Алгебра
План урока:
Задание. Укажите корень логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид
Задание. Найдите решение логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
Задание. Решите урав-ние
Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.
Задание. Решите урав-ние
Задание. Найдите корень урав-ния
Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид
С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.
Задание. Решите урав-ние
Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:
Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:
Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:
Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).
Уравнения, требующие предварительных преобразований
Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).
Задание. Решите урав-ние
с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:
Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:
Задание. Решите урав-ние
Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем
Задание. Решите урав-ние
Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:
Задание. Решите урав-ние
Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что
Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что
Задание. Решите урав-ние
Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу
Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной
Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:
Логарифмирование уравнений
Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.
Задание. Укажите корни урав-ния
Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:
Возвращаемся от переменной t к переменной х:
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства
Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.
Задание. Найдите решение логарифмического неравенства
Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:
Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение
Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:
Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).
Урок алгебры в 11-м классе «Решение логарифмических уравнений»
Разделы: Математика
Цели урока:
- обучение решению логарифмических уравнений с помощью формул перехода к новому основанию логарифма, формирование умений решать задачи повышенной сложности;
- развитие логического мышления, умений самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
- выработка привычки к постоянной занятости полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.
Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.
Оборудование урока: перфокарты, листы самоконтроля, карточки для самостоятельной работы по уровням, распечатки домашнего задания.
I. Организационный момент
Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.
II. Вводное повторение
а) Индивидуальная работа у доски:
Цель: повторение основных изученных методов решения уравнений.
№1. (по определению логарифма)
№2. (метод потенцирования)
№3. (метод замены переменной)
, пусть lgx = t
 | t 2 – 5t + 6 = 0 (5 – t)(1 + t)?0 |
– верно
– верно
№4. (метод логарифмирования)
б) Математический диктант.
Цель: повторить изученные свойства логарифмов с целью дальнейшего применения их при решении уравнений.
а) 
б) 
в) 
г) 
№2. Прологарифмируйте по основанию 2 (a > 0,b > 0).
б) 
№3. Выразить log163 через логарифм по основанию 2.
а) 
б) 
III. Совместная работа учителя с классом
Цель: подведение итогов предыдущей работы, изучение способа решения логарифмического уравнения с помощью формулы перехода к новому основанию логарифма.
– Мы познакомились с несколькими способами решения уравнений: по определению логарифма, методами потенцирования и логарифмирования, замены переменной, а сегодня познакомимся еще с одним.
Необходимо решить уравнение:
Для решения уравнения необходимо вспомнить следующие формулы (формулы перехода к новому основанию).
(формулы поместить на доске)
 |  |  |
 |  |
IV. Самостоятельная работа по вариантам
Цель: провести первый срез по проверке усвоения метода перехода к другому основанию при решении логарифмических уравнениях.
| I вариант Вместе с классом:
Ответ: 23; – 1,8. | II вариант
4) log3(x + 1) = Ответ: 8; |
;
– t = 0,
;
x = 
V. Дифференцированная самостоятельная работа (по уровням)
Цель: дать возможность учащимся выбрать уровень усвоения темы и провести вторичную оценку по листам самоконтроля:
I уровень
II уровень
III уровень
Ответ: 
Ответ:
Ответ:
(Раздать листы самоконтроля.)
Лист самоконтроля
| I уровень
1) 2) Ответ: | II уровень
| III уровень
|
VI. Проверочная работа (по вариантам)
Цель: с помощью перфокарт проверить качество усвоения изучаемого материала.
| I вариант | II вариант |
| №1. Найдите корень уравнения: | |
 |  |
| №2. Укажите больший корень уравнения: | |
 |  |
| №3. Укажите промежуток, которому принадлежит больший корень уравнения: | |
|  VII. Итог урока Объявить оценки, поблагодарить за урок. Домашнее задание: каждый ученик получает распечатку с домашним заданием. а) Для тех кто, получил «5»
б) Для тех кто, получил «4»
в) Для тех кто, получил «3» или не справился План-конспект урока по теме:»Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. «Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах» (Алгебра и начала анализа 11 класс) Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств; Подготовка к ЕГЭ. Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств; Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения; Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения; Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях. Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы; Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения. Организационный момент 2 мин. Устная работа 9 мин. Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин. Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин. Итог урока 3 мин. Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин. Оборудование: интерактивная доска. I . Устная работа учащихся. Найдите область определения функции Укажите и исправьте ошибки в решении функция у = log 1/5 t – убывающая, значит, Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды). 4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических уравнений и неравенств? При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось. Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y = f ( x ) g ( x ) , при этом f ( x )>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием. Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. II . Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных. Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель. Пример 1. Решите уравнение Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть √ lg x = t , ≥0, тогда данное уравнение примет вид t 2 + 3 t – 4 = 0, откуда t 1=1, t 2= — 4 ( посторонний корень). Пример 2. Решите уравнение Переходя к логарифмам по основанию 2, получим Это уравнение равносильно совокупности уравнений
Решением первого уравнения является x = 1. Для решения второго уравнения сделаем замену t = log 2 х. После преобразования получим: (25t 2 + 15t – 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0,
25t 2 + 15t – 30=0, Ответ: 1; 4; 1/ 4 5 √8. Пример 3. Решите неравенство Решение: перепишем неравенство в виде: (4 – (а + 1) 2 ) / (1 + а) ≥ 0, ((а + 3)(1 — а)) / (1 + а) ≥ 0, ((а + 3)(а — 1)) / (1 + а) ≤ 0 Воспользуемся методом интервалов, получим y = log 3 t – возрастающая функция, Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5]. Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств. III . Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору). 1 группа: занимаются самостоятельно на оценку. 2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран. Задания для учащихся 1 группы. 1. Решите уравнение 2. Решите неравенство — y Задания для учащихся 2 группы 1. Решите уравнение 2. Решите неравенство х IV . 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения. V . Домашнее задание. Запись на экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера. 1) 3 lg 2 (х — 1) — 10 lg (х — 1) + 3 = 0, 3 t 2 — 10 t + 3=0, Ответ: 1001; 3√ 10 +1. -2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0 3/2 у² — 5/2у + 1 = 0, х y
1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого. Углубленное изучение алгебры и математического анализа 2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс 3. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-Москва: Педагогический университет «Первое сентября» 2012г.
Курс повышения квалификации Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок» Дистанционные курсы для педагогов«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни» Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:5 585 217 материалов в базе Самые массовые международные дистанционные Школьные Инфоконкурсы 2022 33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок» Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:Оставьте свой комментарийАвторизуйтесь, чтобы задавать вопросы. Добавить в избранное
Настоящий материал опубликован пользователем Лосенкова Людмила Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал. Автор материала
Московский институт профессиональной Дистанционные курсы |
х— 1 > 0;
х≠ 2.
t =2,
— 1
