В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид
Задание. Найдите решение логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
Задание. Решите урав-ние
Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.
Задание. Решите урав-ние
Задание. Найдите корень урав-ния
Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид
С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.
Задание. Решите урав-ние
Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:
Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:
Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:
Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).
Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).
Задание. Решите урав-ние
с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:
Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:
Задание. Решите урав-ние
Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем
Задание. Решите урав-ние
Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:
Задание. Решите урав-ние
Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что
Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что
Задание. Решите урав-ние
Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу
Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной
Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:
Логарифмирование уравнений
Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.
Задание. Укажите корни урав-ния
Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:
Возвращаемся от переменной t к переменной х:
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства
Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.
Задание. Найдите решение логарифмического неравенства
Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:
Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение
Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:
Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).
Методическая разработка на тему «Логарифмические уравнения». 10-11 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Среднее общеобразовательная школа №2
города Ханабада, Андижанской области,
Алгебра и начало математического анализа
Методическая разработка по теме
Подготовил учитель математики
Нуманходжаев Абдилбосит Сайдуллаевич
Основные понятия и определения
Определение: Логарифмом положительного числа пос основанию , где называется показатель степениб в которую надо возвести число чтоб ы получить
Определение логарифма можно записать так: =.
Это равенство справедливо при
Определение: Уравнение, в котором неизвестное является аргументом логарифмической функции, называется логарифмическим уравнением.
Решить логарифмическое уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их не существует.
Корнем логарифмического уравнения называется значение переменной, которое принадлежит области допустимых значений уравнения и при подстановке обращает его в тождество.
Для решения логарифмических уравнений необходимо знать определение логарифма, свойства логарифмической функции, знать и уметь применять основные свойства логарифмов.
Основные свойства логарифмов
Применение свойств логарифмов может привести к потере корней, если их использовать в сторону логарифмирования, или к приобретению посторонних, если свойства использовать в сторону потенцирования. Это происходит за счет того, что в формулах 1 − 12 левая и правая части определены для разных значений х. Поэтому, приступая к решению логарифмического уравнения необходимо установить О.Д.З. и следить за равносильностью совершаемых преобразований, или сделать проверку полученных корней.
Например, для свойства 4 можно записать равносильное преобразование:
Этим методом решается большинство логарифмических уравнений. Если уравнение, в котором содержатся логарифмические функции различных аргументов, с помощью равносильных преобразований приводится к виду:
то оно решается потенцированием. Учитывая ОДЗ каждой логарифмической функции, входящей в уравнение, потенцируем:
Т.е. от логарифмического уравнения переходим к уравнению с аргументами логарифмических функций левой и правой частей уравнения, полученных в результате равносильных преобразований .
3. Логарифмические уравнения, решаемые введением новой переменной.
Уравнение, в котором проводятся алгебраические действия над одной и той же логарифмической функцией, решается заменой переменной и сводится к решению простейших логарифмических уравнений. Н апример, квадратное уравнение:
Решается полученное квадратное уравнение
Затем производится обратная замена, и решаются простейшие логарифмические уравнения.
Логарифмированием обеих частей уравнения по данному основанию а уравнение такого вида сводится к уравнению относительно одной логарифмической функции и решается с помощью замены переменной. При решении такого вида логарифмических уравнений необходимо правильно устанавливать ОДЗ.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию а и используем свойства логарифмов:
После дальнейших преобразований получится логарифмическое уравнение, решаемое заменой переменной.
6. Графическое решение логарифмических уравнений.
Решить графически логарифмическое уравнение, значит в одной системе координат построить графики левой и правой частей уравнения. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков функций.
Примеры
1. Решить уравнение
Устанавливаем О.Д.З.: Рассмотрим решения.
2. Решить уравнение :
Используем свойства логарифмов и приводим уравнение к виду, в котором можно потенцировать.
3. Решить уравнение
Приводим уравнение к виду, в котором можно потенцировать. Для этого прологарифмируем правую часть уравнения по основанию :
О.Д.З., т.е. не является корнем исходного уравнения, О.Д.З.
4. Решить уравнение .
В это уравнение входит одна и та же логарифмическая функция .
Делаем замену , тогда получаем =.
Получаем квадратное уравнение:
Решая квадратное уравнение получаем
Делаем обратную замену и находим корни логарифмического уравнения:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Решить уравнения 1 – 1 0:
Найти произведение корней уравнений 1 1 − 1 5:
Найти сумму корней уравнений 1 6 − 18 :
Учебник по “Алгебра и начало математического анализа”.Ш.А.Алимов и др.
Учебник по математике для 10 классов «Основы алгебры и анализа» II – часть. М.А.Мирзаахмедов и др.
«Нестандартные задачи по математике» Е.В.Галкин
«Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Х.Х.Рузимур а дов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 587 706 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
§ 19. Логарифмические уравнения
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
02.05.2020
3742
11
28.02.2020
234
4
26.02.2020
1234
144
10.02.2020
530
41
01.02.2020
7291
364
30.01.2020
142
2
23.01.2020
1368
60
12.12.2019
379
3
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
25.06.2020 154
DOCX 66.7 кбайт
2 скачивания
Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Нуманходжаев Абдилбосит Сайдуллаевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
На сайте: 1 год и 8 месяцев
Подписчики: 0
Всего просмотров: 1667
Всего материалов: 5
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Дистанционные курсы для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных
Время чтения: 1 минута
В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов
Время чтения: 2 минуты
Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Только 23 февраля! Получите новую специальность по низкой цене
Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки
