Логарифмические уравнения неравенства системы уравнений

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

С учетом того, что

-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Уравнение принимает вид:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку

С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

• Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
• Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
• В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Логарифмические уравнения, неравенства и их системы

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УЛЬЯНОВСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ ПРИ

УЛЬЯНОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИМЕНИ И.Н.УЛЬЯНОВА

КАФЕДРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Методы решения логарифмических

уравнений, неравенств и их систем.

УЛЬЯНОВСК 2016 г.

Цели и задачи обучения математике в школе. 3

Цели изучения алгебры и начал анализа

1. Пояснительная записка. 6

2. Программа курса. 8

3. Учебно-тематический план. 9

4. Литература. 10

5. Приложение. 12

5.1. Уравнения и неравенства. Равносильность

уравнений и неравенств. 12

5.2. Логарифмические уравнения и неравенства,

их равносильность. 13

Методы решения логарифмических

Решение систем логарифмических

Решение логарифмических неравенств. 21

Системы логарифмических неравенств. 24

Логарифмические уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. 25

5.8. Логарифмические уравнения и неравенства

5.9. Тексты контрольных работ. 28

Цели и задачи обучения математике в школе.

В основе характерного для нашего времени нового мировоззрения лежит представление о том, что природу нельзя «покорять», не думая о последствиях своей деятельности, что человеком нельзя управлять как машиной, и силой принуждать его к чему-либо для его же блага. Мир, в котором мы живем , является сложной саморазвивающейся динамической системой, включаю-щей в себя природу и человека. В соответствии с этим в основу школьного преподавания должны быть положены новые ценност-ные ориентиры.

Нельзя думать, что основная цель преподавания состоит только в том, чтобы сообщить ученику как можно больше конкрет-ных знаний, новых понятий, теорем, теорий. На этом пути мы приходим к разбуханию учебных программ и к тому, что значительная часть учащихся, по существу , плохо овладевает школьным материалом. Одна из важнейших целей преподавания состоит в том, чтобы воспитать молодого человека, сформировать его мировоззрение, научить его рациональному мышлению.

На уроках необходимо формировать систему ценностей, с которой молодой человек вступает в мир. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные – знания, умение последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Всему этому школьник учится на уроках математики. Решая задачи, он тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности. Но чтобы добиться таких результатов, нужно разъяснить ученику цели и задачи изучаемого предмета.

Математика играет важную роль в общей системе образо-вания. Важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подго-товки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоя-щее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамот-ности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определен-ный стиль мышления. Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

— овладение конкретными математическими знаниями, необхо-димыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

— интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

— формирование представлений об идеях и методах матема-тики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

— формирование представлений о математике, как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X — XI классах — систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значений общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики. Характерной особенностью курса является системати-зация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры основной школы, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.

Так, в курсе алгебры и начал анализа в XI классе приводятся в систему и обобщаются имеющиеся у школьников сведения о степенях, дается понятие степени с иррациональным показателем, изучаются степенная, показательная и логарифмическая функции и их свойства, кроме этого, изучаются методы решений неслож-ных иррациональных, показательных и логарифмических уравне-ний, неравенств и их систем.

В своей педагогической практике я столкнулась с тем, что при изучении логарифмов у учащихся сразу появляются затруд-нения не только в решении уравнений и неравенств, но даже само определение логарифма вызывает некоторые трудности у старшеклассников. Не сразу приходит понимание темы «Преобразования логарифмических выражений», особенно много сложностей возникает при решении логарифмических уравнений, неравенств, а тем более их систем. Большинство недочетов и ошибок встречается при проверке корней уравнения или при нахождении ОДЗ (область допустимых значений) уравнений и неравенств, ученики зачастую забывают, что проверка решения или нахождение ОДЗ является неотъемлемой частью решения уравнения или неравенства . Поэтому становится ясным, что заострять внимание школьников на этом аспекте нужно раньше, хотя бы в 8-м классе при изучении дробно-рациональных уравнений, чтобы в старших классах у учеников уже был отработан навык нахождения ОДЗ и проверки корней уравнения.

Конечно же, не все методы решения уравнений вызывают затруднения у учащихся, такие методы, как разложение на множители, введение новой переменной и сведение уравнения к квадратному, практически , несложны для старшеклассников, но метод приведения логарифмов к одному основанию вызывает сложности в восприятии и дальнейшем умении их решать.

Метод, основанный на свойстве монотонности функций, также вызывает затруднения, но это связано еще и с тем, что подобных задач очень мало в учебнике Колмогорова.

Поэтому в своей работе я сделала попытку описать наиболее часто встречающиеся методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем, показала применение этих методов на примерах, которые наиболее ярко поясняют каждый выбранный метод решения. Мне кажется целесообразным разработка спецкурса по данной теме, который поможет более подробно и основательно изучить одну из самых сложных тем учебной программы по алгебре и началам анализа.

1. Пояснительная записка.

Основная цель данного спецкурса — углубление и расширение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня их математической культуры, подготовка к выбору учащимися путей дальнейшего образования. Преподавание строится как углубленное изучение вопросов темы, предусмотренных программой базового уровня, так и вопросов, расширяющих кругозор, формирующих мировоззрение, раскрывающих прикладной аспект математики. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Уровень предлагаемых и решаемых задач повышенный, существенно превышающий обязательный минимум. Особое место в спецкурсе занимают задачи, требующие применения знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.

Особая установка спецкурса – целенаправленная подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в ВУЗы соответствующего профиля. Поэтому преподавание спецкурса направлено на систематизацию знаний и углубление умений учащихся на повышенном уровне и на уровне, предусмотренном программой вступительных экзаменов в ВУЗы .

Основная методическая установка спецкурса – организация самостоятельной деятельности учащихся при ведущей и направляющей роли учителя. Каждый из приведенных вопросов спецкурса предусматривает возможное распределение часов. В случае необходимости, возможно изменение количества часов на изучение некоторых вопросов. Порядок изучения спецкурса определяется в соответствии с тематическим планированием базового курса, целесообразно прохождение данного спецкурса сразу после прохождения соответствующей темы базового курса алгебры и начал анализа 11 класса. Вполне допустимо, чтобы какой-то вопрос темы изучался не подряд, а перемежаясь с другими темами. При необходимости, возможно изменение содержания спецкурса, перераспределение учебного времени, придерживаясь при этом основного принципа: содержание спецкурса в первую очередь должно углублять и дополнять основной базовый курс .

Программа спецкурса состоит из следующих разделов:

— Уравнения и неравенства. Равносильность уравнений

— Логарифмические уравнения и неравенства,

— Методы решения логарифмических уравнений.

— Решение систем логарифмических уравнений.

— Решение логарифмических неравенств.

— Системы логарифмических неравенств.

— Логарифмические уравнения и неравенства, содержа-

щие переменную под знаком модуля.

— Уравнения и неравенства с параметром.

По сравнению с государственной базовой программой в спецкурс включены такие вопросы, как равносильность логарифмических уравнений и неравенств, подробно рассматривается вопрос потери корня уравнения и приобретения постороннего корня. Также включены вопросы решения уравнений с модулем и с параметром, которые в школьном учебнике « Алгебра и начала анализа» под редакцией Колмогорова А.Н. просто отсутствуют.

Данные вопросы включены в спецкурс по той причине, что уравнения и неравенства с модулем и с параметром часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы , и абитуриенты должны уметь их решать, чтобы составить достойную конкурен-цию на вступительных испытаниях.

2. Программа курса.

1. Логарифмические уравнения и неравенства, их равносильность.

Определение уравнения, неравенства, корня уравнения. Равносильность уравнений и неравенств. Определения логарифмического уравнения и неравенства. Равносильность логарифмических уравнений и неравенств. Посторонний корень, потеря корня. Формулы логарифмирования, потенцирования.

Методы решения логарифмических уравнений и их систем.

Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования. Функционально-графический метод. Метод введения вспомогательной переменной. Метод алгебраи-ческого сложения.

Методы решения логарифмических неравенств и их систем.

Основные теоремы. Переход от неравенства к равносильной системе неравенств. Метод введения вспомогательной переменной. Переход от старого основания логарифма к новому основанию. Метод интервалов.

Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.

Основные приемы решения уравнений и неравенств с модулем.

Уравнения и неравенства с параметром.

Основные приемы решения уравнений и неравенств с параметром.

Обобщение и систематизация знаний по теме «Логарифмические уравнения, неравенства и их системы».

Логарифмические уравнения неравенства системы уравнений

Определение логарифма проще всего записать математически:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Обратите внимание на ограничения которые накладываются на основание логарифма (a) и на подлогарифмическое выражение (x). В дальнейшем эти условия превратятся в важные ограничения для ОДЗ, которые нужно будет учитывать при решении любого уравнения с логарифмами. Итак, теперь кроме стандартных условий приводящих к ограничениям на ОДЗ (положительность выражений под корнями четных степеней, не равенство знаменателя нолю и т.д.) нужно учитывать еще и следующие условия:

• Подлогарифмическое выражение может быть только положительным.
• Основание логарифма может быть только положительным и не равным единице.

Обратите внимание, что ни основание логарифма, ни подлогарифмическое выражение не могут быть равными нолю. Обратите также внимание и на то, что само значение логарифма может принимать все возможные значения, т.е. логарифм может быть положительным, отрицательным и равным нолю. У логарифмов есть очень много различных свойств, которые следуют из свойств степеней и определения логарифма. Перечислим их. Итак, свойства логарифмов:

Вынесение степени за знак логарифма:

Обратите особо пристальное внимание на те из последних перечисленных свойств, в которых появляется знак модуля после вынесения степени. Не забывайте, что при вынесении четной степени за знак логарифма, под логарифмом или в основании нужно оставить знак модуля.

Другие полезные свойства логарифмов:

Последнее свойство очень часто применяется в сложных логарифмических уравнениях и неравенствах. Его нужно помнить также хорошо, как и все остальные, хотя о нём часто забывают.

Рекомендации к решению логарифмических уравнений и систем

Самые простые логарифмические уравнения имеют вид:

А их решение задаётся формулой, которая напрямую следует из определения логарифма:

Другие простейшие логарифмические уравнения, это такие, которые с помощью алгебраических преобразований и приведённых выше формул и свойств логарифмов можно свести к виду:

Решение таких уравнений с учетом ОДЗ выглядит следующим образом:

Некоторые другие логарифмические уравнения с переменной в основании могут быть сведены к виду:

В таких логарифмических уравнениях общий вид решения также напрямую следует из определения логарифма. Только в этом случае имеются дополнительные ограничения для ОДЗ, которые нужно учесть. В итоге, для решения логарифмического уравнения с переменной в основании нужно решать следующую систему:

При решении более сложных логарифмических уравнений, которые нельзя свести к одному из представленных выше уравнений, также активно применяется метод замены переменных. Как обычно, применяя этот метод нужно помнить, что после введения замены уравнение должно упроститься и больше не содержать старой неизвестной. Также нужно не забывать выполнять обратную замену переменных.

Иногда при решении логарифмических уравнений приходится также использовать графический метод. Данный метод состоит в том, чтобы как можно более точно построить на одной координатной плоскости графики функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения, а затем найти координаты точек их пересечения по чертежу. Полученные таким образом корни обязательно нужно проверить подстановкой в первоначальное уравнение.

При решении логарифмических уравнений часто также бывает полезен метод группировки. При использовании этого метода главное помнить, что: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один из них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются логарифмы или скобки с логарифмами, а не просто скобки с переменными как в рациональных уравнениях, то может возникнуть много ошибок. Так как у логарифмов есть много ограничений на ту область, где они существуют.

При решении систем логарифмических уравнений чаще всего приходится использовать либо метод подстановки, либо метод замены переменных. Если есть такая возможность, то при решении систем логарифмических уравнений нужно стремиться к тому, чтобы каждое из уравнений системы по-отдельности привести к такому виду, при котором можно будет осуществить переход от логарифмического уравнения к рациональному.

Рекомендации к решению логарифмических неравенств

Простейшие логарифмические неравенства решаются примерно также как и аналогичные уравнения. Сначала, с помощью алгебраических преобразований и свойств логарифмов, их нужно постараться привести к такому виду, где у логарифмов в левой и правой части неравенства будут одинаковые основания, т.е. получить неравенство вида:

После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства менять не нужно, а если основание логарифма меньше единицы, то нужно поменять знак неравенства на противоположный (это значит поменять «меньше» на «больше» или наоборот). При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не нужно. Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода. В случае если основание больше единицы получим:

В случае если основание логарифма меньше единицы поменяем знак неравенства и получим следующую систему:

Как видим при решении логарифмических неравенств как обычно учитывается также и ОДЗ (это третье условие в системах выше). Причем в этом случае есть возможность не требовать положительности обоих подлогарифмических выражений, а достаточно потребовать положительности только меньшего из них.

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании логарифма необходимо самостоятельно рассматривать оба варианта (когда основание меньше единицы, и больше единицы) и объединять решения этих случаев в совокупность. При этом нужно не забывать и про ОДЗ, т.е. про то, что и основание и все подлогарифмические выражение должны быть положительными. Таким образом, при решении неравенства вида:

Получим следующую совокупность систем:

Более сложные логарифмические неравенства могут также решаться с помощью замены переменных. Некоторые другие логарифмические неравенства (как и логарифмические уравнения) для решения требуют проведения процедуры логарифмирования обоих частей неравенства или уравнения по одинаковому основанию. Так вот при проведении такой процедуры с логарифмическим неравенствами имеется тонкость. Обратите внимание, что при логарифмировании по основанию большему единицы, знак неравенства не изменяется, а если основание меньше единицы, то знак неравенства изменяется на противоположный.

Если логарифмическое неравенство не может быть сведено к рациональному или решено с помощью замены, то в этом случае нужно применять обобщенный метод интервалов, который состоит в следующем:

• Определите ОДЗ;
• Преобразуйте неравенство так, чтобы в правой части был ноль (в левой части, если это возможно, приведите к общему знаменателю, разложите на множители и т.д.);
• Найдите все корни числителя и знаменателя и нанесите их на числовую ось, причём, если неравенство нестрогое, закрасьте корни числителя, ну а корни знаменателя в любом случае оставьте выколотыми точками;
• Найдите знак всего выражения на каждом из интервалов, подставляя в преобразованное неравенство число из данного интервала. При этом уже больше нельзя никаким образом чередовать знаки переходя через точки на оси. Определять знак выражения на каждом интервале нужно именно подстановкой значения из интервала в это выражение, и так для каждого интервала. Больше никак нельзя (в этом то и состоит, по большому счету, отличие обобщенного метода интервалов от обычного);
• Найдите пересечение ОДЗ и удовлетворяющих неравенству промежутков, при этом не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.