Логарифмическое уравнение сводимое к алгебраическому дискриминант

Технологическая карта» Решение логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

§5.1. Решение логарифмических уравнений

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения с помощью определения

1 вид — рецептивный

Решение логарифмического уравнения, применяя свойство «логарифм произведения»

1 вид — рецептивный

Решение логарифмического уравнения, применяя свойство «логарифм частного»

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к линейному

1 вид — рецептивный

Логарифмирование показательного уравнения, применение логарифма степени

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, используя правило «сумма логарифмов»

2 вид — интерпретация

В решении используется определение логарифма.

1 вид — рецептивный

В решении используется определение логарифма.

2 вид — интерпретация

Использование свойств логарифмов.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, логарифм в квадрате.

2 вид — интерпретация

Разложение на множители.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к дробно-рациональному (разность логарифмов)

2 вид — интерпретация

Логарифмирование показательного уравнения, применение основного логарифмического тождества

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к линейному

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к квадратному (теорема Виета)

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к квадратному (теорема Виета)

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к квадратному (сумма логарифмов)

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной, применяя свойство «логарифм частного»

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к алгебраическому

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к алгебраическому

2 вид — интерпретация

Использование свойств логарифмов.

2 вид — интерпретация

Преобразование в алгебраическое уравнение.

2 вид — интерпретация

В решении используется определение логарифма, неизвестное в основании логарифма.

2 вид — интерпретация

Равенство произведения нулю.

2 вид — интерпретация

Определения количества корней логарифмического уравнения графическим методом.

2 вид — интерпретация

Преобразование в алгебраическое уравнение с использованием свойств логарифмов.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения методом введения новой переменной.

2 вид — интерпретация

В ходе решения логарифмического уравнения, получается квадратное уравнение. Решая и проверяя корни, делается вывод о их принадлежности к решению уравнения.

Предлагается решить логарифмическое уравнение с неизвестным как под знаком логарифма, так и с неизвестным в основании. Выбрать затем корень, который подходит по ОДЗ.

2 вид — интерпретация

Решение логарифмического уравнения, сводимого к дробно-рациональному ( новая переменная)

Решение логарифмического уравнения

2 вид — интерпретация

Произведение равно нулю, с тригонометрией (сложное).

Решение логарифмического уравнения, сводимого к дробно-рациональному ( новая переменная)

Решение показательного уравнения (логарифмические корни)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 581 954 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 12. Логарифмические уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 27.03.2021
• 109
• 1

• 27.03.2021
• 150
• 3

• 26.03.2021
• 77
• 1

• 26.03.2021
• 88
• 2

• 26.03.2021
• 98
• 4

• 26.03.2021
• 334
• 12

• 26.03.2021
• 82
• 1

• 26.03.2021
• 133
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.03.2021 144
• DOCX 18.7 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Балаева Гюлейбат Вейсовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 10 месяцев
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 3477
• Всего материалов: 23

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма и (или) в его основании. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log_ax = b, где a и b — данные числа, x — неизвестное. Уравнение имеет решение, если a > 0, a ≠ 1: x = a b

Решение более сложных логарифмических уравнений обычно сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида log_ax = b.

Основные способы решения логарифмов:

1. равносильные преобразования
2. переход к уравнению-следствию
3. замена переменной
4. разложение на множители

Примеры решения логарифмических уравнений:

• log_x (x 2 — 3x + 6) = 2

По определению логарифма, x 2 — 3x + 6 = x 2 , из чего следует, что x = 2. Проверка: log_x (x 2 — 3x + 6) = log₂ (2 2 — 6 + 6) = 2 Ответ: x = 2

• log₇ (3x + 4) = log₇ (5x + 8)

Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма, получаем 3x + 4 = 5x + 8, откуда x = -2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при x = -2 левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла. Ответ: корней нет.