Логарифмические уравнения и неравенства с разными основаниями примеры

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Логарифмические неравенства и системы

п.1. Методы решения логарифмических неравенств

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Если \(a\gt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) сохраняется.

Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end \\ \begin 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

Система \( \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.
Система \( \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т.е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.

п.3. Решение неравенств вида \(\log_ f(x)\gt \log_ g(x)\)

Например:
Решим неравенство \(\log_<2x-3>x\gt 1\)
\(\log_<2x-3>x\gt\log_<2x-3>(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin \begin 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end \\ \begin 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end \end \right. \) $$ \left[ \begin \begin 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end \\ \begin 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end \\ \begin 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\)	\(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end	\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg\frac78><\lg 5>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>\lt 0,\ \ b=\frac<\lg\frac78><\lg 6>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 6>\lt 0\\ a-b=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>-\frac<\lg 7\lg 8><\lg 6>=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)\\ a-b=\frac<\overbrace<(\lg 7-\lg8)>^<\lt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\lt 0\\ a\lt b \end Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg 11><\lg 5>,\ \ b=\frac<\lg 11><\lg 6>\\ a-b=\lg 11\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)= \frac<\overbrace<\lg 11>^<\gt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\gt 0\\ a\gt b \end Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

д*) \( a=\log_2 3,\ b=\log_5 8 \)
Преобразуем и решим графически: $$ a=\log_2 3=\log_4 9\gt\log_4 8\gt\log_5 8=b $$ $$ a\gt b $$

Пример 2*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>(x^2-7x)\geq\log_<0,5>(3x+11) \) \begin \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt 0\\ 3x+11\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x^2-7x\leq 3x+11 \Rightarrow \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x^2-10x-11\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-11)\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \end
\(-1\leq x\leq 0\cup 7\lt x\leq 11\)
Ответ: \(x\in\left.\left[-1;0\right.\right)\cup\left.\left(7;11\right.\right]\)

б) \( \log_3x+\log_3(x-8)\geq 2 \) \begin \log_3\left(x(x-8)\right)\geq \log_39\\ \begin x(x-8)\geq 9\\ x\gt 0\\ x-8\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2-8x-9\geq 0\\ x\gt 0\\ x\gt 8 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-9)\geq 0\\ x\gt 8 \end \end
\(8\lt x\leq 9\)
Ответ: \(x\in\left.\left(8;9\right.\right]\)

в) \( \frac<2x+3><\log_7 x>\gt 0 \)
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют один знак.
Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin 2x+3\gt 0\\ \log_7 x\gt 0 \end \\ \begin 2x+3\lt 0\\ \log_7x\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt-1,5\\ x\gt 1\\ x\gt 0 \end \\ \begin x\lt -1,5\\ x\lt 1\\ x\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt 1\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow x\gt 1 \end Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

г) \( 4^<\log_4(4-9x)>\lt 16 \)
Преобразуем: \(4^<\log_4(4-9x)>=4-9x\)
Подставляем в исходное неравенство, дописываем ОДЗ: \begin \begin 4-9x\lt 16\\ 4-9x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -9x\lt 12\\ -9x\gt -4 \end \Rightarrow \begin x\gt -\frac43\\ x\lt\frac49 \end \Rightarrow -\frac43\lt x\lt \frac49 \end Ответ: \(x\in(-\frac43;\frac49)\)

д) \( \lg^2x+\lg x\gt 2 \)
ОДЗ: \(x\lt 0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\(t^2+t-2\gt 0\Rightarrow (t+2)(t-1)\gt 0\)

\(t\lt -2\cup t\gt 1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin \lg x\lt -2\cup\lg x\gt 1\Rightarrow \begin x\lt 10^<-2>\cup x\gt 10\\ x\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 0,01\cup x\gt 10 \end Ответ: \(x\in(0;0,01)\cup(10;+\infty)\)

e) \( 4-x\lt\log_2(6+2^x) \)
Перейдем к показательному неравенству: \(2^<4-x>\lt 2^<\log_2(6+2^x)>\)
Получаем:\( \begin 2^<4-x>\lt 6+2^x\\ 6+2^x\gt 0 \end \)
Требование ОДЗ \(6+2^x\gt 0\) выполняется при любом \(x\in\mathbb\)
Решаем основное неравенство: \(\frac<2^4><2^x>\lt 6+2^x\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\) \begin \begin \frac<16>-6-t\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<16-6t-t^2>\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin t^2+6t-16\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin (t+8)(t-2)\gt 0\\ t\gt 0 \end \end
\(t\gt 2\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x\gt 2\Rightarrow x\gt 1\)
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

ж) \( \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>(0,5x+0,5) \)
\begin \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>0,5(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\underbrace<\log_<0,5>0,5>_<=1>+\log_<0,5>(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)\lt\log_<0,5>(x+1)\\ \begin 3-x^2\gt x+1\\ 3-x^2\gt 0\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow 3-x^2\gt x+1\gt 0\Rightarrow \begin 3-x^2\gt x+1\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end \end
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_<\frac1x>7\gt\log_<\frac<1><2x-1>>7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin \frac<1><2x-1>\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end Если логарифмы разных знаков, то: \begin \begin \log_<\frac17>\gt 0\\ \log_<\frac<1><2x-1>>7\lt 0 \end \Rightarrow \begin \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac<1><2x-1>\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac<1><2x-1>\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow \varnothing \end Существует только решение для одинаковых знаков.
Ответ: \(x\in\left(\frac12; 1\right)\)

б) \( \frac<1><\log_2x>\leq\frac<1><\log_2\sqrt> \)
Если оба логарифма одного знака и 2>1, основание слева должно быть больше: \begin \begin x\leq\sqrt\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ \sqrt\gt 0,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2\geq x+2\\ x\ne 1\\ x\gt-2,\ x\ne -1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end \Rightarrow x\geq 2 \end Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin \begin \log_x2\leq 0\\ \log_\geq 0 \end \Rightarrow \begin \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt\geq 1,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_<2x+1>0,8\lt\log_<4x-1>0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end \Rightarrow \begin 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end Если логарифмы разных знаков: \begin \begin \log_<2x+1>0,8\lt 0\\ \log_<4x_1>0,8\gt 0 \end \Rightarrow \begin \log_<0,8>(2x+1)\lt 0\\ \log_<0,8>(4x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt 1 \) \begin \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt \log_<0,5>0,5\\ \begin \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5\\ \log_4\frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5 \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt\log_4 2 \Rightarrow \begin \frac<2x-1>\gt 2\\ \frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \frac<2x-1>\gt 2 \Rightarrow \frac<2x-1>-2\gt 0 \Rightarrow \frac<2x-1-2x-2>\gt 0\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac<3>\gt 0\Rightarrow x+1\lt 0\Rightarrow x\lt -1 \end Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\)

б) \( \log_(3x+4)\gt 1 \)
\(\log_(3x+4)\gt \log_x^2\) \begin \left[ \begin \begin x^2\gt 1\\ 3x+4\gt x^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x^2\lt 1\\ 0\lt 3x+4\lt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin (x-1)(x+1)\gt 0\\ x^2-3x-4\lt 0\\ x^2\gt 0 \end \\ \begin x^2\gt 0\\ (x-1)(x+1)\lt 0\\ 3x+4\gt 0\\ x^2-3x-4\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>= \frac<1+\frac<\log_2(x-3)><\log_2(x+1)>><\frac<1><\log_2(x+1)>>= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. Решаем основное неравенство:
\((x+1)(x-3)\geq 2x-3\)
\(x^2-2x-3\geq 2x-3\)
\(x^2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac<\lg x><\lg 3>\cdot\frac<\lg 3x><\lg 2>=\frac<\lg x><\lg 2>\cdot \frac<\lg 3x><\lg 3>=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end \\ \begin \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end \\ \begin \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 2x\geq \frac<1> <3x>\end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 2x\leq \frac<1> <3x>\end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 6x^2-1\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 6x^2-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ x\leq-\frac<1><\sqrt<6>>\cup x\geq \frac<1><\sqrt<6>> \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ -\frac<1><\sqrt<6>>\leq x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\geq 1\\ 0\lt x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \right. \end Ответ: \(x\in\left.\left(0;\frac<1><\sqrt<6>>\right.\right]\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right)\)

Пример 5. Решите систему:
a) \( \begin \log_3(x+21)-\log_3(x-4)\geq 1\\ 9^\lt 3^ <4x+2>\end \) \begin \begin \log_3\frac\geq\log_3 3\\ x+21\gt 0\\ x-4\gt 0\\ 9^\lt 3^ <2(2x+1)>\end \Rightarrow \begin \frac\geq 3\\ x\gt -21\\ x\gt 4\\ 9^\lt 9^ <2x+1>\end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ x\gt 4\\ x+1\lt 2x+1 \end \Rightarrow \begin \frac<-2x+33>\geq 0\\ x\gt 4\\ x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2x+33\geq 0\\ x\gt 4 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x\leq 16,5\\ x\gt 4 \end \Rightarrow 4\lt x\leq 16,5 \end Ответ: \(x\in\left.\left(4;16,5\right.\right]\)

б) \( \begin \log_<\frac13>(12+x)+\log_3(3-x)\lt\log_9\frac14\\ 0,7^<-x>\leq 0,7^<\sqrt> \end \)
\( \log_<\frac13>(12+x)=\log_<3^<-1>>(12+x)=-\log_3(12+x),\ \ \log_9\frac14=\log_3\frac12 \) $$ \begin -\log_3(12+x)+\log_3(3-x)\lt \log_3\frac12\\ -x\geq\sqrt \end $$ Решаем логарифмическое неравенство c ОДЗ условия: \begin \begin \log_3\frac<3-x><12+x>\lt\log_3\frac12\\ 12+x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<3-x><12+x>\lt\frac12\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin \frac<2(3-x)-(12+x)><12+x>\lt 0\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac<-3x-6>\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin -3x-6\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\gt -2\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow -2\lt x\lt 3 \end Решаем иррациональное неравенство: \begin \sqrt\leq -x\Rightarrow \begin -x\geq 0\\ x+2\geq 0\\ x+2\leq(-x)^2 \end \Rightarrow \begin x\leq 0\\ x\geq -2\\ x^2-x-2\geq 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Получаем систему решений: \begin \begin -2\lt x\lt 3\\ -2\leq x\leq -1 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Ответ: \(x\in\left.\left(-2;-1\right.\right]\)

в) \( \begin \log_<\sqrt<5>>\sqrt\leq 0\\ \left(\frac12\right)^<1-4x>\gt 32 \end \)
Здесь важно не потерять модуль: \(\sqrt=\sqrt<(x-3)^2>=|x-3|\)
ОДЗ: \(|x-3|\gt 0\Rightarrow x\ne 3\) \begin \begin \log_<\sqrt<5>>|x-3|\leq 0\\ 2^<-1(1-4x)>\gt 2^5 \end \Rightarrow \begin |x-3|\leq 1\\ 4x\gt 6\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin -1\leq x-3\leq 1\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin 2\leq x\leq 4\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow 2\leq x\lt 3\cup 3\lt x\leq 4 \endОтвет: \(x\in\left.\left[2;3\right.\right)\cup \left.\left(3;4\right.\right]\)

г*) \( \begin 11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt \sqrt<11>^<2x>\\ \log_<3x-1>27 \lt 2 \end \)
Решаем показательное неравенство:
\( \sqrt<11>^<2x>=11^x \)
\(11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt 11^x\) \begin \sqrt<2x^2+x-6>\gt x\Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ 2x^2+x-6\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ 2x^2+x-6\gt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ (2x-3)(x+2)\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ x^2+x-6\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ x\leq -2\cup x\geq 1,5 \end \\ \begin x\geq 0\\ (x+3)(x-2)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\leq -2 \\ \begin x\geq 0\\ x\lt -3\cup x\gt 2 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -2\cup x\gt 2 \end Решаем логарифмическое неравенство: \begin \log_<3x-1>27\lt 2\Rightarrow \log_<3x-1>27\lt\log_<3x-1>(3x-1)^2\\ \left[ \begin \begin 3x-1\gt 1\\ 27\lt(3x-1)^2 \end \\ \begin 0\lt 3x-1\lt 1\\ 27\gt(3x-1)^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin 3x\gt 2\\ 27\lt 9x^2-6x+1 \end \\ \begin 1\lt 3x\lt 2\\ 27\gt 9x^2-6x+1 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt\frac23\\ 9x^2-6x-26\gt 0 \end \\ \begin \frac13\lt x\lt \frac23\\ 9x^2-6x-26\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=9x^2-6x-26\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt=6\cdot 3\sqrt<3>=18\sqrt<3>\)
\(x_<1,2>=\frac<6\pm 18\sqrt<3>><18>=\frac13\pm\sqrt<3>\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt<3>\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \\ \begin \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt<3>\lt x\lt\frac13+\sqrt <3>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt\frac13+\sqrt<3>\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end Получаем систему решений: \begin \begin x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \end Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt<3>\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac<25><9>\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt<3>\)
Значит, из \( \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt <3>\)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt<3>;+\infty\right)\)

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

0,\, a\ne 1 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

a > 1

0 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел: 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство: 0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> • Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма): 0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Решение логарифмических уравнений и неравенств Пример 1. Решите уравнение: Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств: 0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> С учетом того, что -\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения: На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению: В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7. Пример 2. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств: 0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1 Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет. Ответ: корней нет. Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований). Примет 3. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0. Уравнение принимает вид: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами. Пример 4. Решите уравнение: Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств: 0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению: Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению: Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит. Ответ: x = -1. Пример 5. Решите уравнение: Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения. Пример 6. Решите уравнение: Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид: 0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению: Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем: В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4. Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема: Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то: при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x); при 0 log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств: 0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству: Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений: 0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования: После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем: С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ: Пример 9. Решите логарифмическое неравенство: Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой: 0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству: С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение. Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств: 0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/> I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству: Неравенство будет равносильно двум системам. Первой: Итак, окончательный ответ: II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду: Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход: Множество решений данного неравенства Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства? Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений. Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений. В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла. Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике. источники: http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/logarifmicheskie-neravenstva-i-sistemy/ http://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BB%D0%BE%D0%B3 Вам также может понравиться Нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка Описание: Дифференциальное уравнение уравнение Уравнения поверхности в трехмерном пространстве Уравнения поверхности и линии в пространстве с примерами решения Содержание: Уравнения поверхности и Основные уравнения магнитостатики в веществе Основы и формулы магнитостатики Раздел физики, изучающий взаимосвязь электротоков, магнитов, магнитов Сходимость решения уравнений установившегося режима Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима Общая характеристика методов Методы