Логарифмическим называется уравнение которое содержит

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ alt=’2^<\log _<4>\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )>><2>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Решение логарифмических уравнений. Часть 1

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

в зависимости от того, какое неравенство или проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:

1 . Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду

Пример. Решим уравнение:

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.

Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения — из соображений, что умножать проще, чем делить:

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:

Получим уравнение:

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:

Ответ: х=5

2 . Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.

Пример. Решим уравнение:

Найдем ОДЗ уравнения:

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.

Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:

Вернемся к исходной переменной:

Ответ: ,

Решение логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

Лекция по математике тема: «Логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Логарифмические уравнения

1. Определение логарифмического уравнения

2. Решение простейших уравнений

4. C ведение уравнений к виду log _a f ( x ) = log _a g ( x ) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

5. Уравнения вида Alog _a f ( x ) + Blog _b g ( x ) + C = 0.

6. Введение новой переменной

Определение логарифмического уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида log _a x = b (где а>0, и а ≠1).

Функция у= log _a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке

(0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.

Решение простейших уравнений

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f ( x ). Уравнение равносильно следующей системе

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f ( x ) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример 2.2. log ₃ (5х – 1) = 2.

Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log ₃ (5х– 1) = 2, log ₃ (5х – 1) = log ₃ 3 2 , 5х — 1 =9,
х = 2. Ответ: 2.

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2 х 2 – 2 х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2 х 2 – 2 х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2 х 2 – 2 х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения ( f ( x )) c = b или равносильного уравнения

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

не равносильно исходному.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f ( x ) = g ( x ).

Переход от уравнения log _a f ( x ) = log _a g ( x ) к уравнению f ( x ) = g ( x ) называется потенцированием .

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f ( x ) > 0, g ( x ) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f ( x ) = g ( x ) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример 3.1 log ₃ ( x 2 – 3 x – 5) = log ₃ (7 – 2 x ).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

Потенцируя данное уравнение, получаем х 2 – 3 х – 5 = 7 – 2 х ,

х 2 – х – 12 = 0, откуда х ₁ = –3, х ₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f ( x ) = log _a g ( x ) используются следующие свойства логарифмов:

Пример 4. 1. log ₆ ( x – 1) = 2 – log ₆ (5 x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log ₆ (( x – 1)(5 x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

( х – 1)(5 х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

Пример 4. 2.

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

(3 x – 1)( x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log ₅ ( x + 3) 2 = 0. По определению логарифма

( х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Решение. На области определения 0 x x = x 2 , откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 5. 1.

Решение. Область определения уравнения 1 x

Так как 3 = log ₂ 8, то на области определения получим равносильное уравнение (2– x )/( x –1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.

Пример 5. 2.

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4). Ответ. х = 6.

Пример 5. 3.

Решение. Область определения уравнения x > –1, x  0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃ ( x + 1)  0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим ( log ₃ ( x + 1)–1) 2 = 0, откуда log ₃ ( x + 1) = 1 и

Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида где a > 0, a  1, A , В , С – действительные числа .

Решив его, найдём х из подстановки t = log _a f ( x ). Учитывая область определения, выберем только те значения x , которые удовлетворяют неравенству f ( x ) > 0.

Пример 6. 1 . lg 2 x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x , t  R .

Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t ₁ = –2, t ₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 –2 или х = 10 3 . Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения ( х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 6. 2 .

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнени е

Так как х x | = – x и следовательно

Введём новую переменную t = log ₃ (– x ), t  R . Квадратное уравнение

t 2 – 4 t + 4 = 0имеет два равных корня t _1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log ₃ (– x ) = 2, отсюда – х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.

Уравнения вида где a > 0, a  1, A , В , С – действительные числа , A  0, В  0 .

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log _a f ( x )  0. Учитывая, что log _a f ( x ) log _f ₍ _x ₎ a = 1

Замена log _a f ( x )= t , tR приводит его к квадратному At 2 + C t + B = 0.

Из уравнений log _a f ( x )= t ₁ , log _b f ( x )= t ₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f ( x ) > 0, f ( x )  1.

Пример. 6.3

Решение. Область определения уравнения находим из условий x +2>0, x +2  1 , т.е. x >–2, x  –1 . Умножим обе части уравнения на log ₅ ( x + 2)  0, получим

или, заменив log ₅ ( x + 2) = t , придем к квадратному уравнению t 2 – t – 2 = 0, t ₁ = –1, t ₂ =2.