Логарифмические уравнения и их системы определение

Логарифмические уравнения и их системы

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида $\log_a x = b$ .

Утверждение 1. Если $a > 0, a ≠ 1$ , уравнение $\log_a x = b$ при любом действительном $b$ имеет единственное решение $x = a^b$ .

Утверждение 2. Уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)$ равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще): $\begin f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \end \ или \ \begin f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \end$ .

Утверждение 3. Уравнение $\log_ <\varphi (x)>f(x) = \log_ <\varphi (x)>g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)$ равносильно системе $\begin f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end \ или \ \begin f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end $ .

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т. к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З. Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение – значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.

Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнение: $\log_<0,1>x=3$ .

Для нахождения решения возведем основание логарифма в степень, равную 3 (правая часть уравнения), получим: $x=(0,1)^3 \Rightarrow x=0,001$ . Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому $x=0,001$ – решение исходного уравнения.

Использование свойств логарифма

Пример 2. Решить уравнение: $\log_2(x − 2) +\log_2(x − 3) = 1$ .

Решение: Оба логарифма одновременно определены при выполнении системы неравенств: $\begin x-2>0, \\ x-3>0. \\ \end $

ОДЗ нашего уравнения есть множество $x > 3$ . Найдя ОДЗ, переходим к преобразованиям уравнения. Имеем: $\log_2 (x − 2)(x − 3) = 1 \Rightarrow\log_2 (x − 2)(x − 3) = \log_22 \Rightarrow$

$(x-2)(x-3)=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=4$ .

При этом число 1 не принадлежит ОДЗ и поэтому не является корнем исходного уравнения. Число 4 входит в ОДЗ и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.

Метод подстановки

Пример 3. Решить уравнение: $\log_2^2(3-x)+3\log_2(3-x)=4$ .

Решение: Введем замену $\log_2(3-x)=t$ , тогда получим: $t^2+3t=4 \Rightarrow t^2+3t-4=0$ .

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь: $D=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=25=5^2 \Rightarrow t_1=1, t_2=-4$ .

Делаем обратную замену:

$1) \ \log_2(3-x)=1 \Rightarrow 3-x=2^1 \Rightarrow x_1=1; \\2) \ \log_2(3-x)=-4 \Rightarrow 3-x=2^ <-4>\Rightarrow x_2=2\frac<15><16>.$

Метод логарифмирования

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6: $\log_6x^<\log_6x>=\log_66$ .

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой – вычисляем значение логарифма: $\log_6x\cdot \log_6x=1 \Rightarrow \log_6^2x=1$ . Пусть $\log_6x=t \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t_1=1,t_2=-1$ .

Обратная замена: $1) \ \log_6x=1 \Rightarrow x_1=6^1=6; \\2) \ \log_6x=-1\Rightarrow x_2=6^<-1>=\frac16.$

Метод потенцирования

Пример 5. Решить уравнение: $\log_3 (x^2 – 3x – 5) = \log_3 (7 – 2x)$ .

Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов: $x^2-3x-5=7-2x$ .

Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: $x^2-3x-5-7+2x=0 \Rightarrow x^2-x-12=0$ .

Решив квадратное уравнение, находим его корни: $x_1=4, x_2=-3$ .

4 не является решением уравнения, так как не входит в ОДЗ. Значит, –3 является единственным решением уравнения.

При решении систем логарифмических уравнений применяются те же способы и приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств.

Пример 6. Решить систему уравнений: $\begin x+y=4, \\ \log_2x+\log_2y=\log_23. \\ \end$

Решение: ОДЗ: $x > 0, y > 0$ .

Из первого уравнения можно сделать подстановку:

$\begin x+y=4 \\ \log_2x+\log_2y=\log_23 \\ \end \Rightarrow \begin y=4-x \\ \log_2x+\log_2(4-x)=\log_23 \\ \end \Rightarrow$ $\begin y=4-x \\ x(4-x)=3 \\ \end \Rightarrow\begin y=4-x \\ x^2-4x+3=0 \\ \end \Rightarrow x_1=1, x_2=3$ .

Находим соответствующие значения у: $y_1 = 4 – 1 = 3, y_2 = 4 – 3 = 1$ .

Все найденные решения входят в ОДЗ.

Решите систему уравнений.

$\begin \log_9(3x+4y)+\log_3x=\log_316 \\ \log_9x+\log_3y=\log_32 \\ \end$

Решите систему уравнений.

$\begin \log_2(x^2+y^2)=5 \\ 2\log_4x+\log_2y=4 \\ \end$

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению $f(x)=g(x)$ с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида $\log_a f(x)=\log_a g(x)$

Неравенства $ \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end $ в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для $x$ в явном виде;
2) решить уравнение $f(x)=g(x)$;
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения $f(x)$ и $g(x)$ слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение $f(x)=g(x)$;
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для $f(x)$ и $g(x)$, и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)$
Найдем ОДЗ в явном виде:
$ \begin 2x+3\gt 0\\ x+4\gt 0\\ 1-2x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt-\frac32\\ x\gt-4\\ x\lt\frac12 \end \Rightarrow -\frac32\lt x\lt\frac12\Rightarrow x\in\left(-\frac32;\frac12\right) $
Решаем уравнение:
$\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)$
$(2x+3)(x+4)=1-2x$
$2x^2+11x+12-1+2x=0$
$2x^2+13x+11=0$
$(2x+11)(x+1)=0$
$ \left[ \begin x_1=-5,5\\ x_2=-1 \end \right. $
Корень $x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),$ т.е. не подходит.
Корень $x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)$ — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида $\log_ f(x)=\log_ g(x)$

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение $\log_(x^2-4)=\log_(2-x)$
Найдем ОДЗ в явном виде:
$ \begin x^2-4\gt 0\\ 2-x\gt 0\\ x+5\gt 0\\ x+5\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt -2\cup x\gt 2\\ x\lt 2\\ x\gt -5\\ x\ne -4 \end \Rightarrow \begin -5\lt x\lt -2\\ x\ne -4 \end \Rightarrow x\in (-5;-4)\cup(-4;-2) $
Решаем уравнение:
$x^2-4=2-x$
$x^2+x-6=0$
$(x+3)(x-2)=0$
$ \left[ \begin x_1=-3\\ x_2=2 — \ \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение $\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)$
Основания $2\ne 4$, и нельзя сразу написать $x+1=x+3$.
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
$\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2$
Тогда исходное уравнение примет вид: $\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)$
И теперь: $(x+1)^2=x+3$
$x^2+x-2=0$
$(x+2)(x-1)=0$
$ \left[ \begin x_1=-2\\ x_2=1 \end \right. $
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
$ \begin x+1\gt 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\gt -1 $
Корень $x_1=-2\lt -1$ — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) $ \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 $
ОДЗ: $ \begin x+1\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 1 $
$\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22$
$x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3$
$ \left[ \begin x_1=-\sqrt<3>\lt 2 — \text<не подходит>\\ x_2=\sqrt <3>\end \right. $
Ответ: $\sqrt<3>$

б) $ 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) $
ОДЗ: $ \begin x-1\gt 0\\ 1,5x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt-\frac23 \end \Rightarrow x\gt 1 $
Преобразуем: $2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2$
Получаем: $\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)$
$(x-1)^2=1,5x+1$
$x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0$
$ \left[ \begin x_1=0\lt 1 — \text<не подходит>\\ x_2=3,5 \end \right. $
Ответ: 3,5

в) $ \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 $
ОДЗ: $ \begin 3-x\gt 0\\ 4-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 3\\ x\lt 4 \end \Rightarrow x\lt 3 $
Преобразуем: $1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12$
Получаем: $\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12$
$(3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0$
$ \left[ \begin x_1=0\\ x_2=7\gt 3 — \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: 0

г) $ \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 $
ОДЗ: $x\gt 0$
$\log_2x^2=2\log_2x$
Получаем: $\log_2^2x+2\log_2x+1=0$
Замена: $t=\log_2 x$
$t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1$
Возвращаемся к исходной переменной: $\log_2x=-1$
$x=2^<-1>=\frac12$
Ответ: $\frac12$

д) $ x^<\lg x>=10 $
ОДЗ: $x\gt 0$
Замена: $t=\lg ⁡x$. Тогда $x=10^t$
Подставляем:
$(10^t)^t=10\Rightarrow 10^=10^1\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \left[ \begin \lg x=-1\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-1>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,1\\ x_2=10 \end \right. $
Оба корня подходят.
Ответ:

e) $ \sqrt\cdot \log_5(x+3)=0 $
ОДЗ: $ \begin x\geq 0\\ x+3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\geq 0\\ x\gt -3 \end \Rightarrow x\geq 0 $
$ \left[ \begin \sqrt=0\\ \log_5(x+3)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x+3=5^0=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $
Ответ: 0

ж) $ \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ x+1\gt 0\\ 5x-2\gt 0\\ 5x-2\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\gt -1\\ x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac25\\ x\ne\frac35 \end $
Преобразуем: $\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)$
Подставляем: $\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)$
$ 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin x_1=-\frac12 — \text<не подходит>\\ x_2=1 \end \right. $
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) $ \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 $
ОДЗ: $ \begin 2x-1\gt 0\\ \log_3(2x-1)\gt 0\\ \log_2\log_3(2x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ 2x-1\gt 3^0\\ \log_3(2x-1)\gt 2^0 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ 2x-1\gt 3^1 \end \Rightarrow $
$ \Rightarrow \begin x\gt\frac12\\ x\gt 1\\ x\gt 2 \end \Rightarrow x\gt 2 $
Решаем:
$\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2$
$\log_3(2x-1)=2^2=4$
$2x-1=3^4=81$
$2x=82$
$x=41$
Ответ: 41

б) $ \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> $
ОДЗ: $ \begin 9-2x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2^x\lt 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\lt\log_2 9\\ x\lt 3 \end \Rightarrow x\lt 3 $
Преобразуем: $25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x$
Подставляем: $\log_2(9-2^x)=3-x$
$9-2^x=2^<3-x>$
$9-2^x-\frac<8><2^x>=0$
Замена: $t=2^x\gt 0$
$ 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>=0\Rightarrow \begin t^2-9t+8\gt 0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \begin (t-1)(t-8)=0\\ t\ne 0 \end \Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=8 \end \right. $
Возвращаемся к исходной переменной:
$ \left[ \begin 2^x=1\\ 2^x=8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2^x=2^0\\ 2^x=2^3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0\\ x_2=3 \end \right. $
По ОДЗ $x\lt 3$, второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) $ \lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>+1=\lg 30 $
ОДЗ: $ \begin x-5\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt\frac32 \end \Rightarrow x\gt 5 $
Преобразуем: $\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3$
Подставляем: $\lg\sqrt+\lg\sqrt<2x-3>=\lg 3$
$\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2$
$\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3$
$\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2$
$(x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0$
$ (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin x_1=\frac12\lt 5 — \ \text<не подходит>\\ x_2=6 \end \right. $
Ответ: 6

г) $ \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ \lg x\ne 0\\ \lg 10x\ne 0\\ \lg 100x\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne 1\\ 10x\ne 1\\ 100x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\ne\left\<\frac<1><100>;\frac<1><10>;1\right\> \end $
Преобразуем: $\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10$
$\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x$
Подставляем: $\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0$
Замена: $t=\lg x$
\begin \frac1t+\frac<1><1+t>+\frac<3><2+t>=0\Rightarrow \frac1t+\frac<1><1+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow \frac<1+t+t>=-\frac<3><2+t>\Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2\Rightarrow 5t^2+8t+2=0\\ D=8^2-4\cdot 5\cdot 2=24,\ \ t=\frac<-8\pm 2\sqrt<6>><10>=\frac<-4\pm \sqrt<6>> <5>\end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ \lg x=\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10\frac<-4- \sqrt<6>><5>\\ x=10\frac<-4+ \sqrt<6>> <5>\end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: $\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>$

e) $ x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>$
ОДЗ: $x\gt 0$
Замена: $t=\lg x.$ Тогда $x=10^t$
Подставляем: \begin (10^t)^<\frac<4>>=10^\\ \frac<4>=t+1\Rightarrow t(t+7)=4(t+1)\Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\\ t^2+3t-4=0\Rightarrow (t+4)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-4\\ t_2=1 \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ \left[ \begin \lg x=-4\\ \lg x=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=10^<-4>\\ x=10 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=0,0001\\ x_2=10 \end \right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: $\left\<0,0001;\ 10\right\>$

ж) $ 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>$
ОДЗ: $ \begin 1-x\gt 0\\ 2x^2+2x+5\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ D\lt 0,\ x\in\mathbb \end \Rightarrow x\lt 1 $
По условию: \begin \log_3(1-x)=\log_4\left((2x^2+2x+5)^<\log_32>\right)\\ \log_3(1-x)=\log_32\cdot\log_4(2x^2+2x+5) \end Перейдем к другому основанию: $$ \frac<\lg(1-x)><\lg 3>=\frac<\lg 2><\lg 3>\cdot\frac<\lg(2x^2+2x+5)><\lg 4>\ |\cdot\ \lg 3 $$ $\frac<\lg 2><\lg 4>=\frac<\lg 2><\lg 2^2>=\frac<\lg 2><2\lg 2>=\frac12$ \begin \lg(1-x)=\frac12\cdot\lg(2x^2+2x+5)\ |\cdot 2\\ 2\lg(1-x)=\lg(2x^2+2x+5)\\ \lg(1-x)^2=\lg(2x^2+2x+5)\\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2 \end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) $ \begin \lg x+\lg y=\lg 2\\ x^2+y^2=5 \end $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0\\ y\gt 0 \end $
Из первого уравнения: $\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2$
Получаем: $ \begin xy=2\\ x^2+y^2=5 \end \Rightarrow \begin y=\frac2x\\ x^2+\left(\frac2x\right)^2-5=0 \end $
Решаем биквадратное уравнение: \begin x^2+\frac<4>-5=0\Rightarrow\frac=0\Rightarrow \begin x^4-5x^2+4=0\\ x\ne 0 \end \\ (x^2-4)(x^2-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x^2=4\\ x^2=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm 2\\ x=\pm 1 \end \right. \end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: $ \left[ \begin \begin x=1\\ y=\frac2x=2 \end \\ \begin x=2\\ y=\frac22=1 \end \end \right. $
Ответ: $\left\<(1;2),(2,1)\right\>$

б) $ \begin x^=27\\ x^<2y-5>=\frac13 \end $
ОДЗ: $x\gt 0,\ x\ne 1$
Логарифмируем: $ \begin y+1=\log_x27=\log_x3^3=3\log_x3\\ 2y-5=\log_x\frac13=\log_x3^<-1>=-\log_x3 \end $
Замена: $z=\log_x3$ \begin \begin y+1=3z\\ 2y-5=-z\ |\cdot 3 \end \Rightarrow \begin y+1=3z\\ 6y-15=-3z \end \Rightarrow \begin 7y-14=0\\ z=5-2y \end \Rightarrow \begin y=2\\ z=1 \end \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ \begin y=2\\ \log_x3=1 \end \Rightarrow \begin x^1=3\\ y=2 \end \Rightarrow \begin x=3\\ y=2 \end $$
Ответ: (3;2)

в*) $ \begin 3(\log_y x-\log_x y)=8\\ xy=16 \end $
ОДЗ: $ \begin x\gt 0,\ x\ne 1\\ y\gt 0,\ y\ne 1 \end $
Сделаем замену $t=\log_x y$. Тогда $\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t$
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin 3\left(\frac1t-t\right)=8\Rightarrow\frac<1-t^2>=\frac83\Rightarrow \begin 3(1-t^2)=8t\\ t\ne 0 \end\\ 3t^2+8t-3=0\Rightarrow (3t-1)(t+3)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac13\\ t_2=-3 \end \right. \end Прологарифмируем второе уравнение по $x$: $$ \log_x(xy)=\log_x16\Rightarrow 1+\log_x y=\log_x16\Rightarrow 1+t=\log_x 16 $$ Получаем: \begin \left[ \begin \begin t=\frac13\\ \log_x16=1+t=\frac43 \end \\ \begin t=-3\\ \log_x16=1+t=-2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x^<\frac43>=16 \end \\ \begin t=-3\\ x^<-2>=16 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin t=\frac13\\ x=(2^4)^<\frac34>=2^3=8 \end \\ \begin t=-3\\ x=(16)^<-\frac12>=\frac14 \end \end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin \begin x=8\\ \log_x y=\frac13 \end \\ \begin x=\frac14\\ \log_x y=-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x=8\\ y=8^<\frac13>=2 \end \\ \begin x=\frac14\\ y=\left(\frac14\right)^<-3>=64 \end \end \right. \end
Ответ: $\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>$

г*) $ \begin (x+y)\cdot 3^=\frac<5><27>\\ 3\log_5(x+y)=x-y \end $
ОДЗ: $x+y\gt 0$
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin \log_3\left((x+y)\cdot 3^\right)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)+(y-x)=\log_3\frac<5><27>\\ \log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>=x-y \end Получаем:$x-y=3\log_5(x+y)=\log_3(x+y)-\log_3\frac<5><27>$
Решим последнее уравнение относительно $t=x+y$ \begin 3\log_5 t=\log_3 t-\log_3\frac<5><27>\\ 3\cdot\frac<\log_3t><\log_35>-\log_3t=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t\cdot\left(\frac<3><\log_35>-1\right)=-\log_3\frac<5><27>\\ \log_3t=-\frac<\log_3\frac<5><27>><\frac<3><\log_35>-1>=-\frac<(\log_35-3)\log_35><3-\log_35>=\log_35\\ t=5 \end Тогда: $x-y=3\log_5t=3\log_55=3$
Получаем систему линейных уравнений: \begin \begin x+y=5\\ x-y=3 \end \Rightarrow \begin 2x=5+3\\ 2y=5-3 \end \Rightarrow \begin x=4\\ y=1 \end \end Требование ОДЗ $x+y=4+1\gt 0$ выполняется.
Ответ: (4;1)

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

0,\, a\ne 1 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

a > 1

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

С учетом того, что

-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Уравнение принимает вид:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку

С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/logarifmicheskie-uravneniya-i-sistemy/

http://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BB%D0%BE%D0%B3

Логарифмические уравнения и их системы определение