Логарифмические уравнения замена переменной разложение на множители

Решение логарифмических уравнений — примеры с решениями

Решение простейших логарифмических уравнений

Как известно, решение простейшего логарифмического уравнения log_ax=b — это x=a b . Другими словами, простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b имеет единственный корень, которым является степень a b .

Первый пример. Проще некуда.

Решите уравнение log₅x=2

Все понятно без слов:
log₅x=2
x=5 2
x=25

При решении простейших логарифмических уравнений переход от log_ax=b к x=a b , обычно, не представляет сложности. Часто, куда сложнее вычислить значение степени a b или упростить ее вид. Следующие примеры иллюстрируют сказанное.

Второй пример. А вычислить значение?

Решите логарифмическое уравнение

Это простейшее логарифмическое уравнение. Оно имеет единственный корень . Очевидно, полученная степень нуждается в доработке.

Сначала заменим квадратный корень из семи степенью: .

Остается вспомнить, как определяется степень с отрицательным показателем, и закончить вычисления:

На этом решение простейшего логарифмического уравнения завершено.

Третий пример. Извольте упростить.

Начинаем со стандартного при решении простейших логарифмических уравнений перехода:

Надо бы упростить полученную степень.

Возвести дробь в минус первую степень – это кувыркнуть ее вверх ногами:

Теперь глаза мозолит иррациональность в знаменателе, исправим эту ситуацию:

Таким образом, — искомое решение простейшего логарифмического уравнения.

Решение логарифмических уравнений разными методами

Сейчас пройдемся по всем основным методам решения логарифмических уравнений, и рассмотрим решения наиболее характерных и интересных, по нашему мнению, логарифмических уравнений.

по определению логарифма

По определению логарифма в первую очередь проводится решение логарифмических уравнений log_af(x)=b , где a и b — числа, причем a>0 , a≠1 , а f(x) – выражение с переменной x , таких как log₂(x 2 +4·x+3)=3 , и др. Решение состоит в переходе от уравнения log_af(x)=b к уравнению f(x)=a b . Например, решение логарифмического уравнения log₂(x 2 +4·x+3)=3 с опорой на определение логарифма заменяется решением уравнения x 2 +4·x+3=2 3 .

На определение логарифма можно опираться и при решении логарифмических уравнений log_h(x)f(x)=g(x) , таких как log_x(x 2 −3·x+6)=2 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и др. Решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заключается в решении уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Например, чтобы решать логарифмическое уравнение log_x(x 2 −3·x+6)=2 по определению логарифма, надо решить уравнение x 2 −3·x+6=x 2 , и взять все корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.

• Чтобы решить логарифмическое уравнение log_af(x)=b по определению логарифма, надо перейти к уравнению f(x)=a b и найти его решение.
• А чтобы решить по определению логарифма уравнение log_h(x)f(x)=g(x) , надо перейти к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) , решить его, и взять корни, принадлежащие ОДЗ для исходного логарифмического уравнения.

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений.

Обычно решение оформляется кратко:

А теперь поясним, какие рассуждения за всем этим скрываются.

Заданное логарифмическое уравнение имеет вид log_af(x)=b , где f(x)=2·x−4 , a=1/2 , b=−2 . Такое логарифмическое уравнение можно решать по определению логарифма, то есть, заменять решение уравнения log_af(x)=b решением уравнения f(x)=a b .

Итак, переходим от исходного уравнения к уравнению . Это рациональное уравнение, решаем его:

Так получено решение исходного логарифмического уравнения.

Пример. Не забыть про проверку.

Решите логарифмическое уравнение log_x(−x 2 +5·x+3)=2

Заданное уравнение можно рассматривать как уравнение log_h(x)f(x)=g(x) , где f(x)=−x 2 +5·x+3 , h(x)=x , g(x)=2 , и мы знаем, что такие уравнения можно решать по определению логарифма. Решение этим методом на первом этапе предполагает переход от уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x)) g(x) . Имеем −x 2 +5·x+3=x 2 .

Теперь нам надо решить полученное уравнение −x 2 +5·x+3=x 2 . Оно сводится к квадратному уравнению 2·x 2 −5·x−3=0 . Решаем его:

Остается пройти последний шаг решения логарифмического уравнения по определению логарифма – выяснить, какие из корней принадлежат ОДЗ для исходного уравнения. ОДЗ для исходного логарифмического уравнения log_x(−x 2 +5·x+3)=2 определяется системой .

Очевидно, не удовлетворяет второму условию, значит, это посторонний корень для исходного уравнения. А корень x₂=3 удовлетворяет всем условиям: . Значит, x₂=3 – это корень уравнения log_x(−x 2 +5·x+3)=2 .

На этом решение завершено. Уравнение имеет единственный корень 3 .

Естественно, так подробно решение не описывают. Обычно его оформляют кратко, но без ущерба для логики действий, например, так:

методом потенцирования

Метод потенцирования применяется для решения логарифмических уравнений, части которых являются логарифмами с одинаковыми основаниями, например, log₅(x−1)=log₅7 , и др. Решение логарифмических уравнений методом потенцирования состоит в переходе от уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. Так решение уравнения можно заменить решением уравнения x+1=x 2 −1 на ОДЗ для исходного уравнения.

Название метода становится понятным, если вспомнить, что потенцирование – это восстановление выражения по его логарифму.

Обосновать метод можно, сославшись на свойства логарифмов. Из них мы знаем, что логарифмы двух положительных чисел с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны сами числа, то есть, , a>0 , a≠1 , b₁>0 , b₂>0 . Так вот переход от логарифмического уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) — это аналог замены log_ab₁=log_ab₂ на b₁=b₂ , а нахождение в рамках ОДЗ для исходного уравнения – это аналог выполнения условий a>0 , a≠1 , b₁>0 , b₂>0 .

Итак, чтобы решить логарифмическое уравнение log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) методом потенцирования, надо

• Перейти к уравнению f(x)=g(x) .
• Решить полученное уравнение.
• И взять корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, остальные отбросить как посторонние. Другими словами, провести отсеивание посторонних корней.

Остается рассмотреть пример с решением.

Мы видим, что части уравнения являются логарифмами с одинаковыми основаниями. Подобные логарифмические уравнения удобно решать методом потенцирования.

Согласно выбранному методу, переходим от исходного уравнения к уравнению x+1=x 2 −1 .

Теперь нам надо решить полученное уравнение x+1=x 2 −1 . Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и приведение подобных слагаемых дает квадратное уравнение x 2 −x−2=0 , которое можно решить, например, через дискриминант:

Остается проверить принадлежность найденных корней области допустимых значений переменной x для исходного уравнения. Для нашего логарифмического уравнения ОДЗ определяют два условия x+1>0 и x 2 −1>0 . Очевидно, x₁=−1 не удовлетворяет первому условию ( −1+1>0 — неверное), значит, это посторонний корень для решаемого уравнения. А корень x₂=2 удовлетворяет обоим условиям ( 2+1>0 – верное, 2 2 −1>0 — верное). Значит, он является корнем уравнения .

На этом решение логарифмического уравнения методом потенцирования завершено. Уравнение имеет единственный корень, им является число 2 .

методом разложения на множители

Пример. Все как всегда.

Решение логарифмического уравнения можно провести методом разложения на множители, так как в левой части уравнения находится произведение двух выражений с переменной, а в правой – нуль.

Первый шаг – переход к совокупности уравнений:

Второй шаг – решение полученных логарифмических уравнений.

Первое уравнение можно решить по определению логарифма, а второе — методом потенцирования, после предварительного переноса второго логарифма в правую часть со знаком «плюс»:

На последнем шаге остается выяснить, принадлежат ли найденные корни 2 и 5 ОДЗ для решаемого логарифмического уравнения :

На этом решение логарифмического уравнения методом разложения на множители завершено.

путем введения новой переменной (замены переменной)

Решение логарифмических уравнений методом введения новой переменной, как правило, проводится в следующих типичных ситуациях:

• Когда переменная находится в составе некоторой сложной функции, как, например, в уравнении
• Когда переменная фигурирует в нескольких одинаковых выражениях и нигде более. Вот примеры логарифмических уравнений, соответствующие сказанному:

(часто, одинаковые выражение с переменной прячут за свойствами степеней, и приведенное выше в пример логарифмическое уравнение, скорее, будет выглядеть так или так )

Пример №1. Вводить или не вводить?

Решите логарифмическое уравнение

Введение новой переменной 2−log₂x=t позволяет перейти от логарифмического уравнения к сравнительно простому уравнению t 4 =16 с понятной структурой и очевидным решением:

Возврат к старой переменной дает два логарифмических уравнения 2−log₂x=2 и 2−log₂x=−2 , решив которые находим интересующее нас решение исходного уравнения:

Итак, логарифмическое уравнение имеет два корня 1 и 16 .

В заключение заметим: введение новой переменной в подобных и, прямо скажем, простых ситуациях настолько прозрачно, что его проводят «в уме», и не отражают в решении:

Пример №2. Оказывается, оно квадратное.

Выражения 2 2·(log₅x) 2 и 2 (log₅x) 2 , в которых содержится переменная в заданном логарифмическом уравнении, почти одинаковые. Различие вносит лишь число 2 в показателе первой степени. Здесь несложно догадаться, что по свойству степени в степени, выражение 2 2·(log₅x) 2 можно переписать как (2 (log₅x) 2 ) 2 , что открывает дорогу к замене переменной 2 (log₅x) 2 =t и переходу к квадратному уравнению t 2 −15·t−16=0 с новой переменной t .

Итак, проведем решение логарифмического уравнения через замену переменной:

Пример. Взаимно обратные логарифмы.

Решите логарифмическое уравнение

Здесь полезно вспомнить следствие из формулы перехода к новому основанию логарифма, которому отвечает формула log_ab=1/log_ba , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 . Так возникает идея обозначить один из логарифмов в заданном логарифмическом уравнении за t , тогда другой логарифм будет выражаться через новую переменную t как 1/t .

Остается вернуться к старой переменной x , и закончить решение. Мы принимали log_x+3(3·x+13)=t и нашли t=2 , поэтому

Итак, логарифмическое уравнение имеет единственное решение 1 .

дробь равна нулю

Решите логарифмическое уравнение

Решение логарифмических уравнений, в левых частях которых находится дроби, а в правых – нули, проводится в соответствии с методом решения уравнений «дробь равна нулю». При этом надо приравнять числитель дроби к нулю, и решить это уравнение на ОДЗ для исходного уравнения.

Итак, решение начинаем с приравнивания к нулю числителя дроби из левой части заданного уравнения. Это дает уравнение log₃(x−3) 2 −4=0 , которое равносильно уравнению log₃(x−3) 2 =4 . Решение полученного логарифмического уравнения можно провести по определению логарифма:

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений переменной x для исходного логарифмического уравнения. В нашем случае условий, которые определяют ОДЗ, довольно много, поэтому, кажется, рациональнее действовать через непосредственную подстановку. Подставим найденные корни в исходное уравнение и посмотрим, что при этом получается.

Подстановка x₁=12 дает верное числовое равенство

Поэтому, 12 является корнем.

При подстановке x₂=−6 получается не имеющее смысла выражение , так как под знаками логарифмов в знаменателе – отрицательные числа. Значит, −6 – посторонний корень.

методом логарифмирования

Решение логарифмических уравнений в определенных случаях приходится проводить через логарифмирование обеих частей уравнения. Обычно, к логарифмированию прибегают тогда, когда в одной части уравнения находится показательно степенное выражение, а в другой – положительное число, как в следующих уравнениях , и т.п.

Давайте решим одно из них, чтобы стало понятно, что дает логарифмирование уравнения.

Пример. Дожили, лог уравнения логарифмируем

Данное уравнение – это типичный представитель уравнений, для решения которых используется метод логарифмирования. В левой части уравнения – степень, на ОДЗ для уравнения эта степень принимает только положительные значения. Это открывает возможность прологарифмировать обе части заданного уравнения. В нашем случае логарифмирование целесообразно проводить по основанию 2 , так как в исходном уравнении присутствует логарифм с таким основанием. Так и поступим:

Для нашего уравнения ОДЗ определяется условием x>0 . Поэтому, мы спокойно можем вынести степень из-под знака логарифма, оперевшись на соответствующее свойство логарифмов (подробнее про решение логарифмических уравнений через преобразования поговорим в одном из следующих пунктов):

И это, собственно, то, ради чего логарифмирование затевалось – привести логарифмическое уравнение к более простому и привычному виду. Дальнейшие преобразования не требуют комментирования:

Полученное логарифмическое уравнение, очевидно, можно решить методом замены переменной:

графическим методом

К решению логарифмических уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда, во-первых, функции, отвечающие частям заданного логарифмического уравнения, довольно простые в плане построения их графиков, и, во-вторых, не видно других более простых вариантов получить решение.

Пример. Графически так графически.

Сколько корней имеет уравнение

Сама формулировка задания подсказывает, что, скорее всего, решить уравнение, что называется, в лоб, и указать не только количеств корней, но и сами эти корни, не выйдет. Иначе бы вопрос стоял «решить уравнение». Действительно, путей решения этого уравнения не видно.

Однако, количество корней удобно определять по графикам функций, соответствующих частям уравнения. Более того, в данном случае построить графики этих функций довольно просто. Нам хорошо известны функции и y=log₂x и их графики. Графики интересующих нас функций и y=log₂(x−2) будут иметь схожую геометрию с точностью до преобразований растяжения и симметрии. Поэтому, нам достаточно взять несколько опорных точек, чтобы изобразить нужные кривые. Давайте получим их, учитывая, что область определения функции — это x≤15/4 , а область определения функции y=log₂(x−2) — это x>2 .

Отмечаем эти точки на плоскости в прямоугольной системе координат, соединяем их плавными линиями, и чертеж готов:

Видно, что графики имеют одну точку пересечения на отрезке от трех до пятнадцати четвертых. Больше их быть не может, так как функция убывает на указанном отрезке от до нуля, а функция y=log₂(x−2) возрастает на этом отрезке от нуля до log₂(7/4) .

Это позволяет нам утверждать, что уравнение имеет один корень.

через подбор корня и возрастание-убывание функций

Решение логарифмических уравнений иногда приходится проводить, основываясь на возрастании и убывании функций, соответствующих частям уравнения. Это касается ситуаций, когда простые и привычные пути решения не просматриваются, но зато очевиден или легко подбирается корень логарифмического уравнения, а также легко обосновывается возрастание и убывание соответствующих функций. Приведем пример.

Пример. Подбор и единственность.

Для заданного уравнения не видно других подходов к решению, кроме как обращаться к функциям и их свойствам. Можно строить графики, но делать это для функции, отвечающей правой части уравнения, не очень приятно из-за довольно «большого» числа 11 и довольно «высокой» степени 5 . Попробуем обойтись без чертежа.

Вместо этого обопремся на возрастание логарифмической функции, отвечающей левой части уравнения, и убывание функции, отвечающей правой части уравнения (она убывает, как возрастающая от убывающей). Это позволяет утверждать, что если уравнение имеет корень, то он единственный. А найти корень позволяет подбор по рекомендациям, данным в статье, посвященной методу решения уравнений через возрастание-убывание, – им является число 10 .

На этом решение логарифмического уравнения завершено.

методом оценки

Пример. Оценить и дорешать.

Своего рода оценочная классика: логарифм, синус, косинус, корень – все в одном уравнении. Итак, пробуем провести решение уравнения методом оценки. Но сначала, все же, квадратный корень из квадрата заменим модулем:

Теперь к оценкам.

Косинус принимает значения из отрезка −1 до 1 , а его модуль – [0, 1] . Следовательно, . С другой стороны, как четная степень, откуда . Таким образом, значения выражения из левой части уравнения не превосходят 1 , а значения выражения из правой части уравнения не меньше 1 . Это позволяет нам заменить решение исходного уравнения решением следующей системы

Что делать с первым уравнением системы — сразу не понятно, зато вполне реально получить решение второго логарифмического уравнения:

Теперь путем подстановки выясним, удовлетворяют ли найденные корни логарифмического уравнения 2 и 3 первому уравнению системы, а значит, системе в целом, и исходному уравнению.

Давайте начнем с числа 3 , с ним все просто:

Это верное равенство, следовательно, 3 – решение системы и корень исходного уравнения.

А вот с числом 2 придется повозиться.

Это равенство неверное (обоснуем чуть ниже), следовательно, 2 – не является решением системы, и не является корнем исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет один единственный корень 3 .

А вот обещанное обоснование.

Модуль косинуса равен единице, если аргумент косинуса равен . А не равно sin10 ни при каком целом k . Действительно, при k=0 , очевидно, sin10≠0 . При любом другом целом k равенство неверное, так как значения синуса находятся в отрезке от −1 до 1 .

через ОДЗ

Решение логарифмических уравнений часто требует нахождения ОДЗ: когда для проведения преобразований, когда для проверки. А порою ОДЗ позволяет даже получить решение.

Пример. ОДЗ от безысходности.

Беглый анализ уравнения, можно сказать, ставит в тупик относительно способа его решения. И почти единственным и, так или иначе, адекватным мероприятием выглядит нахождение ОДЗ. Что называется, в любом случае пригодится.

Вот как все обернулось: ОДЗ есть пустое множество. Следовательно, уравнение не имеет корней.

методом освобождения от внешней функции

Признаемся, почти никогда для решения логарифмических уравнений не приходилось прибегать к методу освобождения от внешней функции. Однако для полноты картины не помешает привести решение соответствующего примера.

Пример. Попробуй разгляди.

Найдите решение уравнения

Как тут действовать? Непонятно, что здесь можно предложить в альтернативу методу освобождения от внешней функции.

А так заданное логарифмическое уравнение можно рассматривать как уравнение , где функция f такая, что . Очевидно, f – возрастающая функция как сумма двух возрастающих. Это позволяет освободиться от внешней функции f в уравнении , то есть, на ОДЗ перейти к уравнению .

Здесь заметим, что область допустимых значений переменной для полученного уравнения совпадает с ОДЗ для исходного уравнения (она такова ). Значит, решение полученного уравнения является решением исходного уравнения.

Остается решить логарифмическое уравнение , что можно сделать через потенцирование:

Решение логарифмических уравнений через преобразование

Редкий раз решение логарифмических уравнений обходится без проведения преобразований. Характерными для логарифмических уравнений являются преобразования, проводящиеся на базе свойств корней и степеней. Все они по отдельности разобраны в статье «Преобразование логарифмических уравнений». Здесь мы рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений со сравнительно сложными последовательностями преобразований.

Для начала напомним о необходимости использования модулей при вынесении четных показателей степеней из-под знаков логарифмов, а также при переходе от логарифмов произведений (частных) к суммам (разностям) логарифмов.

Пример. Про модуль не забыть.

Решите логарифмическое уравнение

Просматривается возможность прийти к одинаковым логарифмам в левой части уравнения. Для начала вынесем показатель 2 из-под знака логарифма, и так как он есть четное число, то не забудем про модуль:

Для раскрытия модуля нам потребуется ОДЗ для исходного уравнения:

С учетом этого, имеем

Дальше все просто:

Теперь еще раз обратим внимание на преобразование квадратов, кубов и других степеней логарифмов. Уж очень часто приходится видеть неверные преобразования, типа , вместо , или , вместо и т.п.

Пример. Квадраты логарифмов.

Просматривается возможность упростить вид заданного логарифмического уравнения. Для начала перепишем его как , чтобы не наделать ошибок при преобразовании квадратов логарифмов. Дальше все довольно прозрачно:

Теперь пора ввести новую переменную:

Остается вернуться к старой переменной:

Наконец, рассмотрим пример решения довольно сложного логарифмического уравнения, где сильно переплетены степени и логарифмы.

Просматриваются черты основного логарифмического тождества. Сейчас поработаем в этом направлении. Но сначала давайте найдем область допустимых значений переменной x – она бывает нужна при проведении преобразований и при проведении проверки. Тем более, в нашем случае ОДЗ находится легко:

Теперь приступаем к преобразованию:

А дальше все легко:

При найденных значениях переменной знаменатели дробей в уравнении в нуль не обращаются, а также 0 и 2 принадлежат ОДЗ для исходного уравнения, следовательно, являются его корнями.

Решение однородных логарифмических уравнений

В задачниках встречаются логарифмические уравнения, которые являются однородными уравнениями относительно некоторых логарифмов. Например, lg 2 (x+1)−lg(x+1)·lg(x−1)−2·lg 2 (x−1)=0 – это логарифмическое уравнение, однородное относительно логарифмов lg(x+1) и lg(x−1) .

Решение однородных логарифмических уравнений завязано на преобразовании, заключающемся в делении обеих частей уравнения на «старшую» степень одного из логарифмов, что в дальнейшем позволяет ввести новую переменную. При этом необходимо отдельно проверять, не являются ли корнями уравнения те значения переменной, при которых обращается в нуль логарифм, на который планируется проводить деление. Давайте обратимся к конкретному примеру.

Возьмем наше уравнение lg 2 (x+1)−lg(x+1)·lg(x−1)−2·lg 2 (x−1)=0 . Оно, как мы отметили, является однородным относительно логарифмов lg(x+1) и lg(x−1) . Давайте разделим обе части этого уравнения на старшую степень второго из этих логарифмов, то есть, на lg 2 (x−1) . Но, как известно, делить обе части уравнения мы имеем право только на выражение, не обращающееся в нуль, в противном случае можно потерять корни. Поэтому, стоит отдельно проверить, не являются ли корнями уравнения значения переменной, при которых lg 2 (x−1)=0 , а уже после этого спокойно проводить задуманное деление, не опасаясь потерять корни. В нашем случае lg 2 (x−1)=0 только при x=2 . Но x=2 не является решением исходного уравнения, так как его подстановка в исходное уравнение дает неверное числовое равенство. Теперь можно переходить к делению, считая lg 2 (x−1)≠0 . Имеем:

Дальше напрашиваются следующие преобразования

Остается закончить решение, воспользовавшись методом введения новой переменной. Приняв , имеем

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

так как выражения log₂(-8) и log₂(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log₂х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x₁, x₂, . . . ,x_n существует тождество :

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log_a1= 0, следовательно,

А значит имеет место равенство:

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Свойства логарифмов

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

( основное свойство логарифмов ),

( основное свойство логарифмов ),

Проверь удачу, набери 60+

Математика – это систематицация и результат, а общественные науки и история – процесс осмысления результата.

Пример Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь .
4. Делаем проверку
5. Записываем ответ.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма: Применяем эти знания и получаем: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим: Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: Делаем проверку: Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием. Преобразуем правую часть уравнения: Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему: Перепишем нашу систему: Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: Теперь решаем наше уравнение: Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

	( формула перехода к новому основанию логарифмов ),
	( основное свойство логарифмов ), ( основное свойство логарифмов ), ( формула перехода к новому основанию логарифмов ), Степень можно выносить за знак логарифма И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Логарифм произведения и логарифм частного log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Формула перехода к новому основанию Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Сумма логарифмов. Разница логарифмов Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно! Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Логарифмический ноль и логарифмическая единица Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить. При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере: Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения. Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так: Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2. Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: То есть в нашем случае: То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма: Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней: Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения. Еще один пример решения логарифмического уравнения: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант: Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения. Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень. Сравнение логарифмов Если 0 1 2 , то
log a x 1 > log a x 2 – знак неравенства меняется
Если a > 1 и 0 1 2 , то
log a x 1 a x 2 – знак неравенства не меняется
Если 1 1, то log a x > log b x
Если 0 1, то log a x > log b x
Если 1 a x b x
Если 0 a x b x