Логарифмические уравнения системы и неравенства

Логарифмические уравнения, неравенства и их системы

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УЛЬЯНОВСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ ПРИ

УЛЬЯНОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИМЕНИ И.Н.УЛЬЯНОВА

КАФЕДРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Методы решения логарифмических

уравнений, неравенств и их систем.

УЛЬЯНОВСК 2016 г.

Цели и задачи обучения математике в школе. 3

Цели изучения алгебры и начал анализа

1. Пояснительная записка. 6

2. Программа курса. 8

3. Учебно-тематический план. 9

4. Литература. 10

5. Приложение. 12

5.1. Уравнения и неравенства. Равносильность

уравнений и неравенств. 12

5.2. Логарифмические уравнения и неравенства,

их равносильность. 13

Методы решения логарифмических

Решение систем логарифмических

Решение логарифмических неравенств. 21

Системы логарифмических неравенств. 24

Логарифмические уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. 25

5.8. Логарифмические уравнения и неравенства

5.9. Тексты контрольных работ. 28

Цели и задачи обучения математике в школе.

В основе характерного для нашего времени нового мировоззрения лежит представление о том, что природу нельзя «покорять», не думая о последствиях своей деятельности, что человеком нельзя управлять как машиной, и силой принуждать его к чему-либо для его же блага. Мир, в котором мы живем , является сложной саморазвивающейся динамической системой, включаю-щей в себя природу и человека. В соответствии с этим в основу школьного преподавания должны быть положены новые ценност-ные ориентиры.

Нельзя думать, что основная цель преподавания состоит только в том, чтобы сообщить ученику как можно больше конкрет-ных знаний, новых понятий, теорем, теорий. На этом пути мы приходим к разбуханию учебных программ и к тому, что значительная часть учащихся, по существу , плохо овладевает школьным материалом. Одна из важнейших целей преподавания состоит в том, чтобы воспитать молодого человека, сформировать его мировоззрение, научить его рациональному мышлению.

На уроках необходимо формировать систему ценностей, с которой молодой человек вступает в мир. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные – знания, умение последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Всему этому школьник учится на уроках математики. Решая задачи, он тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности. Но чтобы добиться таких результатов, нужно разъяснить ученику цели и задачи изучаемого предмета.

Математика играет важную роль в общей системе образо-вания. Важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подго-товки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоя-щее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамот-ности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определен-ный стиль мышления. Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

— овладение конкретными математическими знаниями, необхо-димыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

— интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

— формирование представлений об идеях и методах матема-тики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

— формирование представлений о математике, как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X — XI классах — систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значений общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики. Характерной особенностью курса является системати-зация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры основной школы, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.

Так, в курсе алгебры и начал анализа в XI классе приводятся в систему и обобщаются имеющиеся у школьников сведения о степенях, дается понятие степени с иррациональным показателем, изучаются степенная, показательная и логарифмическая функции и их свойства, кроме этого, изучаются методы решений неслож-ных иррациональных, показательных и логарифмических уравне-ний, неравенств и их систем.

В своей педагогической практике я столкнулась с тем, что при изучении логарифмов у учащихся сразу появляются затруд-нения не только в решении уравнений и неравенств, но даже само определение логарифма вызывает некоторые трудности у старшеклассников. Не сразу приходит понимание темы «Преобразования логарифмических выражений», особенно много сложностей возникает при решении логарифмических уравнений, неравенств, а тем более их систем. Большинство недочетов и ошибок встречается при проверке корней уравнения или при нахождении ОДЗ (область допустимых значений) уравнений и неравенств, ученики зачастую забывают, что проверка решения или нахождение ОДЗ является неотъемлемой частью решения уравнения или неравенства . Поэтому становится ясным, что заострять внимание школьников на этом аспекте нужно раньше, хотя бы в 8-м классе при изучении дробно-рациональных уравнений, чтобы в старших классах у учеников уже был отработан навык нахождения ОДЗ и проверки корней уравнения.

Конечно же, не все методы решения уравнений вызывают затруднения у учащихся, такие методы, как разложение на множители, введение новой переменной и сведение уравнения к квадратному, практически , несложны для старшеклассников, но метод приведения логарифмов к одному основанию вызывает сложности в восприятии и дальнейшем умении их решать.

Метод, основанный на свойстве монотонности функций, также вызывает затруднения, но это связано еще и с тем, что подобных задач очень мало в учебнике Колмогорова.

Поэтому в своей работе я сделала попытку описать наиболее часто встречающиеся методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем, показала применение этих методов на примерах, которые наиболее ярко поясняют каждый выбранный метод решения. Мне кажется целесообразным разработка спецкурса по данной теме, который поможет более подробно и основательно изучить одну из самых сложных тем учебной программы по алгебре и началам анализа.

1. Пояснительная записка.

Основная цель данного спецкурса — углубление и расширение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня их математической культуры, подготовка к выбору учащимися путей дальнейшего образования. Преподавание строится как углубленное изучение вопросов темы, предусмотренных программой базового уровня, так и вопросов, расширяющих кругозор, формирующих мировоззрение, раскрывающих прикладной аспект математики. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Уровень предлагаемых и решаемых задач повышенный, существенно превышающий обязательный минимум. Особое место в спецкурсе занимают задачи, требующие применения знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.

Особая установка спецкурса – целенаправленная подготовка учащихся к конкурсным экзаменам в ВУЗы соответствующего профиля. Поэтому преподавание спецкурса направлено на систематизацию знаний и углубление умений учащихся на повышенном уровне и на уровне, предусмотренном программой вступительных экзаменов в ВУЗы .

Основная методическая установка спецкурса – организация самостоятельной деятельности учащихся при ведущей и направляющей роли учителя. Каждый из приведенных вопросов спецкурса предусматривает возможное распределение часов. В случае необходимости, возможно изменение количества часов на изучение некоторых вопросов. Порядок изучения спецкурса определяется в соответствии с тематическим планированием базового курса, целесообразно прохождение данного спецкурса сразу после прохождения соответствующей темы базового курса алгебры и начал анализа 11 класса. Вполне допустимо, чтобы какой-то вопрос темы изучался не подряд, а перемежаясь с другими темами. При необходимости, возможно изменение содержания спецкурса, перераспределение учебного времени, придерживаясь при этом основного принципа: содержание спецкурса в первую очередь должно углублять и дополнять основной базовый курс .

Программа спецкурса состоит из следующих разделов:

— Уравнения и неравенства. Равносильность уравнений

— Логарифмические уравнения и неравенства,

— Методы решения логарифмических уравнений.

— Решение систем логарифмических уравнений.

— Решение логарифмических неравенств.

— Системы логарифмических неравенств.

— Логарифмические уравнения и неравенства, содержа-

щие переменную под знаком модуля.

— Уравнения и неравенства с параметром.

По сравнению с государственной базовой программой в спецкурс включены такие вопросы, как равносильность логарифмических уравнений и неравенств, подробно рассматривается вопрос потери корня уравнения и приобретения постороннего корня. Также включены вопросы решения уравнений с модулем и с параметром, которые в школьном учебнике « Алгебра и начала анализа» под редакцией Колмогорова А.Н. просто отсутствуют.

Данные вопросы включены в спецкурс по той причине, что уравнения и неравенства с модулем и с параметром часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы , и абитуриенты должны уметь их решать, чтобы составить достойную конкурен-цию на вступительных испытаниях.

2. Программа курса.

1. Логарифмические уравнения и неравенства, их равносильность.

Определение уравнения, неравенства, корня уравнения. Равносильность уравнений и неравенств. Определения логарифмического уравнения и неравенства. Равносильность логарифмических уравнений и неравенств. Посторонний корень, потеря корня. Формулы логарифмирования, потенцирования.

Методы решения логарифмических уравнений и их систем.

Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования. Функционально-графический метод. Метод введения вспомогательной переменной. Метод алгебраи-ческого сложения.

Методы решения логарифмических неравенств и их систем.

Основные теоремы. Переход от неравенства к равносильной системе неравенств. Метод введения вспомогательной переменной. Переход от старого основания логарифма к новому основанию. Метод интервалов.

Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.

Основные приемы решения уравнений и неравенств с модулем.

Уравнения и неравенства с параметром.

Основные приемы решения уравнений и неравенств с параметром.

Обобщение и систематизация знаний по теме «Логарифмические уравнения, неравенства и их системы».

Логарифмические неравенства и системы

п.1. Методы решения логарифмических неравенств

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Если \(a\gt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) сохраняется.

Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \end Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.

Неравенства \( \begin f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end \\ \begin 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end \Rightarrow \begin x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

Система \( \begin f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.
Система \( \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow \begin f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т.е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.

п.3. Решение неравенств вида \(\log_ f(x)\gt \log_ g(x)\)

Например:
Решим неравенство \(\log_<2x-3>x\gt 1\)
\(\log_<2x-3>x\gt\log_<2x-3>(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin \begin 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end \\ \begin 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end \end \right. \) $$ \left[ \begin \begin 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end \\ \begin 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end \\ \begin 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\)	\(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end	\begin \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg\frac78><\lg 5>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>\lt 0,\ \ b=\frac<\lg\frac78><\lg 6>=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 6>\lt 0\\ a-b=\frac<\lg 7-\lg 8><\lg 5>-\frac<\lg 7\lg 8><\lg 6>=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)\\ a-b=\frac<\overbrace<(\lg 7-\lg8)>^<\lt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\lt 0\\ a\lt b \end Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin a=\frac<\lg 11><\lg 5>,\ \ b=\frac<\lg 11><\lg 6>\\ a-b=\lg 11\left(\frac<1><\lg 5>-\frac<1><\lg 6>\right)= \frac<\overbrace<\lg 11>^<\gt 0>\overbrace<(\lg 6-\lg 5)>^<\gt 0>><\underbrace<\lg 5\cdot\lg 6>_<\gt 0>>\gt 0\\ a\gt b \end Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

д*) \( a=\log_2 3,\ b=\log_5 8 \)
Преобразуем и решим графически: $$ a=\log_2 3=\log_4 9\gt\log_4 8\gt\log_5 8=b $$ $$ a\gt b $$

Пример 2*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>(x^2-7x)\geq\log_<0,5>(3x+11) \) \begin \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt 0\\ 3x+11\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x^2-7x\leq 3x+11 \Rightarrow \begin x^2-7x\leq 3x+11\\ x^2-7x\gt \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x^2-10x-11\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-11)\leq 0\\ x(x-7)\gt 0 \end \end
\(-1\leq x\leq 0\cup 7\lt x\leq 11\)
Ответ: \(x\in\left.\left[-1;0\right.\right)\cup\left.\left(7;11\right.\right]\)

б) \( \log_3x+\log_3(x-8)\geq 2 \) \begin \log_3\left(x(x-8)\right)\geq \log_39\\ \begin x(x-8)\geq 9\\ x\gt 0\\ x-8\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2-8x-9\geq 0\\ x\gt 0\\ x\gt 8 \end \Rightarrow \begin (x+1)(x-9)\geq 0\\ x\gt 8 \end \end
\(8\lt x\leq 9\)
Ответ: \(x\in\left.\left(8;9\right.\right]\)

в) \( \frac<2x+3><\log_7 x>\gt 0 \)
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют один знак.
Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin 2x+3\gt 0\\ \log_7 x\gt 0 \end \\ \begin 2x+3\lt 0\\ \log_7x\lt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt-1,5\\ x\gt 1\\ x\gt 0 \end \\ \begin x\lt -1,5\\ x\lt 1\\ x\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt 1\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow x\gt 1 \end Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

г) \( 4^<\log_4(4-9x)>\lt 16 \)
Преобразуем: \(4^<\log_4(4-9x)>=4-9x\)
Подставляем в исходное неравенство, дописываем ОДЗ: \begin \begin 4-9x\lt 16\\ 4-9x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -9x\lt 12\\ -9x\gt -4 \end \Rightarrow \begin x\gt -\frac43\\ x\lt\frac49 \end \Rightarrow -\frac43\lt x\lt \frac49 \end Ответ: \(x\in(-\frac43;\frac49)\)

д) \( \lg^2x+\lg x\gt 2 \)
ОДЗ: \(x\lt 0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\(t^2+t-2\gt 0\Rightarrow (t+2)(t-1)\gt 0\)

\(t\lt -2\cup t\gt 1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \begin \lg x\lt -2\cup\lg x\gt 1\Rightarrow \begin x\lt 10^<-2>\cup x\gt 10\\ x\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 0,01\cup x\gt 10 \end Ответ: \(x\in(0;0,01)\cup(10;+\infty)\)

e) \( 4-x\lt\log_2(6+2^x) \)
Перейдем к показательному неравенству: \(2^<4-x>\lt 2^<\log_2(6+2^x)>\)
Получаем:\( \begin 2^<4-x>\lt 6+2^x\\ 6+2^x\gt 0 \end \)
Требование ОДЗ \(6+2^x\gt 0\) выполняется при любом \(x\in\mathbb\)
Решаем основное неравенство: \(\frac<2^4><2^x>\lt 6+2^x\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\) \begin \begin \frac<16>-6-t\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<16-6t-t^2>\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin t^2+6t-16\gt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin (t+8)(t-2)\gt 0\\ t\gt 0 \end \end
\(t\gt 2\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(2^x\gt 2\Rightarrow x\gt 1\)
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\)

ж) \( \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>(0,5x+0,5) \)
\begin \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\log_<0,5>0,5(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)+1\lt\underbrace<\log_<0,5>0,5>_<=1>+\log_<0,5>(x+1)\\ \log_<0,5>(3-x^2)\lt\log_<0,5>(x+1)\\ \begin 3-x^2\gt x+1\\ 3-x^2\gt 0\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow 3-x^2\gt x+1\gt 0\Rightarrow \begin 3-x^2\gt x+1\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x^2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end \end
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_<\frac1x>7\gt\log_<\frac<1><2x-1>>7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin \frac<1><2x-1>\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end Если логарифмы разных знаков, то: \begin \begin \log_<\frac17>\gt 0\\ \log_<\frac<1><2x-1>>7\lt 0 \end \Rightarrow \begin \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac<1><2x-1>\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end \Rightarrow \begin \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac<1><2x-1>\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\\ x\gt 1 \end \Rightarrow \varnothing \end Существует только решение для одинаковых знаков.
Ответ: \(x\in\left(\frac12; 1\right)\)

б) \( \frac<1><\log_2x>\leq\frac<1><\log_2\sqrt> \)
Если оба логарифма одного знака и 2>1, основание слева должно быть больше: \begin \begin x\leq\sqrt\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ \sqrt\gt 0,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2\geq x+2\\ x\ne 1\\ x\gt-2,\ x\ne -1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x^2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end \Rightarrow x\geq 2 \end Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin \begin \log_x2\leq 0\\ \log_\geq 0 \end \Rightarrow \begin \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt\geq 1,\ \sqrt\ne 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end \Rightarrow \begin 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_<2x+1>0,8\lt\log_<4x-1>0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin \begin 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end \Rightarrow \begin 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow \begin x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\ <0;\frac12\right\>\end \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end Если логарифмы разных знаков: \begin \begin \log_<2x+1>0,8\lt 0\\ \log_<4x_1>0,8\gt 0 \end \Rightarrow \begin \log_<0,8>(2x+1)\lt 0\\ \log_<0,8>(4x-1)\gt 0 \end \Rightarrow \begin 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end \Rightarrow \begin x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. Решите неравенство:
a) \( \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt 1 \) \begin \log_<0,5>\log_4\frac<2x-1>\lt \log_<0,5>0,5\\ \begin \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5\\ \log_4\frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt 0,5 \Rightarrow \log_4\frac<2x-1>\gt\log_4 2 \Rightarrow \begin \frac<2x-1>\gt 2\\ \frac<2x-1>\gt 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \frac<2x-1>\gt 2 \Rightarrow \frac<2x-1>-2\gt 0 \Rightarrow \frac<2x-1-2x-2>\gt 0\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac<3>\gt 0\Rightarrow x+1\lt 0\Rightarrow x\lt -1 \end Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\)

б) \( \log_(3x+4)\gt 1 \)
\(\log_(3x+4)\gt \log_x^2\) \begin \left[ \begin \begin x^2\gt 1\\ 3x+4\gt x^2\gt 0 \end \\ \begin 0\lt x^2\lt 1\\ 0\lt 3x+4\lt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin (x-1)(x+1)\gt 0\\ x^2-3x-4\lt 0\\ x^2\gt 0 \end \\ \begin x^2\gt 0\\ (x-1)(x+1)\lt 0\\ 3x+4\gt 0\\ x^2-3x-4\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end \\ \begin x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin \frac<1+\log_(x-3)><\log_2>= \frac<1+\frac<\log_2(x-3)><\log_2(x+1)>><\frac<1><\log_2(x+1)>>= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. Решаем основное неравенство:
\((x+1)(x-3)\geq 2x-3\)
\(x^2-2x-3\geq 2x-3\)
\(x^2-4x\geq 0\)
\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac<\lg x><\lg 3>\cdot\frac<\lg 3x><\lg 2>=\frac<\lg x><\lg 2>\cdot \frac<\lg 3x><\lg 3>=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end Получаем совокупность: \begin \left[ \begin \begin \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end \\ \begin \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end \\ \begin \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 2x\geq \frac<1> <3x>\end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 2x\leq \frac<1> <3x>\end \end \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ \frac<6x^2-1><3x>\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ 6x^2-1\geq 0 \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ 6x^2-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 1\\ x\leq-\frac<1><\sqrt<6>>\cup x\geq \frac<1><\sqrt<6>> \end \\ \begin 0\lt x\leq 1\\ -\frac<1><\sqrt<6>>\leq x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\geq 1\\ 0\lt x\leq\frac<1><\sqrt<6>> \end \right. \end Ответ: \(x\in\left.\left(0;\frac<1><\sqrt<6>>\right.\right]\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right)\)

Пример 5. Решите систему:
a) \( \begin \log_3(x+21)-\log_3(x-4)\geq 1\\ 9^\lt 3^ <4x+2>\end \) \begin \begin \log_3\frac\geq\log_3 3\\ x+21\gt 0\\ x-4\gt 0\\ 9^\lt 3^ <2(2x+1)>\end \Rightarrow \begin \frac\geq 3\\ x\gt -21\\ x\gt 4\\ 9^\lt 9^ <2x+1>\end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ x\gt 4\\ x+1\lt 2x+1 \end \Rightarrow \begin \frac<-2x+33>\geq 0\\ x\gt 4\\ x\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2x+33\geq 0\\ x\gt 4 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin x\leq 16,5\\ x\gt 4 \end \Rightarrow 4\lt x\leq 16,5 \end Ответ: \(x\in\left.\left(4;16,5\right.\right]\)

б) \( \begin \log_<\frac13>(12+x)+\log_3(3-x)\lt\log_9\frac14\\ 0,7^<-x>\leq 0,7^<\sqrt> \end \)
\( \log_<\frac13>(12+x)=\log_<3^<-1>>(12+x)=-\log_3(12+x),\ \ \log_9\frac14=\log_3\frac12 \) $$ \begin -\log_3(12+x)+\log_3(3-x)\lt \log_3\frac12\\ -x\geq\sqrt \end $$ Решаем логарифмическое неравенство c ОДЗ условия: \begin \begin \log_3\frac<3-x><12+x>\lt\log_3\frac12\\ 12+x\gt 0\\ 3-x\gt 0 \end \Rightarrow \begin \frac<3-x><12+x>\lt\frac12\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \begin \frac<2(3-x)-(12+x)><12+x>\lt 0\\ x\gt -12\\ x\lt 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin \frac<-3x-6>\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin -3x-6\lt 0\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow \begin x\gt -2\\ -12\lt x\lt 3 \end \Rightarrow -2\lt x\lt 3 \end Решаем иррациональное неравенство: \begin \sqrt\leq -x\Rightarrow \begin -x\geq 0\\ x+2\geq 0\\ x+2\leq(-x)^2 \end \Rightarrow \begin x\leq 0\\ x\geq -2\\ x^2-x-2\geq 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin -2\leq x\leq 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Получаем систему решений: \begin \begin -2\lt x\lt 3\\ -2\leq x\leq -1 \end \Rightarrow -2\leq x\leq -1 \end Ответ: \(x\in\left.\left(-2;-1\right.\right]\)

в) \( \begin \log_<\sqrt<5>>\sqrt\leq 0\\ \left(\frac12\right)^<1-4x>\gt 32 \end \)
Здесь важно не потерять модуль: \(\sqrt=\sqrt<(x-3)^2>=|x-3|\)
ОДЗ: \(|x-3|\gt 0\Rightarrow x\ne 3\) \begin \begin \log_<\sqrt<5>>|x-3|\leq 0\\ 2^<-1(1-4x)>\gt 2^5 \end \Rightarrow \begin |x-3|\leq 1\\ 4x\gt 6\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin -1\leq x-3\leq 1\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin 2\leq x\leq 4\\ x\gt 1,5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow 2\leq x\lt 3\cup 3\lt x\leq 4 \endОтвет: \(x\in\left.\left[2;3\right.\right)\cup \left.\left(3;4\right.\right]\)

г*) \( \begin 11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt \sqrt<11>^<2x>\\ \log_<3x-1>27 \lt 2 \end \)
Решаем показательное неравенство:
\( \sqrt<11>^<2x>=11^x \)
\(11^<\sqrt<2x^2+x-6>>\gt 11^x\) \begin \sqrt<2x^2+x-6>\gt x\Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ 2x^2+x-6\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ 2x^2+x-6\gt x^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ (2x-3)(x+2)\geq 0 \end \\ \begin x\geq 0\\ x^2+x-6\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\lt 0\\ x\leq -2\cup x\geq 1,5 \end \\ \begin x\geq 0\\ (x+3)(x-2)\gt 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\leq -2 \\ \begin x\geq 0\\ x\lt -3\cup x\gt 2 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -2\cup x\gt 2 \end Решаем логарифмическое неравенство: \begin \log_<3x-1>27\lt 2\Rightarrow \log_<3x-1>27\lt\log_<3x-1>(3x-1)^2\\ \left[ \begin \begin 3x-1\gt 1\\ 27\lt(3x-1)^2 \end \\ \begin 0\lt 3x-1\lt 1\\ 27\gt(3x-1)^2 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin 3x\gt 2\\ 27\lt 9x^2-6x+1 \end \\ \begin 1\lt 3x\lt 2\\ 27\gt 9x^2-6x+1 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt\frac23\\ 9x^2-6x-26\gt 0 \end \\ \begin \frac13\lt x\lt \frac23\\ 9x^2-6x-26\lt 0 \end \end \right. \end Исследуем параболу \(f(x)=9x^2-6x-26\)
\(D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt=6\cdot 3\sqrt<3>=18\sqrt<3>\)
\(x_<1,2>=\frac<6\pm 18\sqrt<3>><18>=\frac13\pm\sqrt<3>\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin \left[ \begin \begin x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt<3>\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \\ \begin \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt<3>\lt x\lt\frac13+\sqrt <3>\end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x\gt\frac13+\sqrt<3>\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end Получаем систему решений: \begin \begin x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \end Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt<3>\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt<3>\)
\(\frac<25><9>\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt<3>\)
Значит, из \( \begin x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt <3>\end \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt <3>\)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt<3>;+\infty\right)\)

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).