Решение логарифмических неравенств с переменным основанием
Решение логарифмических неравенств с переменным основанием.
В этой статье мы поговорим о том, как решать логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную величину в основании логарифма.
Как мы помним, при решении логарифмических неравенств, мы сравниваем основание логарифма с единицей. Если в основании логарифма стоит выражение, зависящее от неизвестного, то нам надо рассмотреть два случая: когда это выражение больше единицы, и когда оно принимает значение от нуля до единицы.
Но есть и более простой способ.
Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.
Пусть неравенство имеет вид
log_
Если основание логарифма больше единицы (p(x)>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0
Чтобы не рассматривать эти два случае по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:
0″ title=»(p(x)-1)(f(x)-g(x))>0″/>
Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:
если p(x)>1, то f(x) > g(x) — знак неравенства сохраняется
g(x) — знак неравенства меняется на противоположный.
Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство
log_
будет равносильно системе:
0>
Последние четыре неравенства системы — ОДЗ исходного неравенства.
Решим, для примера, такое неравенство:
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 
Перейдем к равносильной системе неравенств:
0>
Решим каждое неравенство системы по отдельности, на своей координатной прямой.
Сначала преобразуем первое неравенство системы к виду
и решим это неравенство методом интервалов.
Корни квадратного трехчлена в первых скобках:
, 
Корни квадратного трехчлена во вторых скобках:
, 
.
Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки:
Решение второго неравенства системы:
-3″ title=»x>-3″/>
Решение третьего неравенства: 
0″ title=»x^2+3x>0″/>
Теперь совместим решение всех неравенств на одной координатной прямой:
Нас интересует промежуток, над которым проходит три стрелки.
Ответ: 
.
А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю решение логарифмического неравенства с переменным основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма:
0″ title=»log_<(x^2-2x-3)><
Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием
Разделы: Математика
Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.
Цели урока:
- Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
- Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
- Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.
1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.
2. Подготовительный этап:
3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])
При решении неравенства
Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:
Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.
4. Объяснение нового материала
Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности logf(x)g(x) – logf(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности logf(x)g(x) – logf(x)h(x) в случае убывающей функции (0 4.03.2014
Логарифмическое неравенство: решение на примерах
Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.
Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:
знак можно заменить на 1, то знак неравенства не меняется.
Если у логарифма в неравенстве 0 0
Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.
Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.
Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:
Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида
Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.
Отметим полученные значения на числовой оси:
Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:
Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.
Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 1 или 0 , -4½
http://urok.1sept.ru/articles/642973
http://yourrepetitor.ru/logarifmicheskoe-neravenstvo-reshenie-na-primerax/