.

Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)

Пример 2. log₅(3 — 4x) 0, откуда х 0,7.

С учётом области определения неравенства имеем 0,7 18.05.2014