Логарифмические уравнения и неравенства конспект

Конспект открытого урока в 11 классе «Логарифмические уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект открытого урока

по алгебре и началам анализа в 11 классе

учителя математики МБОУ СОШ №1 г. Лермонтова

Шаблинской Галины Викторовны

Тема: « Логарифмические уравнения и неравенства»

— обобщить материал по свойствам логарифмов, повторить алгоритмы решения логарифмических уравнений и неравенств;

— закрепить навыки решения различных уравнений и неравенств;

— воспитание культуры математической речи, чувства уверенности в процессе подготовки к ЕГЭ.

— овладеть понятиями и умениями, связанными с решением логарифмических уравнений и неравенств;

— овладеть приемами оценки решений уравнений;

— правильно употреблять термины;

— уметь решать простые логарифмические уравнения и неравенства;

— уметь применять методы для решения логарифмических уравнений и неравенств .

Тип урока: обобщение и систематизации знаний учащихся.

Форма урока: урок-практикум.

Оборудование урока: карточки с заданиями; презентация для устной работы; презентация «Логарифмы вокруг нас»; проектор, экран.

I . Устная работа. Определение логарифма. (слайд №1,2)

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a — называют показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b

Откуда получаем основное логарифмическое тождество:

Основные свойства логарифмов: (слайд №3)

При любом a >0, a ≠1 и любых положительных x и y , любого положительного p выполнены равенства:

log_a = log_ax- log_ay

Следствия из свойств логарифмов: (слайд №4)

Определение логарифмического уравнения. (слайд №5)

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмические уравнением log_ax = b , при котором a >0, a ≠1, x >0

Методы решений уравнений:

log ₂ f ( x ) = b — по определению логарифма,

log_af ( x ) = log_ag ( x ) — метод потенцирования,

f ₁ ( x ) f ₂ ( x ) = f ₃ ( x ) — метод логарифмирования,

log 2 _a f ( x ) + log_af ( x ) = c — метод подстановки,

a log _a f ( x ) = b log _b f ( x ) — использование основного логарифмического торжества,

log_af ( x ) + log_ag ( x ) = c — сворачивание в один логарифм.

Определение логарифмического неравенства. (слайд №6)

Неравенство , содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим

log_af ( x ) > log_ag ( x ), где а- положительное число, отличное от 1.

— при а>1: log_af ( x )> log_ag ( x ), где f ( x )>0, g ( x )>0, f ( x )> g ( x );

— при 0 log_af ( x )> log_ag ( x ), где f ( x )>0, g ( x )>0, f ( x ) g ( x )

Определение логарифмической функции.

Функцию, заданную формулой y = log_ax , называют логарифмической функцией с основанием a , где a — положительное число, не равное 1.

Основные свойства логарифмической функции:

— Логарифмическая функция возрастает на всей области определения, при a >1 и убывает на всей области определения, при 0 a

II . Устный счет (примеры ЕГЭ). (слайды №7,8)

, ,

Расставить соответствие, при котором x >0:

А)

Б) 2

В) 4

Г)

Вычислите с помощью основного логарифмического тождества:

Вычислите область определения функции:

(0;∞)

III. Работа у доски по карточкам (ЕГЭ В7). (слайд №9)

Четыре человека – решают уравнения с последующим проговариванием решения. Остальные записывают у себя в тетради.

IV . Работа с учебником.

На стр. 245 учебника «Алгебра и начала математического анализа» выполнить номер 526 (а).

V . Физическая минутка.

VI. Презентация «Из истории логарифмов». Создатель логарифмов. (слайды №10-12)

Джон Непер (1550 -1617) — шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

«Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики».

Логарифмы в природе.

Громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Например, шум бьющихся волн, яркость звезд.

Логарифмы в музыке.

Так называемые ступени частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

Логарифмы в психологии.

Изучая логарифмы, ученые пришли к выводу о том, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения. Здесь действует так называемый «психофизический закон Фехнера»: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Таким образом, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Логарифмическая спираль – это плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек O (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота.

Логарифмическая линейка – это счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью которого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над логарифмами этих чисел.

VII . Самостоятельная работа (слайды №13,14)

Вариант 1 Вариант 2

1. Решить уравнение.

2. Решить неравенство.

Взаимопроверка самостоятельной работы.

Оценивание учащихся, рефлексия.

IX. Домашнее задание. (слайды №15,16)

Пункты учебника: 37-39; номера:527(в;г) и 530(в), а также решить примеры:

конспект урока по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств».
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок обобщения и систематизации знаний в 11 класе по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Скачать:

Вложение	Размер
reshenie_logarifmicheskikh_uravneniy_i_neravenstv.docx	98.3 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по данной теме.

обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме;
создать условия контроля, самоконтроля усвоенных знаний и умений;
создать условия для развития познавательного интереса учащихся;
воспитывать ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке, математическую активность, умение работать в группах, общую культуру.

Образовательная. Повторить теоретический материал. Обратить особое внимание на ОДЗ логарифмической функции.

Систематизировать методы решения логарифмических уравнений, неравенств.

Развивающая . Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся.

Воспитательная . Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

— карточки с индивидуальными заданиями для самостоятельной работы;

— карточки с заданиями для домашней работы;

— карточки с заданиями для групп;

— мультимедийный проектор, компьютер.

— листы для самоконтроля

— работа в группах;

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания. Сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы для подготовки к ЕГЭ.

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

1 вариант Ответы 2 вариант

-Какое уравнение называют простейшим логарифмическим уравнением? Сколько решений имеет уравнение Какие методы решения логарифмических уравнений вам известны?

3. Работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений .

1. Решите уравнение log 2 4 + 2 log 2 х = log 2 (6х + 18)

Учащиеся могут привести одно из представленных решений:

а) Используя переход к равносильной системе:

б) Выполняя проверку найденных корней уравнения: 4х 2 = 6х + 18, х = -1,5 или х = 3.

х = -1,5, log 24 + 2log 2(-1,5) = log 2(6(-1,5) + 18) — неверно;

х = 3, log 24 + 2log 23 = log 2(6· 3 + 18),

log 236 = log 236 — верно

-Д алее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания №1.

1. Решите уравнение (1-3).

1. log 3 (2х — 4) = log 3 (х + 3)

2 . 2log 4 x = log 4 169

3. lg (2х 2 — 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

( 1. 7. 2 13 . 3. 3; 4.)

2. Решите неравенство. log 0,2 (3х — 5) > log 0,2 (х + 1). (5/3

-В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

2 . Решите уравнение lg(х + 4) + lg(2х + 3) = lg(1 — 2х).

Решение. 1. Найдём ОДЗ:

2. Преобразуем уравнение к виду:

lg((х + 4)(2х + 3)) = lg(1 — 2х), 2х 2 + 13х + 11 = 0, отсюда х 1 = -1, х 2 = -5,5.

Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий №1.

1.Решите уравнение (1-2).

1. log 2 (х + 1) + log 2 (х + 3) = 3.

2. log 3 (x 2 — 1) = 1

2. Решите неравенство. lg 2 x ≥ 9 (0; 0,001]U[1000;∞)

-С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:

3. Решите уравнение log 1/3 x log 1/3 (3x-2)= log 1/3 (3x-2)

Log 1/3 x log 1/3 (3x-2)= log 1/3 (3x-2)

Log 1/3 x log 1/3 (3x-2) — log 1/3 (3x-2)=0

Log 1/3 (3x-2) ( log 1/3 х-1)=0

Log 1/3 (3x-2) =0 или log 1/3 х-1=0

3x=3 x= — посторонний корень

Далее учащиеся третьей группы выполняют своё задание № 1самостоятельно.

1.Решите уравнение log 2 (3x+1) log 3 x=2 log 2 (3x+1)

2. Решите неравенство.

Решение заданий группы №3. 1.Решение: О.Д.З.: 3x + 1>0 и х > 0 ↔ х > 0

log 2 (3x+1)log 3 x — 2log 2 (3x+1)=0;

log 2 (3x+1) (log 3 x -2) = 0;

log 2 (3x+1)=0 или log 3 x=2

x 1 =0- посторонний корень.

2. Решение. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию10. Поскольку у = lg x

функция монотонно возрастает, смысл неравенства при логарифмировании не меняется.

решим квадратное уравнение относительно

Учитель проверяет правильность выполнения заданий № 1 у учащихся первой и второй групп и если появляется необходимость, корректирует решения.

По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание.

4. Решите неравенство log 0,5 (х + 1) > log 0,5 (2 — х).

Решение. Функция у = log 0,5 х убывает. Поэтому:

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий № 2. С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает следующее задание.

5. Решите неравенство: 2 log 3x -6 9 — log 3 (x-2) ≥ 1

Решение. Перепишем неравенство в виде: 2log 3 9 /log 3 3(x-2) — log 3 (x-2)≥1 ↔

4/(1 + log 3 (x — 2)) – log 3 (x- 2) ≥ 1 Пусть log 3 (x- 2) = a, тогда 4/ (a +1) – a ≥ 1 ↔

(4 – (a + 1) 2 )/(1 + a) ≥ 0 ↔ (a + 3)(a — 1)/(1 + a) ≤ 0

Далее воспользуемся методом интервалов. Получим a ≤ -3 или -1 ˂a ≤ 1. Oсталось решить совокупность неравенств: log 3 ( x — 2) ≤ -3 или -1 ˂ log 3 ( x — 2) ≤ 1 ↔ 0 ˂x — 2≤ 1/27 или

1/3 ˂ x -2 ≤ 3 ↔ 2 ˂ x ≤ 55/27 или 7/3 ˂ x ≤ 5.

Ответ: (2; 55/27] U( 7/3; 5]

Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания № 2. Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости, после чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп.

Сцепили руки в “замок”, вытянули перед собой, подняли вверх и хорошо потянулись. Врачи утверждают, что в этот момент выделяется “фермент счастья”.

5. Разноуровневая самостоятельная работа

(Слайд на экране и карточки у каждого ученика). Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий базовый А, повышенный В.

1 вариант 2 вариант

А. 1.Решите уравнение А . 1.Решите уравнение

log 2 (x + 1) = 4 lg (x — 10) =1

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log 5 (2х + 1) ≥ log 5 (х — 1).

1.Решите уравнение 1.Решите уравнение

2. Решите неравенство 2. Решите неравенство

log 2 0,2 х — 5 log 0,2 х 2 0,1 х + 3 log 0,1 х > 4.

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу, выставив оценку за самостоятельную работу.

Ответы: 1 вариант. А. 1. 15; 2.(1; ∞) В. 1. 4, 2; 2. (0,008; 0,04)

2 вариант. А. 1. 20; 2. (- 5; 1,75) В. 1. 9, 1/3. 2. (0; 0,1)U(10000; ∞)

6. Домашнее задание . карточки с заданиями для домашней работы.

1 . log 3 (x + 2) = 3

3 . lg (x — 1) – lg (2x — 11) = lg 2

2. Решите неравенство

log 8 (5х — 8) 8 (2х + 7).

1 . log 1/6 (x + 0,5) = -1

3.log 2 (x — 5) + log 2 (x + 2) = 3

2. Решите неравенство

log 0,5 (х + 1) > log 0,5 (2 — х).

1. log 4 (x + 12)log x 2 = 1

2. Решите неравенство

1. (100х) lgx = x 3 .

2. log 2 2 х — 3 log 2 х = 4

3. log 1/3 (2х-3) 5 =15

2. Решите неравенство

7. Итог урока. Рефлексия

Итак, мы сегодня с вами решали логарифмические уравнения и неравенства. А теперь давайте обобщим, какие методы решения мы применяли?

Выставление оценок по количеству «+» в тетради, за решение на доске и по карточкам. Определение результативности работы учащихся.

Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Готовясь к экзамену, никогда не думай, что не справишься с заданием, а, напротив, мысленно рисуй себе картину успеха и тогда у тебя обязательно все получится!

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №28.Логарифмические неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмического неравенства

2) Основные способы решения логарифмических неравенств

Глоссарий по теме

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Решение логарифмических неравенств:

(знак неравенства сохраняется)

(знак неравенства меняется)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Лысенко Ф. Ф. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2008. Под редакцией – Ростов-на-Дону: Легион, 2007. 256 с.

Шестаков С.А., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И. В. ЕГЭ 2016. Математика. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2016. – 295, [1] c.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Логарифмические неравенства – это неравенства вида , где и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Способы решения логарифмических неравенств основаны на монотонности логарифмической функции в зависимости от основания логарифма. Функция возрастает, если и убывает, если .