Логарифмические уравнения с переменным основанием егэ

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Задания по теме «Логарифмические неравенства с переменным основанием»

Открытый банк заданий по теме логарифмические неравенства с переменным основанием. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1197

Условие

Решите неравенство \frac1<\log_x 0,5>+6\geqslant 16\log_<4x>2.

Решение

ОДЗ неравенства: \begin x>0, \\ x\neq 1, \\ x\neq \frac14. \end

Т.к. \frac1<\log_x 0,5>= -\frac1<\log_x 2>= -\log_2 x, а \log_ <4x>2 =\frac1<\log_2 x+2>, то неравенство примет вид: -\log_2 x+6 \geqslant \frac<16><\log_2 x+2>. Пусть \log_2 x=t, тогда \frac<16>+ t-6 \leqslant 0, \frac<(t-2)^2>\leqslant 0, t=2 или t \log_2 x=2, откуда x=4 или \log_2 x откуда x Учитывая ОДЗ, получим 0 x=4.

Ответ

\left( 0;\,\frac14\right) , 4.

Задание №1196

Условие

Решите неравенство \log_x2+2\log_<2x>2\geqslant 2.

Решение

Заметим, что x>0, x \neq \frac12, x \neq 1.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

Пусть \log_2x=t, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

Получим два двойных неравенства, решим их, возвращаясь к переменной x :

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — \left( \frac12; \frac1<\sqrt 2>\right] \cup (1; 2].

Ответ

\left( \frac12; \frac1<\sqrt 2>\right] \cup (1; 2].

Задание №1191

Условие

Решение

ОДЗ неравенства является множество всех решений системы

\begin x^2+x>0,\\ x^2+x\neq 1; \end \begin x^2+x>0,\\ x^2+x-1\neq 0.\end

Перейдём в неравенстве к логарифмам по основанию 2 .

\log_2(x^2+x)\cdot \left( -1-\frac12+\frac12\right) \geqslant 1,

\log_2(x^2+x)\leqslant \log_2 0,5,

Находим корни квадратного трёхчлена x^2+x-0,5:

x_<1,2>=\frac<-1\pm\sqrt 3>2, поэтому множеством решений неравенства x^2+x-0,5 \leqslant 0 будет множество \left[ \frac<-1-\sqrt 3><2>; \frac<-1+\sqrt 3><2>\right].

Так как \frac<-1-\sqrt 5>2 и 0 то множеством решений неравенства будет множество \left[ \frac<-1-\sqrt 3>2; -1\right) \cup \left( 0;\frac<-1+\sqrt 3>2\right].

Ответ

Задание №994

Условие

Решите неравенство \log_<3>(x-1) \leq 4-9\log_<9(x-1)>3.

Решение

ОДЗ уравнения: \beginx-1>0,\\9(x-1)\neq1,\end то есть x > 1, x \neq \frac<10><9>.

Неравенство примет вид \log_<3>(x-1) \leq 4-\frac<9><\log_<3>(x-1)+2>. Пусть \log_<3>(x-1)=t, тогда t-4+\frac<9>\leq 0,

\log_<3>(x-1)=1, откуда x-1=3, x=4 или \log_<3>(x-1) откуда x-1 x Учитывая ОДЗ, получим 1 x=4.

Ответ

Задание №993

Условие

Решите неравенство (x^2+2x-3)\log _<2x-1>(4x^2-11x+7) \leq 0

Решение

ОДЗ: \begin 2x-1 > 0,\\ 2x-1 \neq 1, \\ 4x^2-11x+7 > 0; \end

\begin x > \frac<1><2>, \\ x \neq 1, \\ \left[\!\!\begin x \frac<7><4>; \end\right.\end x \in \left (\frac<1><2>;1 \right ) \cup \left ( \frac<7><4>; +\infty \right ).

Применяя метод рационализации, получим, что на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству:

(x^2+2x-3)\cdot (2x-1-1)\cdot (4x^2-11x+7-1) \leq 0;

(x-1)\cdot (x+3)\cdot (2x-2)\cdot (4x^2-11x+6) \leq 0;

Из рисунка следует, что \frac<3> <4>\leq x \frac <7>