Логарифмические уравнения и неравенства методы решения

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

С учетом того, что

-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Уравнение принимает вид:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку

С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

• Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
• Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
• В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Способы решения логарифмических уравнений и неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Республиканская научно — практическая конференция «Шаг в будущее»

Способы решения логарифмических

уравнений и неравенств

работа ученицы 11 класса

средней общеобразовательной школы

руководитель: учитель математики

Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Применение определения логарифма

Применение основного логарифмического тождества

Метод введения новой переменной

Нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Метод замены множителей

Решение уравнений и неравенств за счет свойств, входящих в них функций

Использование числовых неравенств

Из истории логарифмов

Логарифмические уравнения и неравенства из вариантов ЕГЭ

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать слогарифмами. Поэтому важно знать правила действий с логарифмами и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Мнепоказалась достаточно интересной тема «Способы решения логарифмических уравнений и неравенств».Данная тема актуальна , так как задания с логарифмами есть в 10 – 11 классах общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Много заданий, содержащих логарифмы, и в тестах ЕГЭ. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Решение логарифмических уравнений и неравенств — трудоёмкая задача, которая тожене всегда приводит к желаемому результату. Я постаралась найти все способы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Цель : изучить способы решения логарифмических уравнений и неравенств

Познакомиться с историей логарифмов;

Исследовать методы и нестандартные способырешения логарифмических уравнений и неравенств;

Применить их на практике, решая множество примеров;

Рассмотреть логарифмические уравнения и неравенства из вариантов ЕГЭ

В данной работе описывается история возникновения логарифма, приведен теоретический материал, рассмотрены множество примеров. Затрагиваются материалы, не изучаемые в общеобразовательных классах. Изучены много литературы, интернет – ресурсов. Все это позволяет эффективно и успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Применение определения логарифма

Напомним, что число x называется логарифмом числа по основанию , если .

Таким образом, по определению .

Поскольку операция возведения в степень определена только при положительном основании степени,то логарифмы определены только при положительном основании. Кроме того, из того, что любая степень единицы равна единице, следует, что основание логарифма должно быть отличным от единицы. Любая степень положительного числа есть положительное число, поэтому логарифмы определены только для положительных чисел. Следовательно, функция определена при x > 0 и a > 0, a 1. Это обстоятельство необходимо учитывать при решении уравнений, содержащих логарифмы, и начинать с определения области допустимых значений, учитывая, что все выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительны.

Отметим, что из определения логарифма следует, чтодля любого a , при котором определен логарифм.

Напомним основные свойства логарифмов:

Пример 1.1 . Решить уравнение.

с учетом ОДЗ, корень уравнения равен 1

Пример 1.2 . Решить уравнение.

Пример 1.3. Решить уравнение.

не удовлетворяет ОДЗ.

Потенцирование, то есть переход от уравненияк уравнению .

Здесь следует иметь в виду, что эти уравнения, возможно, неравносильны. Второе уравнение может иметь корни, не входящие в ОДЗ первого, для которых

Пример 1.4. Решить уравнение.

lg5+ lg ( x+10 ) =1-lg ( 2x-1 ) +lg(21x-20)

ОДЗ определено условиями условием:

Заменим единицу на lg 10 и используем формулы суммы и разности логарифмов. Получим уравнение

Потенцирование и сокращение на 5 приводит к уравнению

После приведения к общему знаменателю и приведения подобных членов получаем уравнение

Корнями, которого являются числа , оба входящие в ОДЗ

Применение основного логарифмического тождества

При применении основного логарифмического тождествапроисходит переход от уравненияк уравнению Здесь также могут появиться посторонние корни.

Пример 1.5 . Решить уравнение.

Решение: применив основное логарифмическое тождество , и формулу , получим

Потенцирование этого уравнения приводит к однородному показательному уравнению

Разделим обе части уравнения на и обозначим Полученное при этом квадратное уравнение имеет корни . Второй корень посторонний , поэтому – решение однородного показательного уравнения. Так как не входит в ОДЗ данного уравнения, то задача не имеет решений.

Метод введения новой переменной

Распространенным методом решения уравнений и неравенств вообще, и логарифмических в частности, служит замена переменных (метод подстановки). Чаще всего этот метод используется, когда уравнение или неравенство является квадратным относительно функции, содержащей искомую переменную. Ниже рассмотрим некоторые виды замены переменной, позволяющие значительно упростить или ускорить получение решения уравнений содержащих кроме логарифмической другие комбинации функций.

Пример 1.6. Найти произведение корней уравнения.

Произведение корней равно 1

Пример 1.7. Решить уравнение.

Пример 1.8. Решить уравнение.

Переход к новому основанию

Пример 1.9. Решить уравнение.

ОДЗ определяется исходя из того, что основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы. Это дает набор условий:

Поскольку 16=, а 64=, удобно перейти к логарифмам по основанию 2:

Обозначим Получаем уравнение

После очевидных преобразований получаем уравнение

Корни этого уравнения равны . Это дает два уравнения для нахождения x .

Потенцируя, получаем корни , входящие в ОДЗ.

Рассмотренные примеры показывают, что замена переменной эффективный прием решения логарифмических уравнений и неравенств.

Преимущество такого приема наиболее ярко проявляется при решении уравнений и неравенств, представляющих комбинацию логарифмических и показательных функций.

Метод логарифмирования заключается в том, что обе части равенства или неравенства, если они положительные, можно прологарифмировать по одному основанию (в неравенствах, учитывать при этом монотонность функции).

Пример 1.10. Решить уравнение.

ОДЗ определено условием x >0. Учитывая, что lg 0,0001= lg , получаем

Обозначим Получаем уравнение Корни этого уравнения . Это дает два уравнения для x

Потенцируя, получаем четыре уравнения: . Все корни входят в ОДЗ.

Нестандартные способы решения логарифмических уравнений и неравенств

2.1. Метод замены множителей

Данный метод позволяет нам решение неравенства повышенной сложности свести к решению рациональных неравенств.

Любое неравенство можно привести к виду:

Здесь символ « V » означает один из четырех возможных знаков неравенства: — комбинация функций неизвестной переменной (сложная функция). В основе рассматриваемого метода лежат два равносильных утверждения:

Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая, тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции совпадает по знаку с разностью

Утверждение 2 . Функция есть строго убывающая, тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью

Здесь и дальше по тексту t – функция неизвестной переменной.

Равносильность утверждений 1 и 2 следует из того факта, что если есть монотонно возрастающая функция, то есть монотонно убывающая.

Если нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства(имеющий в этой области те же корни). Этот факт и определяет основную идею метода замены множителей.

Показательная и логарифмическая функции и вызываемые ими замены

Показательная функция как известно строго убывает при и строго возрастает при . Поэтому, в частности, для получаем

Для произвольного основания a , пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть что

Функция – строго возрастающая. Поэтому с учетом ОДЗ

При получаем , те есть

Тогда соотношение принимает вид

Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.

Для логарифмической функции аналогично устанавливаем, что

Отсюда следует, что

То есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания единицы:

Исходя из этого, образуются полезные схемы решения основных показательных и логарифмических неравенств:

Пример 2.1. Решить неравенство

Первый множитель в числителе имеет вид который совпадает с разностью. Поэтому заменяем на ( 2 – x )

Множитель имеет вид где , который знакосовпадает с заменяем на х.

Множитель имеет вид который знакосовпадает с , поэтому заменяем его на

Множитель имеет вид , где поэтому знакосовпадает с . И так как, то указанный множитель заменяем на.

В знаменателе первый множитель имеет вид , который по знаку совпадает с . Поэтому этот множитель знакосовпадает с произведением . И так как знакосовпадает с , то окончательно получаем, что первый множитель можно заменить на .

Второй множитель в знаменателе имеет вид , который совпадает с произведением . Поэтому сначала этот множитель заменяем на

И так как знакосовпадает с , то второй множитель в знаменателе заменяем на .

Последний множитель имеет вид, который знакосовпадает с a . И так как имея видзнакосовпадает с то заменяем последний множитель на

Окончательно после всех замен устанавливаем, что исходное неравенство в своей области определения равносильно неравенству

Очевидно, что область определения левой части неравенства задается системой

То есть область одновременного существования всех множителей представляет с собой два промежутка: В этой области множители знакопостоянны, и поэтому их можно заменить на (– 1) и на 1 соответственно. Знакопостоянны в области определения и квадратные трехчлены . Поэтому заменяя их на (– 1) и на 1, устанавливаем, что:

Пример 2.2. Решить неравенство

Пример 2.3. Решить неравенство.

Пример 2.4. Решить неравенство.

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем, а вместо числителя

Пример 2.5. Решить неравенство

После замены получим:

В области определения неравенства знаменатель дроби поэтому

Пример 2.6. Решить неравенство.

Замена (12) приводит к системе:

Представленные примеры убедительно демонстрируют возможности метода замены множителей при решении достаточно сложных неравенств.

Для удобства использования целесообразно привести сводку наиболее употребляемых замен:

Решение уравнений и неравенств за счет свойств, входящих в них функций .

Имеется довольно много уравнений и неравенств, которых можно решать за счет свойств, входящих в них функций. Этот метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов. Существует несколько таких нестандартных методов:

Использование областей существования функций

Анализ области определения уравнения или неравенства в некоторых случаях позволяет существенно упростить процедуру нахождения решений.

Так, если множество, на котором определены обе части уравнения, окажется пустым множеством, то ответ в этом случае ясен – уравнение не имеет решений.

Пример2.7. Решить уравнение

Условия для нахождения ОДЗ имеет вид:

Система решений не имеет, т.е. ОДЗ уравнения – пустое множество.

Ответ: нет решений

Если множество состоит из одного или нескольких чисел, то достаточно проверить, является ли каждое из этих чисел решением данного уравнения.

Пример 2.8. Решить уравнение

Обе части уравнения определены только для тех x , которые удовлетворяют системе неравенств

Решением системы являются . Проверка показывает, что удовлетворяет данному уравнению, а .

Пример 2.9. Решить неравенство.

Обе части неравенства определены только для тех х, которые удовлетворяют системе неравенств

Данной системе неравенств удовлетворяют лишь два числа: . Поэтому если данное неравенство имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число не удовлетворяет неравенству, а число ему удовлетворяет. Следовательно, неравенство имеет единственное решение

Знание множества области определения может помочь в нахождении решений даже в случае, когда оно – бесконечное множество чисел.

Пример2.10. Решить неравенство.

Неравенство определено для x >0, при которых. Учитывая, что получим, что множество образует положительные , для которых , то есть для

Проверим, какие из них удовлетворяют данному неравенству. Так как

Использование ограниченности функции

Пусть левая часть уравнения F ( x )=0 есть сумма нескольких функций каждая из которых неотрицательна для х из области ее существования. Тогда уравнение F ( x )=0 равносильно системе уравнений:

Суть рассматривания подхода к решению уравнений и неравенств состоит в следующем:

Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функции и пусть для любого справедливы неравенства , где A – некоторое число. Тогда уравнение или неравенство равносильно системе уравнений:

Пример 2.11. Решить уравнение

Это уравнение равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение х=3, которое является также решением второго уравнения системы.

Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение имеет единственное решение.

Пример 2.12. Решить неравенство

Каждая из функций в левой части неравенства неотрицательна при 𝓍𝜖 поэтому неравенство равносильно системе:

Из корней первого уравнения системы х=3, х=4; только х=4 удовлетворяет второму уравнению, то есть неравенство имеет единственное решение.

Пример 2.13. Решить уравнение.

Уравнение определено для всех действительных значений причем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Решениями второго уравнения системы являются . Из этих чисел только число удовлетворяет первому уравнению системы.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение

Пример 2.14. Решить неравенство.

Обе части неравенства определены для всех действительных чисел . Для любого , поэтому Следовательно, неравенство

Единственное решение второго уравнения системы х=-1. Это число удовлетворяет первому уравнению этой системы и поэтому является решением равносильного системе неравенства.

Использование монотонности функций

Напомним, непрерывная функция называется строго монотонной , если при выполняется условие т.е. в случае строгой монотонности неравенство для значений функции так же строгое.

Решение уравнений и неравенства с использованием строгой монотонности основано на утверждениях:

Если – непрерывная, строго монотонная функция на интервале ( a ; b ), то уравнение может иметь не более одного решения на этом интервале.

Если – непрерывны на интервале ( a ; b ), и имеют в нем разный характер строгой монотонности (одна из функций возрастает, другая убывает), то уравнение может иметь не более одного решения на этом интервале.

В случае, когда определить характер или интегралы монотонности функции из общих соображений не удается, то такая задача решается с использованием производных.

Пример 2.15. Решить неравенство.

ОДЗ данного неравенства есть промежуток На ОДЗ функция +является непрерывной и строго возрастающей. Так как f (1)=4, то все значения из множества удовлетворяет исходному неравенству.

Пример 2.16. Решить уравнение.

Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим непрерывные функции Функцияубывает на промежутке возрастает на промежутке . Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Так как на промежутке функция возрастает, а функция убывает и обе функции непрерывны, то на этом промежутке уравнение может иметь не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем является число х=2. Так как на промежутке функция убывает, а функция возрастает и обе функции непрерывны, то на этом промежутке уравнение также может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким числом является число х=0. Итак, данное уравнение имеет два корня .

Использование числовых неравенств

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(причем равенство здесь возможно лишь при ), и его следствия:

(причем =2 тогда когда, ).

Пример 2.17. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения есть все действительные числа. Переписав левую часть уравнения в виде

замечаем, что она не меньше четырех, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при =0 она равна четырем. В то же время правая часть при =0 также равна четырем, а для всех меньше четырех. Следовательно, есть единственное решение уравнения.

Поставленная задача выполнена, так как в ходе выполнения работы были, еще раз, повторены, дополнены основные свойства, выполнено решение большого количества уравнений и неравенств, что окажет реальную помощь при сдаче ЕГЭ. Также при выполнении работы освоены и проиллюстрированы конкретными примерами нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Рассмотренные примеры позволяют существенно упростить, а в некоторых случаях, и ускорить процесс нахождения решений.

Выполненная работа может быть использована выпускниками для повторения и систематизации знаний по обозначенной теме, а также учителями математики для факультативного курса.

Из истории логарифмов

Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения логарифмов была уже частично известна Архимеду (3 в. до н.э.),были хорошо известны Н.Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Важный шаг в теоретическом изучении логарифмов сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь логарифмов и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление логарифма бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668). В развитии теории логарифма большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень. Изобретение логарифмов в начале XVII в. тесно связано с развитием в XVI в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны были быть результаты действий. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий III ступени (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям II ступени (умножению и делению), а последних — к самым простым, к действиям I ступени (сложению и вычитанию). Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство — таблицы логарифмов, — резко повысившее производительность труда вычислителей. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером(1550 — 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 — 1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными. Уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средств вычислений резко снижается.Термин «ЛОГАРИФМ» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Таким образом, для Непера слова «lóguarithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть логарифм у Дж. Непера — вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак логарифма — результат сокращения слова «ЛОГАРИФМ» — встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В сочинении «Параболы квадратуры» Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде «Об измерении круга» Архимед впервые вычислил число «пи» — отношение длины окружности к диаметру — и доказал, что оно одинаково для любого круга.Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Логарифмические уравнения и неравенства из вариантов ЕГЭ

Рассмотрим несколько примеров, предлагаемых учащимся во время подготовки к ЕГЭ.

В3. Найдите корень уравнения

Решение: ОДЗ: Прологарифмируем число 2 и получим =, используем метод потенцирования, после чего получим 𝓍 – 3 = 9. Отсюда, 𝓍 = 12

C 3. Решите неравенство

Решение: Находим область допустимых значений неравенства.

Воспользуемся условием равносильности для логарифмов с переменным

Используя метод интервалов и учитывая ОДЗ, получаем

С3 Решите систему неравенств:

 1 . Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Решение первого неравенства исходной системы:

2.Решим второе неравенство системы: ,

Решение второго неравенства исходной системы:,

3. Решение исходной системы неравенств:

C 3. Решите неравенство

log (4 + 7х — 2х²) ≤ 2

Последняя система легко решается методом интервалов.

PS : В решении использованы и будут в дальнейшем использоваться условия равносильности в ОДЗ для решения логарифмических неравенств с числовым (переменным основанием)- см.С.И.Колесникова. «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ»-М.АЙРИС ПРЕСС. 2006.:

Список использованной литературы

Гусев В.А., А.Г. Мордкович. – М.: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2003.- 671, с.: ил.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 г.

БрадисВ.М. Четырехзначные математические таблицы: для средней школы – М.: Просвещение, 1988.-95с.

Лаппо Л.Д. ЕГЭ. Математика. Подготовка к ЕГЭ. М.: Издательство «Экзамен», 2013.-334,[2]с.

ЕГЭ- 2014.Математика: типовые экзаменационные варианты. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.- М.: Издательство «Национальное образование», 2012.-80с.

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Описаны различные способы решения логарифмических уравнений и неравенств и показано их применение

Просмотр содержимого документа
«Решение логарифмических уравнений и неравенств»

ПРОЕКТ на тему: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Яралиева Б.С. преподаватель математики «Дербентского профессионально- -педагогического колледжа»

Введение……………………………………………………………………3 Глава 1. Теоретические основы. 1.1. Основные понятия…………………………………………………….4

1.2. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств…. 7

Глава 2. Применение методов на практике.

2.1.Решение логарифмических уравнений…………………………..…..10

2.2.Решение логарифмических неравенств……………………………. 13

Тема проекта: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Актуальность: — учащиеся не обладают достаточными знаниями о методах решения логарифмических уравнений и неравенств;

— в материалах ЕГЭ встречаются задания, содержащие логарифмические уравнения и неравенства.

Цель: сформировать у учащихся умение решать различного типа логарифмические уравнения и неравенства для успешной сдачи ЕГЭ.

Задачи: собрать и изучить теоретический материал по способам решения логарифмических уравнений и неравенств; описать различные способы их решений и показать учащимся применение рассмотренных методов на примерах.

Объект исследования: процесс обучения учащихся решению логарифмических уравнений и неравенств на уроках математики.

Предмет исследования: методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Гипотеза исследования основана на предположении о том, что знание различных методов решения логарифмических уравнений и неравенств может повысить эффективность изучения данной темы и качество подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ.

Методы исследования: изучение специализированной литературы, анализ, сравнение, применение теоретических знаний при решении практических задач.

Выборка исследования: различные методы решений логарифмических уравнений и неравенств.

Глава 1. Теоретические основы. 1.1. Основные понятия.

1. Логарифмы и их свойства

Рассмотрим уравнение , при . При это уравнение не имеет решений и при имеет единственное решение. Данное решение называют логарифмом по основанию и обозначают .

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести число, чтобы получилось число:

.

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством

При . и действительном имеют место равенства:

1. ;

2.;

3. ;

4.;

5..

Формула перехода к новому основанию:

Имеет место тождество

.

Из него следуют следующие равенства:

, .

Так же имеет место равенство

Логарифм, основанием которого является число 10, называют десятичным логарифмом и обозначают . Логарифм, основанием которого является число e, называют натуральным логарифмом и обозначают .

Функцию вида , где называют логарифмической функцией с основанием .

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных вещественных чисел — R+.

2. Область значения логарифмической функции есть множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции , то функция возрастает на всей области определения. Если же для основания логарифмической функции имеет место неравенство , то логарифмическая функция убывает на всей области определения.

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция положительна при и отрицательна при .

6. Убывающая логарифмическая функция отрицательна при и положительна при .

График возрастающей логарифмической функции — ( ):

График убывающей логарифмической функции — ( ):

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

8. У функции нет точек максимума и минимума.

Графики показательной и логарифмической функций с одинаковыми основаниями симметричны относительно прямой .

Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Логарифмическим неравенством называется неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании.

1.2. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

При решении логарифмических уравнений используют различные методы. Выбор метода зависит от вида уравнения. Перечислим некоторые из них:

Использование определения логарифма

Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Приведение к одному основанию.

Введение новой переменной.

Логарифмирование обеих частей уравнения.

Для решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

1. Если a 1, то неравенство равносильно системе неравенств

2. Если 0 a равносильно системе неравенств

3. Неравенство равносильно совокупности систем неравенств

4. Знак совпадает со знаком в ОДЗ.

5. Знак разности совпадает со знаком произведения в ОДЗ.

В работе использовала следующие источники:

1. И.В. Яковлев Логарифмические уравнения и неравенства. Материалы по математике. MathUs.ru
2. Башмаков М.И. Математика 2012 г.
3. В.Г. Рисберг, И.Ю.Чернилова Решение показательныч и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности. Учебное пособие. 2015 г.
4. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику.

5.Эфендиев Э.И.- Практикум по элементарной математике-2015 г.

6. Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)

В источниках [1], [3] очень хорошо раскрыт метод рационализации, суть которого высказана у нас в утверждениях 4 и 5.

В источниках [4], [5], [6] приведены задания, во всей полноте характеризующие тот или иной метод решения логарифмических уравнений и неравенств.

Из источника [3] взяты задания повышенного уровня.

Проанализировав материал школьных учебников по алгебре и началам математического анализа для 10 – 11 классов, могу сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в учебно-методической литературе. Это затрудняет работу учителя при изучении данной темы и подготовке к сдаче ЕГЭ.

В источниках [6], [2] при рассмотрении темы «Решение логарифмических уравнении и неравенств» приведены лишь методы решения уравнений с использованием определения логарифма, потенцирования и перехода к одному основанию. А ведь есть и другие методы. Знание различных методов облегчило бы учащимся выполнение заданий с логарифмическими уравнениями. Надо учитывать, что задания в материалах ЕГЭ сложнее заданий в школьных учебниках (задания С). Так же обстоит дело с решением логарифмических неравенств. Метод рационализации намного упростил бы их решение. Он позволяет в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Выводы: изучаемая нами тема в различных источниках преподносится в разной последовательности и форме.

Глава 2. Применение методов на практике.

2.1.Решение логарифмических уравнений.

Рассмотрим применение приведенных методов при решении логарифмических уравнений.