Логарифмические уравнения и неравенства учебники

логарифм

Логарифмы, Шахмейстер А.Х., 2016

Логарифмы, Шахмейстер А.Х., 2016.

Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для проведения элективных курсов в профильных и предпрофильных классах. Пособие адресовано широкому кругу учащихся, абитуриентов, студентов педагогических вузов, учителей.

Логарифм и его свойства. Логарифмические уравнения и неравенства, Методическое пособие, Захаров А.М., Крылова М.В., 2017

Логарифм и его свойства. Логарифмические уравнения и неравенства, Методическое пособие, Захаров А.М., Крылова М.В., 2017.

Работа представляет собой материалы для электронного образовательного курса «Логарифм и его свойства. Логарифмические уравнения и неравенства». Практическое значение данного пособия заключается в том, что этот электронный образовательный курс могут использовать учащиеся средних общеобразовательных школ, студенты средних специальных учебных заведений, студенты педагогических вузов и преподаватели. Курс содержит полный комплекс учебно-методических материалов, необходимых для освоения данной темы согласно учебному плану в рамках образовательной программы, и обеспечивает все виды работы в соответствии с программой дисциплины, включая практикум, средства д.ля контроля качества усвоения материала, методические рекомендации для обучающегося по изучению данной темы.

Задачи с параметрами и методы их решения, Крамор В.С., 2007

Задачи с параметрами и методы их решения, Крамор В.С., 2007.

Цель книги – научить школьников и абитуриентов ВУЗов самостоятельно решать задачи с параметрами и помочь прочно усвоить различные методы их решения.
Пособие содержит около 350 типовых задач с методическими указаниями и 300 задач для самостоятельного решения и ответы к ним.
Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗ.

Математика, Задачи с ответами и решениями, Пособие для поступающих в ВУЗы, Сергеев И.Н., 2004

Математика, Задачи с ответами и решениями, Пособие для поступающих в ВУЗы, Сергеев И.Н., 2004.

Пособие представляет собой сборник задач по школьному курсу математики (включая алгебру, геометрию и начала анализа) и предназначено для подготовки к вступительному экзамену по математике в любой ВУЗ. Специальный порядок задач, разработанный опытным преподавателем, обеспечивает максимальный обучающий эффект. При последовательном изучении материала знания абитуриента развиваются по спирали: пройдя очередной ее виток, он оказывается подготовленным по всем разделам математики на существенно более высоком уровне, чем раньше.
Содержатся варианты письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова, проводившихся в 2002-2003 гг., а также программа по математике для поступающих в МГУ.
Для старшеклассников и учителей, абитуриентов и репетиторов.

Элементарные функции, Формулы, Таблицы, Графики, Рыбасенко В.Д., Рыбасенко И.Д., 1987

Элементарные функции, Формулы, Таблицы, Графики, Рыбасенко В.Д., Рыбасенко И.Д., 1987.

В справочнике приведены формулы, таблицы и графики элементарных функций, встречающихся в различных задачах физики и техники, в инженерно-технических вычислениях, статистике, экономике.
Справочник предназначен для широкого круга инженерно-технических работников, специалистов по техническим расчетам, преподавателей, студентов ВУЗов, втузов и учащихся техникумов.
Может использоваться как справочное пособие учащимися школ и ПТУ.

ЕГЭ 2009 — Математика — Справочник — Титаренко А.М., Третьяк Т.М, Виноградова Т.М.

Название: ЕГЭ 2009 — Математика — Справочник.

Автор: Титаренко А.М., Третьяк Т.М, Виноградова Т.М.

Справочник адресован выпускникам и абитуриентам для подготовки к единому государственному экзамену по математике. Весь теоретический материал школьного курса сгруппирован в соответствии с кодификатором элементов содержания по математике, на основе которого будут составлены контрольные измерительные материалы ЕГЭ 2009.
Издание будет полезно учителям математики, репетиторам и родителям, поможет эффективно организовать подготовку учащихся к единому государственному экзамену.

Задачи по элементарной математике — Ваховский Е.Б, Рывкин А.А — пособие подготовки в ВУЗы — 1969

Задачи по элементарной математике — Ваховский Е.Б, Рывкин А.А — пособие подготовки в ВУЗы — 1969

Книга предназначена для углубленного изучения программы средней школы. В ней содержится около 500 задач ( с указаниями и решениями), среди которых нет однотипных. В задачнике помимо традиционных представлены такие разделы как стереометрические задачи, решаемые на проекционном чертеже, иррациональный, логарифмические и трансцендентные неравенства, отыскание периодов тригонометрических функций и др. Некоторые главы снабжены небольшими теоретическими введениями, дополняющими школьные учебники.

Математика — Сборник тестов ЕГЭ 2009 — Клово А.Г., Мальцев Д.А.

Математика — Сборник тестов ЕГЭ 2009 — Клово А.Г., Мальцев Д.А.

Данный сборник содержит 18 тестов, составленных на основе демонстрационного варианта и плана работы ЕГЭ 2009. В предлагаемых тестах авторы отразили все вопросы и темы, которые войдут в ЕГЭ 2009. Тесты данного сборника попарно подобны, т. е. второй тест подобен первому, четвёртый — третьему и т. д. К каждому второму тесту приведены подробные решения заданий СЗ-С5, а также некоторых других. Для первого теста приведены подробные решения с комментариями ко всем заданиям, начиная с задания А1. Для автономной работы со сборником в него включён теоретический справочник, содержащий все те формулы и факты, знание которых действительно необходимо для успешной сдачи ЕГЭ 2009. Этот сборник будет очень полезен как тому, кто готовится к ЕГЭ 2009 самостоятельно, так и тому, кто готовится под руководством учителя.

Математика, логарифмические уравнения и неравенства, Далингер В.А., 2019

Математика, логарифмические уравнения и неравенства, Далингер В.А., 2019.

В учебном пособии рассмотрены основные типы логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Приведены теоретические положения, лежащие в основе решения указанных типов уравнений, неравенств и их систем, и на большом числе разнообразных примеров иллюстрируются методы их решения. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования. Для учащихся средних общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, средних специальных учебных заведений, абитуриентов, поступающих в техникумы и вузы, учителей математики, студентов и преподавателей физико-математических специальностей педагогических институтов и университетов. Книга будет полезна всем, кто интересуется математикой.

Предисловие.

Целью этого учебного пособия является оказание помощи учащимся и абитуриентам в подготовке к выпускным и вступительным экзаменам по математике, к ЕГЭ по математике. Почти во всех высших и средних специальных учебных заведениях на вступительных экзаменах предлагаются для решения трансцендентные уравнения и неравенства — это те, в которых неизвестное входит либо в показатель степени, либо под знак логарифма, либо под знак тригонометрических функций. Этот же класс уравнений и неравенств широко представлен и в билетах выпускных экзаменов за курс средней общеобразовательной школы. В данном учебном пособии подробно рассматриваются различные методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем; приведен анализ типичных ошибок, которые допускаются учащимися и абитуриентами при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Оглавление.

Предисловие.
Глава 1. Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Преобразования логарифмических выражений.
Глава 2. Логарифмические уравнения и уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифмической функции.
Глава 3. Логарифмические неравенства и неравенства, содержащие неизвестное под знаком логарифмической функции.
Глава 4. Системы уравнений и неравенств, содержащих неизвестное под знаком логарифмической функции.
Глава 5. Типичные ошибки и недочеты, допускаемые при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
Литература.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, логарифмические уравнения и неравенства, Далингер В.А., 2019 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Курсовая работа на тему «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Министерство просвещения Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Чеченский государственный

Геометрии и методики преподавания математики

по дисциплине: «Методика обучения математики» .

на тему: «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств»

Выполнена студенткой 4 курса МИ1 группы

очной формы обучения

Профиль «Математика» и «Информатика»

__________ Тепсуркаева Хава Адаовна

Подпись ФИО студента

(Ученая степень и звание)

___________ Багашева Аймани Бураевна

подпись ФИО руководителя

Работа защищена «___» _________2021г. протокол №______

ГЛАВА 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ……………………………………. 5

1.1. Методические особенности изучения логарифмических уравнений и неравенств…..………………………………………………………….………….5

1.2. Анализ заданий на решение логарифмических уравнений в составе ЕГЭ……………………………………………………………………………..…..8

ГЛАВА 2. ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ……………………………….11

2.1. Метод решения по определению логарифма………………..…………..11

2.3. Метод замены переменной………………………………………..……. 13

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения……………..……. 16

2.6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию……….17

Актуальность работы. В школьном курсе математики важное место занимает решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. В зависимости от авторов учебника эта тема изучается в 10 или 11 классе. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому, изучению методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств должно быть уделено особое внимание. Из вышеуказанного следует актуальность выбранной темы, необходимость рассмотрения этой темы для будущего учителя математики.

При решении логарифмических уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— незнание четкого алгоритма решения логарифмических уравнений;

— при решении логарифмических уравнений, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям;

— при решении логарифмического уравнения введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Цель данной работы: изучить теоретический материал по теме «Логарифмические уравнения в школьном курсе», провести анализ этой темы в учебниках алгебра и начала анализа, рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений, систематизировать и обобщить основные особенности этой темы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Логарифмические уравнения»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начала анализа;

— систематизировать методы решения логарифмических уравнений;

— систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы.

Объектом исследования является процесс обучения математики в старших классах.

Предметом исследования являются методические особенности изучения показательных и логарифмических уравнений, неравенств.

− анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования;

− методы статистической обработки полученной информации.

Структура работы : введение, две главы, заключение, список литературы. Объем работы: 27 стр.

ГЛАВА 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

1.1 Методические особенности изучения логарифмических уравнений и неравенств.

Первоначально в курсе алгебры изучались такие функции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т.е. выполнять новое для учащихся действие – логарифмирование. До появления компьютеров логарифмы широко использовались для выполнения вычислений и детально изучались в школе. Теперь же их роль стала вспомогательной, а изучение в школе не стало столь подробным.

Знакомство с логарифмами чисел и их свойствами для многих учащихся достаточно сложно. Поэтому полезны подробные и наглядные объяснения. Обычно логарифм определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число: , т.к. . Следует обратить внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому . Таким образом, получается основное логарифмическое тождество , где Это равенство является краткой символической записью определения логарифма.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. Т.к., например, по определению логарифма , , то, перемножая эти равенства и используя свойство умножения степеней, получаем , . Последнее равенство показывает, что отсюда и следует свойство логарифма произведения

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 ( десятичный логарифм) и по основанию ( — натуральный логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию: , где

Т.к. на микрокалькуляторе есть клавиши и , то для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и , нужно использовать формулу перехода.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

(1)

Утверждение 1. Если , уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение

Пример 1 . Решить уравнения:

Решение. Используя утверждение 1, получим

Приведем основные свойства логарифма.

. Основное логарифмическое тождество:

где

Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если тогда свойство примет вид

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

Замечание. Если , тогда свойство примет вид

,

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

. Формула перехода к другому основанию:

, в частности, если , получим ,

Используя свойства , легко получить следующие свойства

и, если в (5) c — четное число ), имеет место

[1 c .214]

Перечислим и основные свойства логарифмической функции :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При логарифмическая функция строго возрастает а при , — строго убывает

4.

5. Если , то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при а если , то логарифмическая функция положительна при и отрицательна при .

6. Если то логарифмическая функция выпукла вверх, а если — выпукла вниз [1 c .217].

Важнейшей частью школьного курса математики является обучение методам решения уравнений. Для успешного решения уравнений необходимо знать и использовать свойства показательной и логарифмической функций, свойства действий со степенями, определение логарифма, основные логарифмические тождества.

Цель темы – обучение учащихся методам решения логарифмических уравнений.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна исследовательская работа учеников, которая сопровождается беседами учителя с учащимися. Для закрепления материала используются задания из учебника, дополнительной литературы.

Особое место отводится самостоятельной работе – решению уравнений, подготовка сообщений, проработке теоретического материала. При изучении темы «логарифмические уравнения» учащиеся должны уметь:

1. Определять методы решения логарифмических уравнений.

2. Решать логарифмические уравнения.

1.2 Анализ заданий на решение логарифмических уравнений в составе ЕГЭ.

Рассмотрим задания из состава ЕГЭ, содержащие примеры на решение логарифмических выражений уравнений:

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения

Ответ : 21.[2 c .40]

3. Решите уравнение

Если, уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

4. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) Поскольку отрезку принадлежит единственный корень −2.

Ответ : а) −2; 1, б) −2.

5. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Из уравнения получаем:

б) Заметим, что .

Значит, указанному отрезку принадлежит только корень −2.

Ответ: а) −2 и 16; б) −2. [2 c.30]

Анализируя задания ЕГЭ, можно сделать вывод о том, что задачи на решение логарифмических уравнений могут встречаться в любой части заданий ЕГЭ. В первойчасти обычно предлагают решить простейшие логарифмические уравнения. Во второй части можно встретить более сложные логарифмические уравнения, решение которых обычно является одним из этапов выполнения задания. Уравнения в части «С» могут быть и комбинированные, т.е. быть логарифмическими, иррациональными, тригонометрическими и показательными и т.д.

В части «С» предложены не только логарифмические уравнения, но и системы уравнений. Задание «С-1» заключается в том, чтобы решить уравнение и выбрать подходящий корень из определенного промежутка [10 c .162].

ГЛАВА 2. ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

2.1. Метод решения по определению логарифма

Решение уравнений, основанных на определении логарифма.

Пример 1

Решение: По определению логарифма

корень уравнения.

Ответ:

ОДЗ

Используем определение логарифма:

Ответ:

2.2. Метод потенцирования

Решение логарифмических уравнений типа сводится к решению уравнения

Это следует из монотонности логарифмической функции.

Потенцирование — это переход от уравнения вида к уравнению , где — отличное от единицы положительное число, — элементарные алгебраические функции,

Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения .Среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения

В случае, если уравнение решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.[3 c .168]

принадлежит интервалу значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Ответ:

значит, −5,5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: [4 c .87].

2.3. Метод замены переменной

Уравнения вида решаются с помощью подстановки , которая приводит уравнение к виду

Если t — корень уравнения , то после возвращения к подстановке можно найти корень исходного логарифмического уравнения, т. е. (аналогично находятся и другие корни, если они есть) [1 c .219].

оба принадлежат ОДЗ.

Пример:

Обозначив получим уравнение

Корни этого уравнения

Из уравнения находим, что а из уравнения =2 следует, что

Оба корня принадлежат ОДЗ:

Пример:

Введём новую переменную:

Вернёмся к обозначенному:

Первый корень не принадлежит ОДЗ, а значит, решением является

Ответ: [4 c .89].

2.4. Графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения [3c. 118]

Пример . (обратить внимание на несовершенность этого способа)

Р

ис.1

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

Уравнения вида решаются логарифмированием обеих частей уравнения.

Логарифмирование — это переход от уравнения к уравнению

Рассмотрим на примерах.

Пример:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

Ответ:

Пример:

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

Пусть

По теореме Виета

Вернёмся к обозначенному

значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

2.6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Решение: Приведем все логарифмы к основанию 2, по формуле перехода находим: , аналогично .

Ответ:

ОДЗ

Пусть

Тогда

Отвеет: .

2.7. Методическая разработка урока по теме «Решение логарифмических уравнений»

План — конспект урока по теме:

«Решение логарифмических уравнений»

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: развить память, внимание, умение работать самостоятельно;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Педагогические технологии: информационно-коммуникационные, коллективная система обучения – вариационная пара.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

I. Организационный момент.

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории :

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

2. Работа по карточкам :

Вычислить:

Вычислить:

3. Фронтальный опрос класса (сопровождается слайдами презентации)

ЕГЭ 2009. Математика. Справочник / А. М. Титаренко, И.

В. Третьяк, Т. М. Виноградова. – М: Эксмо, 2018. – 448 с.

3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2014.

4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2013. – 143 с.

5. Система тренировочных задач и упражнений по математике./ Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. – М.:Просвещение, 2015. – 208 с.

6. Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: задачник /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.-М.: Мнемозина, 2017. – 315 с.

7. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др., 2012. – 464 с.

8. ЕГЭ – 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2015. – 192 с.

9. Алгебраический тренажер: пособие для школьников и абитуриентов/ под редакцией Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

– М.: Илекса, 2017. – 320 с.

10. Математика. Репетитор. ЕГЭ-2009. Авторы: В.В.Кочагин; М.Н.Кочагина. — М.: Эксмо, 2019. – 272 с.

11. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие/ Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2018. – 352 с.

12. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие/ И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2016. – 479 с.

13. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 2017. – 416 с.