Логарифмические уравнения и неравенства это 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №28.Логарифмические неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмического неравенства

2) Основные способы решения логарифмических неравенств

Глоссарий по теме

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Решение логарифмических неравенств:

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Лысенко Ф. Ф. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2008. Под редакцией – Ростов-на-Дону: Легион, 2007. 256 с.

Шестаков С.А., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2016. – 295, [1] c.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Способы решения логарифмических неравенств основаны на монотонности логарифмической функции в зависимости от основания логарифма. Функция возрастает, если и убывает, если .

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Решить неравенство.

Основание логарифма 3 > 1, значит используем 1 схему.

; ; .

Решить неравенство .

Выполним преобразование правой части: заменим и используем свойство суммы логарифмов.

Основание логарифма , значит используем 2 схему.

;; ; .

Ответ:

Решение логарифмических уравнений и неравенств встречается в заданиях ГИА.

Задача 1. Решите неравенство

.

Замена: .

Рассмотрим функцию: .

Нули:

Обратная замена:

Используем определение логарифма, учитывая, что основание 2 >1.

; ; ;

Ответ:

Задача 2. Решите неравенство

.

;

Квадраты противоположных чисел равны, поэтому применяя свойство логарифма степени, не забываем поставить модуль.

;

Т. к. основание логарифма содержит переменную, необходимо рассмотреть 2 случая.

1.

; ; ;

; .

2. .

; ; ;

; .

Ответ:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства .

1. Упростим левую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество:

1. Приведем подобные слагаемые.

1. Разделим неравенство на 2. (2 > 0, знак неравенства не меняем):

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 10 кл..doc

Тема урока: «Логарифмические уравнения и неравенства». (алгебра 10 класс)

Повторить и обобщить основные приемы и методы преобразования логарифмических уравнений и неравенств базового уровня.

Создать условия для развития способности учащихся находить, анализировать и корректировать ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Сформировать коммуникативные компетенции: умение представлять итог проделанной работы, отвечать на вопросы товарищей, работать в паре, группе.

Тип урока: урок рефлексии

Методы работы: индивидуальная работа с учащимися, работа в парах (группах), проблемно- поисковый метод самостоятельной работы.

— Организация урока, постановка целей и задач совместно с учениками.

— Актуализация опорных знаний:

б) мини – проверочная работа;

в) «Проверь себя» (работа в парах).

— Разноуровневая самостоятельная работа (работа в группах);

— Рефлексия. Итог урока;

— Самооценка за урок;

Учитель сообщает тему урока, предлагает учащимся поставить индивидуальную цель на урок. Учащиеся совместно с учителем ставят задачи на урок.

Актуализация опорных знаний

а) (учащиеся выбирают карточку с теоретическим вопросом, дают ответ)

1) дать определение логарифма.

2) сформулируйте свойства логарифма.

3) какая функция называется логарифмической?

4) Какова область определения логарифмической функции?

5) Сформулируйте свойства монотонности логарифмической функции.

6) каков алгоритм решения логарифмического уравнения.

7) каков алгоритм решения логарифмического неравенства.

б) мини — проверочная работа

I вариант II вариант

1) вычислить 1) вычислить

а) а)

б) 2 l og ₂ 6 б) 3 2 log ₃ 5

в) + в)

2) Сравнить 2) Сравнить

и и

I вариант II вариант

3) При каких m имеет смысл выражение

Учащиеся сверяют свои ответы с ответами на экране, дают самооценку решенных заданий по критериям, заносят оценку в листы самооценивания.

I вариант II вариант

2. > 2. m > 1 3. (-1;0) V (0 ; +∞)

Работа в парах по карточке «Проверь себя». Обсуждение в парах и анализ ошибок.

Карточка « Проверь себя»

1.Решить неравенство

Решение:

Ответ:

Решить неравенство

Решение: ,

Ответ:

Решить уравнение

Решение: Область определения

По свойству логарифмов

Ответ:

Решить неравенство

Решение:

Ответ:

Решить неравенство

Решение: ,

Ответ:

Решить уравнение

Решение: Область определения

По свойству логарифмов

Ответ:

Обсуждение и анализ ошибок.

Х > 3. Правильный ответ х Є ( 3; 28)

1) Допущена ошибка в решении неравенства х +10 > 0

(верное решение х > -10)

2) не учтена монотонность y = убыв.

2) х + 10 -1 , х = — 5, постор. корень.

Разноуровневая самостоятельная работа.

(Работа учащихся в группах по карточкам А и В). Карточка А содержит задания базового уровня, карточка В – задания повышенного уровня.

Решить неравенство

Решить неравенство

Решить уравнение

Решить уравнение

Вычислить

Вычислить

Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства

Найдите сумму всех целых решений неравенства