Алгебра
План урока:
Задание. Укажите корень логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид
Задание. Найдите решение логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
Задание. Решите урав-ние
Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.
Задание. Решите урав-ние
Задание. Найдите корень урав-ния
Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид
С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.
Задание. Решите урав-ние
Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:
Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:
Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:
Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).
Уравнения, требующие предварительных преобразований
Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).
Задание. Решите урав-ние
с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:
Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:
Задание. Решите урав-ние
Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем
Задание. Решите урав-ние
Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:
Задание. Решите урав-ние
Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что
Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что
Задание. Решите урав-ние
Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу
Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной
Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:
Логарифмирование уравнений
Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.
Задание. Укажите корни урав-ния
Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:
Возвращаемся от переменной t к переменной х:
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства
Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.
Задание. Найдите решение логарифмического неравенства
Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:
Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение
Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:
Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).
Логарифмическое уравнение: решение на примерах
Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.
Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.
Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.
Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:
Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!
Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим:
Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:
Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:
Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.
Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.
Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.
Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:
В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:
То есть в нашем случае:
Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:
Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:
Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.
Разберем другой пример:
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:
После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:
Вспоминаем свойства степеней:
Теперь делаем проверку:
то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Еще один пример решения логарифмического уравнения:
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:
Теперь преобразуем правую часть уравнения:
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:
Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:
Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.
Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:
Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:
Применяем эти знания и получаем:
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Тогда получим:
Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:
Делаем проверку:
Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:
Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.
Преобразуем правую часть уравнения:
Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:
2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:
Сведем все требования в систему:
Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:
Перепишем нашу систему:
Следовательно, наша система примет следующий вид:
Теперь решаем наше уравнение:
Справа у нас квадрат суммы:
Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.
Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:
Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.
Как сделать проверку
Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.
Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:
После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!
Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.
Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.
Логарифмическая функция
Определение
0,\, a\ne 1 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
называют логарифмической функцией.
Основные свойства
Основные свойства логарифмической функции y = loga x:
| | a > 1 | 0  0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:
• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:
• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):
Решение логарифмических уравнений и неравенствПример 1. Решите уравнение:
Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:
С учетом того, что получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:
На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:
В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7. Пример 2. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:
Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет. Ответ: корней нет. Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований). Примет 3. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.
Уравнение принимает вид:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами. Пример 4. Решите уравнение:
Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:
Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:
Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:
Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит. Ответ: x = -1. Пример 5. Решите уравнение:
Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения. Пример 6. Решите уравнение:
Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид: Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:
В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4. Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема: Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то: Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:
Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:
Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:
На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:
После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:
Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:
I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:
Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:
Итак, окончательный ответ:
II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:
Вычтем из знаменателя
С учетом того, что выражения
Множество решений данного неравенства Итак, Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?
Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике. источники: http://yourrepetitor.ru/kak-reshit-logarifmicheskoe-uravnenie/ http://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BB%D0%BE%D0%B3 |
0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
0, \\ 8+5x > 0 \end 
-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
0, \\ -x-31>0 \end
0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end
0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end
0, \\ x+4>0 \end
0, \\ \frac<(x-9)^<11>>
0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end
0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end
Это ничего не изменит, поскольку 
и 
— одного знака при 
0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:
а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: 