Логарифмические уравнения неравенства и системы неравенств

Логарифмические уравнения, неравенства и их системы

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УЛЬЯНОВСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ ПРИ

УЛЬЯНОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИМЕНИ И.Н.УЛЬЯНОВА

КАФЕДРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Методы решения логарифмических

уравнений, неравенств и их систем.

УЛЬЯНОВСК 2016 г.

Цели и задачи обучения математике в школе. 3

Цели изучения алгебры и начал анализа

1. Пояснительная записка. 6

2. Программа курса. 8

3. Учебно-тематический план. 9

4. Литература. 10

5. Приложение. 12

5.1. Уравнения и неравенства. Равносильность

уравнений и неравенств. 12

5.2. Логарифмические уравнения и неравенства,

их равносильность. 13

Методы решения логарифмических

Решение систем логарифмических

Решение логарифмических неравенств. 21

Системы логарифмических неравенств. 24

Логарифмические уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. 25

5.8. Логарифмические уравнения и неравенства

5.9. Тексты контрольных работ. 28

Цели и задачи обучения математике в школе.

В основе характерного для нашего времени нового мировоззрения лежит представление о том, что природу нельзя «покорять», не думая о последствиях своей деятельности, что человеком нельзя управлять как машиной, и силой принуждать его к чему-либо для его же блага. Мир, в котором мы живем , является сложной саморазвивающейся динамической системой, включаю-щей в себя природу и человека. В соответствии с этим в основу школьного преподавания должны быть положены новые ценност-ные ориентиры.

Нельзя думать, что основная цель преподавания состоит только в том, чтобы сообщить ученику как можно больше конкрет-ных знаний, новых понятий, теорем, теорий. На этом пути мы приходим к разбуханию учебных программ и к тому, что значительная часть учащихся, по существу , плохо овладевает школьным материалом. Одна из важнейших целей преподавания состоит в том, чтобы воспитать молодого человека, сформировать его мировоззрение, научить его рациональному мышлению.

На уроках необходимо формировать систему ценностей, с которой молодой человек вступает в мир. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные – знания, умение последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Всему этому школьник учится на уроках математики. Решая задачи, он тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности. Но чтобы добиться таких результатов, нужно разъяснить ученику цели и задачи изучаемого предмета.

Математика играет важную роль в общей системе образо-вания. Важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подго-товки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоя-щее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамот-ности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определен-ный стиль мышления. Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

— овладение конкретными математическими знаниями, необхо-димыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

— интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

— формирование представлений об идеях и методах матема-тики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

— формирование представлений о математике, как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X — XI классах — систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значений общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики. Характерной особенностью курса является системати-зация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры основной школы, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.

Так, в курсе алгебры и начал анализа в XI классе приводятся в систему и обобщаются имеющиеся у школьников сведения о степенях, дается понятие степени с иррациональным показателем, изучаются степенная, показательная и логарифмическая функции и их свойства, кроме этого, изучаются методы решений неслож-ных иррациональных, показательных и логарифмических уравне-ний, неравенств и их систем.

В своей педагогической практике я столкнулась с тем, что при изучении логарифмов у учащихся сразу появляются затруд-нения не только в решении уравнений и неравенств, но даже само определение логарифма вызывает некоторые трудности у старшеклассников. Не сразу приходит понимание темы «Преобразования логарифмических выражений», особенно много сложностей возникает при решении логарифмических уравнений, неравенств, а тем более их систем. Большинство недочетов и ошибок встречается при проверке корней уравнения или при нахождении ОДЗ (область допустимых значений) уравнений и неравенств, ученики зачастую забывают, что проверка решения или нахождение ОДЗ является неотъемлемой частью решения уравнения или неравенства . Поэтому становится ясным, что заострять внимание школьников на этом аспекте нужно раньше, хотя бы в 8-м классе при изучении дробно-рациональных уравнений, чтобы в старших классах у учеников уже был отработан навык нахождения ОДЗ и проверки корней уравнения.

Конечно же, не все методы решения уравнений вызывают затруднения у учащихся, такие методы, как разложение на множители, введение новой переменной и сведение уравнения к квадратному, практически , несложны для старшеклассников, но метод приведения логарифмов к одному основанию вызывает сложности в восприятии и дальнейшем умении их решать.

Метод, основанный на свойстве монотонности функций, также вызывает затруднения, но это связано еще и с тем, что подобных задач очень мало в учебнике Колмогорова.

Поэтому в своей работе я сделала попытку описать наиболее часто встречающиеся методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем, показала применение этих методов на примерах, которые наиболее ярко поясняют каждый выбранный метод решения. Мне кажется целесообразным разработка спецкурса по данной теме, который поможет более подробно и основательно изучить одну из самых сложных тем учебной программы по алгебре и началам анализа.

1. Пояснительная записка.

Основная цель данного спецкурса — углубление и расширение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня их математической культуры, подготовка к выбору учащимися путей дальнейшего образования. Преподавание строится как углубленное изучение вопросов темы, предусмотренных программой базового уровня, так и вопросов, расширяющих кругозор, формирующих мировоззрение, раскрывающих прикладной аспект математики. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Уровень предлагаемых и решаемых задач повышенный, существенно превышающий обязательный минимум. Особое место в спецкурсе занимают задачи, требующие применения знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.

Особая установка спецкурса – целенаправленная подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в ВУЗы соответствующего профиля. Поэтому преподавание спецкурса направлено на систематизацию знаний и углубление умений учащихся на повышенном уровне и на уровне, предусмотренном программой вступительных экзаменов в ВУЗы .

Основная методическая установка спецкурса – организация самостоятельной деятельности учащихся при ведущей и направляющей роли учителя. Каждый из приведенных вопросов спецкурса предусматривает возможное распределение часов. В случае необходимости, возможно изменение количества часов на изучение некоторых вопросов. Порядок изучения спецкурса определяется в соответствии с тематическим планированием базового курса, целесообразно прохождение данного спецкурса сразу после прохождения соответствующей темы базового курса алгебры и начал анализа 11 класса. Вполне допустимо, чтобы какой-то вопрос темы изучался не подряд, а перемежаясь с другими темами. При необходимости, возможно изменение содержания спецкурса, перераспределение учебного времени, придерживаясь при этом основного принципа: содержание спецкурса в первую очередь должно углублять и дополнять основной базовый курс .

Программа спецкурса состоит из следующих разделов:

— Уравнения и неравенства. Равносильность уравнений

— Логарифмические уравнения и неравенства,

— Методы решения логарифмических уравнений.

— Решение систем логарифмических уравнений.

— Решение логарифмических неравенств.

— Системы логарифмических неравенств.

— Логарифмические уравнения и неравенства, содержа-

щие переменную под знаком модуля.

— Уравнения и неравенства с параметром.

По сравнению с государственной базовой программой в спецкурс включены такие вопросы, как равносильность логарифмических уравнений и неравенств, подробно рассматривается вопрос потери корня уравнения и приобретения постороннего корня. Также включены вопросы решения уравнений с модулем и с параметром, которые в школьном учебнике « Алгебра и начала анализа» под редакцией Колмогорова А.Н. просто отсутствуют.

Данные вопросы включены в спецкурс по той причине, что уравнения и неравенства с модулем и с параметром часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы , и абитуриенты должны уметь их решать, чтобы составить достойную конкурен-цию на вступительных испытаниях.

2. Программа курса.

1. Логарифмические уравнения и неравенства, их равносильность.

Определение уравнения, неравенства, корня уравнения. Равносильность уравнений и неравенств. Определения логарифмического уравнения и неравенства. Равносильность логарифмических уравнений и неравенств. Посторонний корень, потеря корня. Формулы логарифмирования, потенцирования.

Методы решения логарифмических уравнений и их систем.

Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования. Функционально-графический метод. Метод введения вспомогательной переменной. Метод алгебраи-ческого сложения.

Методы решения логарифмических неравенств и их систем.

Основные теоремы. Переход от неравенства к равносильной системе неравенств. Метод введения вспомогательной переменной. Переход от старого основания логарифма к новому основанию. Метод интервалов.

Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.

Основные приемы решения уравнений и неравенств с модулем.

Уравнения и неравенства с параметром.

Основные приемы решения уравнений и неравенств с параметром.

Обобщение и систематизация знаний по теме «Логарифмические уравнения, неравенства и их системы».

Логарифмические неравенства и системы

п.1. Методы решения логарифмических неравенств

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Если \(a\gt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) сохраняется.

Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end \\ \begin 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

Система \( \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.
Система \( \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т.е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.

п.3. Решение неравенств вида \(\log_ f(x)\gt \log_ g(x)\)

Например:
Решим неравенство \(\log_<2x-3>x\gt 1\)
\(\log_<2x-3>x\gt\log_<2x-3>(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin \begin 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end \\ \begin 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end \end \right. \) $$ \left[ \begin \begin 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end \\ \begin 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end \\ \begin 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\)	\(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end	\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg\frac78><\lg 5>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>\lt 0,\ \ b=\frac<\lg\frac78><\lg 6>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 6>\lt 0\\ a-b=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>-\frac<\lg 7\lg 8><\lg 6>=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)\\ a-b=\frac<\overbrace<(\lg 7-\lg8)>^<\lt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\lt 0\\ a\lt b \end Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg 11><\lg 5>,\ \ b=\frac<\lg 11><\lg 6>\\ a-b=\lg 11\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)= \frac<\overbrace<\lg 11>^<\gt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\gt 0\\ a\gt b \end Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

д*) \( a=\log_2 3,\ b=\log_5 8 \)
Преобразуем и решим графически: $$ a=\log_2 3=\log_4 9\gt\log_4 8\gt\log_5 8=b $$ $$ a\gt b $$

Пример 2*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>(x^2-7x)\geq\log_<0,5>(3x+11) \) \begin \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt 0\\ 3x+11\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x^2-7x\leq 3x+11 \Rightarrow \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x^2-10x-11\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-11)\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \end
\(-1\leq x\leq 0\cup 7\lt x\leq 11\)
Ответ: \(x\in\left.\left[-1;0\right.\right)\cup\left.\left(7;11\right.\right]\)

б) \( \log_3x+\log_3(x-8)\geq 2 \) \begin \log_3\left(x(x-8)\right)\geq \log_39\\ \begin x(x-8)\geq 9\\ x\gt 0\\ x-8\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2-8x-9\geq 0\\ x\gt 0\\ x\gt 8 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-9)\geq 0\\ x\gt 8 \end \end
\(8\lt x\leq 9\)
Ответ: \(x\in\left.\left(8;9\right.\right]\)

в) \( \frac<2x+3><\log_7 x>\gt 0 \)
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют один знак.
Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin 2x+3\gt 0\\ \log_7 x\gt 0 \end \\ \begin 2x+3\lt 0\\ \log_7x\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt-1,5\\ x\gt 1\\ x\gt 0 \end \\ \begin x\lt -1,5\\ x\lt 1\\ x\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt 1\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow x\gt 1 \end Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

г) \( 4^<\log_4(4-9x)>\lt 16 \)
Преобразуем: \(4^<\log_4(4-9x)>=4-9x\)
Подставляем в исходное неравенство, дописываем ОДЗ: \begin \begin 4-9x\lt 16\\ 4-9x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -9x\lt 12\\ -9x\gt -4 \end \Rightarrow \begin x\gt -\frac43\\ x\lt\frac49 \end \Rightarrow -\frac43\lt x\lt \frac49 \end Ответ: \(x\in(-\frac43;\frac49)\)

д) \( \lg^2x+\lg x\gt 2 \)
ОДЗ: \(x\lt 0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\(t^2+t-2\gt 0\Rightarrow (t+2)(t-1)\gt 0\)

\(t\lt -2\cup t\gt 1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin \lg x\lt -2\cup\lg x\gt 1\Rightarrow \begin x\lt 10^<-2>\cup x\gt 10\\ x\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 0,01\cup x\gt 10 \end Ответ: \(x\in(0;0,01)\cup(10;+\infty)\)

e) \( 4-x\lt\log_2(6+2^x) \)
Перейдем к показательному неравенству: \(2^<4-x>\lt 2^<\log_2(6+2^x)>\)
Получаем:\( \begin 2^<4-x>\lt 6+2^x\\ 6+2^x\gt 0 \end \)
Требование ОДЗ \(6+2^x\gt 0\) выполняется при любом \(x\in\mathbb\)
Решаем основное неравенство: \(\frac<2^4><2^x>\lt 6+2^x\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\) \begin \begin \frac<16>-6-t\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<16-6t-t^2>\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin t^2+6t-16\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin (t+8)(t-2)\gt 0\\ t\gt 0 \end \end
\(t\gt 2\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x\gt 2\Rightarrow x\gt 1\)
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

ж) \( \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>(0,5x+0,5) \)
\begin \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>0,5(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\underbrace<\log_<0,5>0,5>_<=1>+\log_<0,5>(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)\lt\log_<0,5>(x+1)\\ \begin 3-x^2\gt x+1\\ 3-x^2\gt 0\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow 3-x^2\gt x+1\gt 0\Rightarrow \begin 3-x^2\gt x+1\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end \end
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_<\frac1x>7\gt\log_<\frac<1><2x-1>>7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin \frac<1><2x-1>\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end Если логарифмы разных знаков, то: \begin \begin \log_<\frac17>\gt 0\\ \log_<\frac<1><2x-1>>7\lt 0 \end \Rightarrow \begin \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac<1><2x-1>\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac<1><2x-1>\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow \varnothing \end Существует только решение для одинаковых знаков.
Ответ: \(x\in\left(\frac12; 1\right)\)

б) \( \frac<1><\log_2x>\leq\frac<1><\log_2\sqrt> \)
Если оба логарифма одного знака и 2>1, основание слева должно быть больше: \begin \begin x\leq\sqrt\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ \sqrt\gt 0,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2\geq x+2\\ x\ne 1\\ x\gt-2,\ x\ne -1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end \Rightarrow x\geq 2 \end Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin \begin \log_x2\leq 0\\ \log_\geq 0 \end \Rightarrow \begin \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt\geq 1,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_<2x+1>0,8\lt\log_<4x-1>0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end \Rightarrow \begin 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end Если логарифмы разных знаков: \begin \begin \log_<2x+1>0,8\lt 0\\ \log_<4x_1>0,8\gt 0 \end \Rightarrow \begin \log_<0,8>(2x+1)\lt 0\\ \log_<0,8>(4x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt 1 \) \begin \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt \log_<0,5>0,5\\ \begin \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5\\ \log_4\frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5 \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt\log_4 2 \Rightarrow \begin \frac<2x-1>\gt 2\\ \frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \frac<2x-1>\gt 2 \Rightarrow \frac<2x-1>-2\gt 0 \Rightarrow \frac<2x-1-2x-2>\gt 0\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac<3>\gt 0\Rightarrow x+1\lt 0\Rightarrow x\lt -1 \end Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\)

б) \( \log_(3x+4)\gt 1 \)
\(\log_(3x+4)\gt \log_x^2\) \begin \left[ \begin \begin x^2\gt 1\\ 3x+4\gt x^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x^2\lt 1\\ 0\lt 3x+4\lt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin (x-1)(x+1)\gt 0\\ x^2-3x-4\lt 0\\ x^2\gt 0 \end \\ \begin x^2\gt 0\\ (x-1)(x+1)\lt 0\\ 3x+4\gt 0\\ x^2-3x-4\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>= \frac<1+\frac<\log_2(x-3)><\log_2(x+1)>><\frac<1><\log_2(x+1)>>= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. Решаем основное неравенство:
\((x+1)(x-3)\geq 2x-3\)
\(x^2-2x-3\geq 2x-3\)
\(x^2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac<\lg x><\lg 3>\cdot\frac<\lg 3x><\lg 2>=\frac<\lg x><\lg 2>\cdot \frac<\lg 3x><\lg 3>=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end \\ \begin \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end \\ \begin \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 2x\geq \frac<1> <3x>\end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 2x\leq \frac<1> <3x>\end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 6x^2-1\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 6x^2-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ x\leq-\frac<1><\sqrt<6>>\cup x\geq \frac<1><\sqrt<6>> \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ -\frac<1><\sqrt<6>>\leq x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\geq 1\\ 0\lt x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \right. \end Ответ: \(x\in\left.\left(0;\frac<1><\sqrt<6>>\right.\right]\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right)\)

Пример 5. Решите систему:
a) \( \begin \log_3(x+21)-\log_3(x-4)\geq 1\\ 9^\lt 3^ <4x+2>\end \) \begin \begin \log_3\frac\geq\log_3 3\\ x+21\gt 0\\ x-4\gt 0\\ 9^\lt 3^ <2(2x+1)>\end \Rightarrow \begin \frac\geq 3\\ x\gt -21\\ x\gt 4\\ 9^\lt 9^ <2x+1>\end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ x\gt 4\\ x+1\lt 2x+1 \end \Rightarrow \begin \frac<-2x+33>\geq 0\\ x\gt 4\\ x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2x+33\geq 0\\ x\gt 4 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x\leq 16,5\\ x\gt 4 \end \Rightarrow 4\lt x\leq 16,5 \end Ответ: \(x\in\left.\left(4;16,5\right.\right]\)

б) \( \begin \log_<\frac13>(12+x)+\log_3(3-x)\lt\log_9\frac14\\ 0,7^<-x>\leq 0,7^<\sqrt> \end \)
\( \log_<\frac13>(12+x)=\log_<3^<-1>>(12+x)=-\log_3(12+x),\ \ \log_9\frac14=\log_3\frac12 \) $$ \begin -\log_3(12+x)+\log_3(3-x)\lt \log_3\frac12\\ -x\geq\sqrt \end $$ Решаем логарифмическое неравенство c ОДЗ условия: \begin \begin \log_3\frac<3-x><12+x>\lt\log_3\frac12\\ 12+x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<3-x><12+x>\lt\frac12\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin \frac<2(3-x)-(12+x)><12+x>\lt 0\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac<-3x-6>\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin -3x-6\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\gt -2\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow -2\lt x\lt 3 \end Решаем иррациональное неравенство: \begin \sqrt\leq -x\Rightarrow \begin -x\geq 0\\ x+2\geq 0\\ x+2\leq(-x)^2 \end \Rightarrow \begin x\leq 0\\ x\geq -2\\ x^2-x-2\geq 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Получаем систему решений: \begin \begin -2\lt x\lt 3\\ -2\leq x\leq -1 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Ответ: \(x\in\left.\left(-2;-1\right.\right]\)

в) \( \begin \log_<\sqrt<5>>\sqrt\leq 0\\ \left(\frac12\right)^<1-4x>\gt 32 \end \)
Здесь важно не потерять модуль: \(\sqrt=\sqrt<(x-3)^2>=|x-3|\)
ОДЗ: \(|x-3|\gt 0\Rightarrow x\ne 3\) \begin \begin \log_<\sqrt<5>>|x-3|\leq 0\\ 2^<-1(1-4x)>\gt 2^5 \end \Rightarrow \begin |x-3|\leq 1\\ 4x\gt 6\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin -1\leq x-3\leq 1\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin 2\leq x\leq 4\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow 2\leq x\lt 3\cup 3\lt x\leq 4 \endОтвет: \(x\in\left.\left[2;3\right.\right)\cup \left.\left(3;4\right.\right]\)

г*) \( \begin 11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt \sqrt<11>^<2x>\\ \log_<3x-1>27 \lt 2 \end \)
Решаем показательное неравенство:
\( \sqrt<11>^<2x>=11^x \)
\(11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt 11^x\) \begin \sqrt<2x^2+x-6>\gt x\Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ 2x^2+x-6\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ 2x^2+x-6\gt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ (2x-3)(x+2)\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ x^2+x-6\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ x\leq -2\cup x\geq 1,5 \end \\ \begin x\geq 0\\ (x+3)(x-2)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\leq -2 \\ \begin x\geq 0\\ x\lt -3\cup x\gt 2 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -2\cup x\gt 2 \end Решаем логарифмическое неравенство: \begin \log_<3x-1>27\lt 2\Rightarrow \log_<3x-1>27\lt\log_<3x-1>(3x-1)^2\\ \left[ \begin \begin 3x-1\gt 1\\ 27\lt(3x-1)^2 \end \\ \begin 0\lt 3x-1\lt 1\\ 27\gt(3x-1)^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin 3x\gt 2\\ 27\lt 9x^2-6x+1 \end \\ \begin 1\lt 3x\lt 2\\ 27\gt 9x^2-6x+1 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt\frac23\\ 9x^2-6x-26\gt 0 \end \\ \begin \frac13\lt x\lt \frac23\\ 9x^2-6x-26\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=9x^2-6x-26\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt=6\cdot 3\sqrt<3>=18\sqrt<3>\)
\(x_<1,2>=\frac<6\pm 18\sqrt<3>><18>=\frac13\pm\sqrt<3>\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt<3>\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \\ \begin \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt<3>\lt x\lt\frac13+\sqrt <3>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt\frac13+\sqrt<3>\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end Получаем систему решений: \begin \begin x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \end Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt<3>\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac<25><9>\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt<3>\)
Значит, из \( \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt <3>\)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt<3>;+\infty\right)\)

Методическое пособие по теме «Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений, неравенств и систем логарифмических неравенств»

Разделы: Математика

Логарифмические уравнения, неравенства и системы логарифмических неравенств входят в число задач, предлагаемых на едином государственном экзамене по математике. Пособие может быть использовано для подготовки к единому государственному экзамену, а также для более глубокого изучения темы “Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений, неравенств и систем логарифмических неравенств”.

В данном пособии представлены самостоятельные работы для отработки и закрепления навыков решения логарифмических уравнений, неравенств и систем логарифмических неравенств.

Самостоятельные работы рассчитаны на учащихся физико-математических классов, однако, могут быть использованы и для хорошо успевающих учащихся общеобразовательных учреждений. За каждую из проведенных работ выставляется оценка, что послужит достаточной мотивацией для наиболее полной и качественной домашней проработки пройденного накануне материала.

В приложении 1 приведена самостоятельная работа, в которой учащимся предлагается решить логарифмические уравнения, используя при этом определение логарифма, основное логарифмическое тождество и другие преобразования логарифмов. В процессе решения необходимо провести проверку полученных ответов на соответствие с ограничениями, предусмотренными при использовании логарифмической функции. Кроме того, одно из логарифмических уравнений в процессе решения потребует тригонометрических преобразований, а также проверку найденных корней на соответствие с ограничениями, введенными в связи с использованием логарифма, т.е. учащимся придется решать тригонометрическое неравенство и отбирать нужные корни в соответствии с полученным ограничением. Задания 3 и 4 являются наиболее сложными в работе и рассчитаны на более высокий уровень подготовки учащихся. Эту работу полезно использовать и в средней общеобразовательной школе для лучшего запоминания и усвоения основных понятий по данной теме, исключив из нее задания 3 и 4.

В приложении 2 содержится самостоятельная работа на решение логарифмических неравенств. В работу включены различные типы логарифмических неравенств. При этом задания 1, 2 и 3 целесообразно давать учащимся общеобразовательной школы. Для решения неравенства 4 от учащихся потребуются навыки работы с неравенствами, содержащими модуль. Неравенства 4, 5 и 6 предназначены для учащихся физико-математических классов.

В приложении 3 приведены три системы неравенств, каждая из которых содержит логарифмическое неравенство с переменной в основании, а также показательное неравенство, сводящееся к квадратному с помощью замены переменной, либо решаемое при помощи обобщенного метода интервалов. Эта самостоятельная работа рассчитана на учащихся с достаточно высоким уровнем математической подготовки и рекомендуется для проведения в классах с углубленным изучением математики.

Самостоятельные работы составлены в четырех вариантах эквивалентной сложности, которые удобно использовать для промежуточного контроля знаний учащихся, отработки практических навыков решения задач по теме “Логарифмическая функция”.

Представленные в пособии работы позволяют учащимся лучше усвоить пройденный материал по указанной теме, что подтверждено практикой.

Самостоятельные работы содержат ответы, что позволит значительно сократить время проверки работ преподавателем.

Данное пособие также может быть использовано для организации повторения при подготовке учащихся старших классов к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике.