Логарифмическое уравнение комбинированное с показательным

Общие методы решения показательных и логарифмических уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок обобщения материала по теме:

«Общие методы решения показательных

и логарифмических уравнений.

ЦЕЛЬ:  способствовать формированию у учащихся обобщенных

понятий, умения применить приемы обобщения, выделение

главного, переноса знаний в новую ситуацию,

способствовать развитию творческих способностей учащихся путем решения нестандартных заданий

побуждать учащихся к самоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности

тесты ЕГЭ 2005-2006,

плакаты «Обобщающие методы решений уравнений»,

модель ракеты, ракушка.

ЗНАНИЯ 

Свойства степени с одинаковым основанием

Определение показательного уравнения

Логарифмическая функция и её свойства

Определение логарифмического уравнения

методы решения показательных уравнений

методы решения логарифмических уравнений

Анализ содержания изученного материала:

а) проверка опорных знаний

б) анализ домашней работы

Обобщение и систематизация

а) методы решения уравнений

Контроль и самоконтроль: тестирование

I . ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Записать: число, классная работа.

— Равенство, содержащее неизвестное число, называется …

— Значение неизвестного числа в уравнении называется …

— Решить уравнение, это значит …

(найти его корни или доказать, что их нет)

«Математика – это полёт» — говорил прославленный военный летчик Валерий Чкалов. Сегодня – 12 апреля, День космонавтики. На ВДНХ в Москве установлен памятник космонавтам (показать модель). Какую функцию он вам напоминает? (показательную).

Дать определение показательной функции и перечислить её свойства.

Какая функция является исходной для данной спирали на ракушке?

Дать определение логарифмической функции и перечислить её свойства.

— Уравнения, происходящие от данных функций называются …

— А теперь сформулируйте тему сегодняшнего урока с учетом перечисленных понятий (учащиеся формулируют тему, учитель делает коррекцию, ученики записывают тему в тетрадях).

— Сегодня на уроке мы будем работать под известным латинским изречением:

« Rapetitio est mater studorum » («Повторение – мать учения»)

— Какова же цель нашего урока?

— Сегодня мы обобщим методы решения показательных, логарифмических и комбинированных уравнений, которые встречаются в заданиях ЕГЭ, проверим, как усвоен материал и над чем надо поработать.

АНАЛИЗ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

а) Задания по вариантам (по одному ученику у доски для проверки)

1) Дать определение показательного уравнения

2) Записать свойства степеней с одинаковым основанием

1) Дать определение логарифмического уравнения

2) Записать свойства логарифма

б) Дома было задание творческого характера. Учащимся надо было решить задания по карточкам и сделать классификацию методов решения.

Карточка 1. Показательные уравнения

Свойства степеней с одинаковым основанием

Определение степени с отрицательным показателем

Введение новой переменной

Вынесение общего множителя

Деление на правую (левую) часть

Разложение на простые множители

Использование монотонности функций

ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

— Давайте остановимся на методах решения показательных уравнений. Сведем их в таблицу. Каким методом еще можно было бы решить последнее уравнение? (графическим).

(Вывешивается таблица методов решения и ряд уравнений)

Методы решения показательных уравнений

2. Свойства степеней с одинаковым основанием

3. Использование определения степени с отрицательным показателем

4. Вынесение общего множителя

5. Метод введения новой переменной

6. Деление на правую (левую) часть

7. Метод однородности

8. Разложение на простые множители

9. Использование монотонности функции

10. Графический метод

В чём заключается метод однородности?

; ; ; ;

Карточка 2. Логарифмические уравнения

По определению логарифма

Использование основного логарифмического тождества

(метод потенцирования)

Введение новой переменной

Разложение на множители

Какое главное требование к решению логарифмических уравнений? (должна быть проверка или ОДЗ)

Какой из методов не требует проверки?

Когда используется функционально-графический метод? (когда в уравнение входят логарифмическая функция и любая другая (степенная, показательная, тригонометрическая, линейная).

Когда можно использовать метод логарифмирования? ( когда обе части положительные, тогда не будет потери корней)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ + ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ образуют

Какое главное требование к решению комбинированных уравнений? (чтобы корни одного уравнения являлись одновременно корнями другого)

КОНТРОЛЬ И САМОКОНТРОЛЬ

По тестам ЕГЭ 2005-2006 г. стр.10, вариант 2, задание В-7 решить уравнение :

и указать наибольший корень.

Ответ: 0,2 (для проверки ученик решает на отвороте доски)

Задание по карточке: Найти произведение корней уравнения

Ответ: корни 1; ; 3 произведение = 1

с) Работа с учебником: №175(г), страница 287.

А1) Найти значение выражения:

1) 100 2) 60 3) 3 4) 5

А2) Вычислить:

1) 18 2) 2 3) 0,5 4) 3

А3) Какое из чисел входит в множество значений функции

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

А4) Указать промежуток, содержащий корень уравнения

1) [- 4; — 1) 2) [ — 1; 0] 3) (0; 2) 4) [5 ; 9]

A5) Решить уравнение:

1) 9 2) 20 3) 1 4) 0

А6) Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [ -2; 0] 2) [2 ; 4] 3) (4; 9) 4) (0; 2)

B 1) Решить уравнение:

В2) Решить уравнение:

В3) Найти произведение корней уравнения:

В4) Решить уравнение:

В5) Найти наименьший корень уравнения:

Ответы ученики записывают в бланках ответов №1 образца ЕГЭ

Проверка результатов тестирования. Учащиеся оценивают себя, ставят оценки в оценочный лист.

V . ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

Чем мы сегодня занимались на уроке?

Дайте определение показательного и логарифмического уравнения.

Где в жизни мы встречаемся с показательной функцией? С логарифмической?

Есть такая поговорка: «Заруби себе на носу» На каком носу можно зарубить? (нос- это палочка для зарубок) Поэтому хотелось бы, чтобы и вы «зарубили себе на носу» общие методы решения показательных и логарифмических уравнений и смогли успешно справиться с ними на экзаменах.

У каждого человека есть свое уязвимое место. А как оно называется? (Ахиллесова пята).Скажите. какое уязвимое место у вас при решении данных уравнений. Над чем еще надо поработать? Каждый из вас выберет себе карточку для отработки заданий.

Спасибо за урок.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 123 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

17.03.2016
635
0

17.03.2016
11923
103

17.03.2016
483
0

17.03.2016
3015
74

17.03.2016
901
6

17.03.2016
18094
46

17.03.2016
747
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

17.03.2016 1468
DOCX 173 кбайт
2 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Простит Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 6 лет и 4 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 11111
Всего материалов: 12

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение показательных уравнений методом логарифмирования

Знакомство с логарифмом числа открывает возможность использования метода логарифмирования для решения уравнений. Преимущественно методом логарифмирования решаются показательные уравнения. В этой статье мы подробно разберем, как проводится решение показательных уравнений методом логарифмирования. Здесь мы дадим необходимую теорию и, конечно же, рассмотрим характерный пример решения показательного уравнения методом логарифмирования.

Теория

Решение каких показательных уравнений проводится методом логарифмирования

В основном, методом логарифмирования решаются показательные уравнения в двух следующих случаях:

В одной части уравнения находится степень, произведение или частное степеней, а в другой – положительное число. Например, 2 x−1 =10 , и др.
И в одной, и в другой части уравнения находится степень, произведение или частное степеней, возможно с положительным числовым коэффициентом. Например, 3 x 2 −1 =5·2 x+1 и др.

Как проводится решение

Во-первых, нужно убедиться, что обе части показательного уравнения принимают только положительные значения на ОДЗ для исходного уравнения. Во-вторых, проводится логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию. В-третьих, решается уравнение, полученное в результате логарифмирования. Это дает решение исходного уравнения.

По какому основанию логарифмировать

В принципе, в качестве основания логарифма можно брать любое положительное и отличное от единицы число. Обычно логарифмирование проводят по основанию, равному основанию одной из степеней, фигурирующих в исходном уравнении. Также в ходу основание 10 . Это удобно тем, что дает возможность проводить некоторые попутные вычисления при помощи таблицы десятичных логарифмов.

Пример решения показательного уравнения

Рассмотрим характерный пример решения показательного уравнения методом логарифмирования.

Решите показательное уравнение .

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене $t=a^x$, новая переменная $t$ всегда положительна.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $(a+1)(4^x+4^<-x>)=5$ имеет единственное решение.

Заметим, что $a+1 > 0$, так как $4^x+4^ <-x>> 0$. Сделаем замену $t=4^x$; $t > 0$ $$ (a+1)(t+\frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=\frac<5±\sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac<5><2>$$ $a=-3.5 -$ не подходит;
$a=1.5;$

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение $log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2$ для каждого $a$.

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что $1-4a≥0 ⇔ 0 0$.

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac<1><2>-\frac<\sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как $ x>0.$

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $log_4 (16^x+a)=x$ имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: $t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,$

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 0, \\D≥0, \\D>0, \\ _<0>>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\a

источники:

http://www.cleverstudents.ru/equations/solving_exponential_equations_logarithm_method.html

http://sigma-center.ru/logarithm_equation_parametr