Логарифмические уравнения и их системы конспект

Конспект урока на тему «Решение систем логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Конспект урока по теме «Решение систем логарифмических уравнений»

Цель урока. Формирование умений решать системы логарифмических уравнений.

I. Проверка домашнего задания

Проводится коллективное обсуждение выполнения домашних упражнений по записям решения упражнений подготовленными к началу урока.

II. Самостоятельная работа

а) l g(x2 — 2х) = lg(2x + 12). (3 балла)

б) х lg х = 10. (3 балла)

в) log4 x + 3log4 x = 7. (3 балла)

г) log2 (x2 + 4 x + 1) + 1 = log2(6 x + 2). (3 балла)

а) lg(2×2 + 3x) = lg(6x + 2). (3 балла)

б) xlgx = 10 000. (3 балла)

в) log9 x + 2log9 x = 5. (3 балла)

г) log2 (x2 — 3) + 1 = log2(6x — 10). (3 балла)

Ответы: В-1. а) 6; -2; б) 10; 0,1; в) 4; г) 0.

В-2. а) 2; б) 100; 0,01; в) 9; г) 2.

III. Решение систем логарифмических уравнений

При решении систем логарифмических уравнений используют те же способы, что и при решении алгебраических систем. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите систему уравнений:

Решение

Добавим и вычтем почленно уравнения системы, тогда получим:

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение

Тогда имеем или .

Проверкой убеждаемся, что(9; 7), (7; 9) — развязки системы.

IV. Формирование умений решать системы логарифмических уравнений

Решение упражнений № 14.8 (б), 14.11 (а), 14.12 (б).

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание

§ 14, п.14.1, №14.10 (а; б), 14.11 (б). Повторить свойства логарифмической функции.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 920 материалов в базе

Другие материалы

• 15.06.2017
• 420
• 0

• 15.06.2017
• 455
• 0

• 15.06.2017
• 5363
• 325

• 15.06.2017
• 255
• 0

• 15.06.2017
• 1469
• 18

• 15.06.2017
• 832
• 4

• 15.06.2017
• 2899
• 20

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 15.06.2017 1318
• DOCX 49.5 кбайт
• 56 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Игнатьева Наталья Львовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 11 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 23632
• Всего материалов: 25

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Логарифмические уравнения и их системы

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида \(\log_a x = b\) .

Утверждение 1. Если \(a > 0, a ≠ 1\) , уравнение \(\log_a x = b\) при любом действительном \(b\) имеет единственное решение \(x = a^b\) .

Утверждение 2. Уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще): \(\begin f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \end \ или \ \begin f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \end\) .

Утверждение 3. Уравнение \(\log_ <\varphi (x)>f(x) = \log_ <\varphi (x)>g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно системе \(\begin f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end \ или \ \begin f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end \) .

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т. к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З. Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение – значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.

Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнение: \(\log_<0,1>x=3\) .

Для нахождения решения возведем основание логарифма в степень, равную 3 (правая часть уравнения), получим: \(x=(0,1)^3 \Rightarrow x=0,001\) . Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому \(x=0,001\) – решение исходного уравнения.

Использование свойств логарифма

Пример 2. Решить уравнение: \(\log_2(x − 2) +\log_2(x − 3) = 1\) .

Решение: Оба логарифма одновременно определены при выполнении системы неравенств: \(\begin x-2>0, \\ x-3>0. \\ \end \)

ОДЗ нашего уравнения есть множество \(x > 3\) . Найдя ОДЗ, переходим к преобразованиям уравнения. Имеем: \(\log_2 (x − 2)(x − 3) = 1 \Rightarrow\log_2 (x − 2)(x − 3) = \log_22 \Rightarrow\)

\((x-2)(x-3)=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=4\) .

При этом число 1 не принадлежит ОДЗ и поэтому не является корнем исходного уравнения. Число 4 входит в ОДЗ и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.

Метод подстановки

Пример 3. Решить уравнение: \(\log_2^2(3-x)+3\log_2(3-x)=4\) .

Решение: Введем замену \(\log_2(3-x)=t\) , тогда получим: \(t^2+3t=4 \Rightarrow t^2+3t-4=0\) .

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь: \(D=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=25=5^2 \Rightarrow t_1=1, t_2=-4\) .

Делаем обратную замену:

\(1) \ \log_2(3-x)=1 \Rightarrow 3-x=2^1 \Rightarrow x_1=1; \\2) \ \log_2(3-x)=-4 \Rightarrow 3-x=2^ <-4>\Rightarrow x_2=2\frac<15><16>.\)

Метод логарифмирования

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6: \(\log_6x^<\log_6x>=\log_66\) .

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой – вычисляем значение логарифма: \(\log_6x\cdot \log_6x=1 \Rightarrow \log_6^2x=1\) . Пусть \(\log_6x=t \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t_1=1,t_2=-1\) .

Обратная замена: \(1) \ \log_6x=1 \Rightarrow x_1=6^1=6; \\2) \ \log_6x=-1\Rightarrow x_2=6^<-1>=\frac16.\)

Метод потенцирования

Пример 5. Решить уравнение: \(\log_3 (x^2 – 3x – 5) = \log_3 (7 – 2x)\) .

Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов: \(x^2-3x-5=7-2x\) .

Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: \(x^2-3x-5-7+2x=0 \Rightarrow x^2-x-12=0\) .

Решив квадратное уравнение, находим его корни: \(x_1=4, x_2=-3\) .

4 не является решением уравнения, так как не входит в ОДЗ. Значит, –3 является единственным решением уравнения.

При решении систем логарифмических уравнений применяются те же способы и приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств.

Пример 6. Решить систему уравнений: \(\begin x+y=4, \\ \log_2x+\log_2y=\log_23. \\ \end\)

Решение: ОДЗ: \(x > 0, y > 0\) .

Из первого уравнения можно сделать подстановку:

\(\begin x+y=4 \\ \log_2x+\log_2y=\log_23 \\ \end \Rightarrow \begin y=4-x \\ \log_2x+\log_2(4-x)=\log_23 \\ \end \Rightarrow\) \(\begin y=4-x \\ x(4-x)=3 \\ \end \Rightarrow\begin y=4-x \\ x^2-4x+3=0 \\ \end \Rightarrow x_1=1, x_2=3\) .

Находим соответствующие значения у: \(y_1 = 4 – 1 = 3, y_2 = 4 – 3 = 1\) .

Все найденные решения входят в ОДЗ.

Решите систему уравнений.

\(\begin \log_9(3x+4y)+\log_3x=\log_316 \\ \log_9x+\log_3y=\log_32 \\ \end\)

Решите систему уравнений.

\(\begin \log_2(x^2+y^2)=5 \\ 2\log_4x+\log_2y=4 \\ \end\)

Конспект урока по математике по теме «Решение логарифмических уравнений. Решение систем уравнений, содержащих логарифмическую функцию»

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная цель – рассмотреть решение систем логарифмических уравнений; рассмотреть логарифмические уравнения, включенные в «Открытый банк заданий по математике»;
• развивающая цель – способствовать формированию навыков решения логарифмических уравнений;
• воспитательная цель – способствовать воспитанию чувства ответственности, уверенности.

Тип урока: изучение новой темы.

Вид урока: традиционный с применением компьютера.

Форма проведения: групповая.

Оборудование: индивидуальные карточки, компьютер, мультимедийный проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы, постановка цели, сообщение этапов урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) Устная работа.

1. Дайте определение логарифмической функции. (Слайд 2 приложения 1)

Ответ: Функцию, заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием а.

2. Перечислите основные свойства логарифмической функции. (Слайд 3 приложения 1)

• Область определения логарифмической функции – множество всех положительных действительных чисел.
• Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
• Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0 9.05.2010