Логарифмы уравнения егэ базовый уровень

Логарифмические уравнения

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ alt=’\log _<8>\left ( x^<2>+x \right )=\log _<8>\left ( x^<2>-4 \right )\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx^<2>+x> 0\\ x^<2>-4> 0\\ x=-4 \end\right.\Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ alt=’2^<\log _<4>\left ( 4x+5 \right )>=9\Leftrightarrow \left\ <\begin2^\frac<<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )>><2>=9\\ 4x+5> 0 \end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left (2^<\log _<2>\left ( 4x+5 \right )> \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\left ( 4x+5 \right )^<\frac<1><2>>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin\sqrt<4x+5>=9\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\begin4x+5=81\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.\Leftrightarrow \left\ <\beginx=19\\ x> -1\frac<1> <4>\end\right.’ />

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ alt=’\left\ <\begin12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end\right.’ />

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Логарифмические уравнения.Прототипы В 5
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Подготовка к ЕГЭ

Скачать:

Предварительный просмотр:

Проверочная работа по математике.

Тема: «Решение логарифмических уравнений». Задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ(http://mathege.ru/)

Задание В5 в ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Данная разработка посвящена одному из разделов задания В5 – это решение логарифмических уравнений.

Основной задачей является:

— проверка качества знаний и умений учащихся;

-повышение вычислительной культуры учащихся

Представленная проверочная работа состоит из 4вариантов, в каждом из которых по 13 заданий. Задания данной работы соответствуют прототипам заданий В5 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Данный материал можно использовать при подготовке к ЕГЭ. Для удобства проверки приведены ответы

Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант1

• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .

Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5из открытого банка заданий ЕГЭ вариант2

• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .

Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант3.

• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .

Тест по логарифмическим уравнениям, задания В5 из открытого банка заданий ЕГЭ вариант4

• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение .
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
• Найдите корень уравнения .
• Найдите корень уравнения .

Логарифмы в заданиях ЕГЭ

Презентация к уроку

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть –
и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Г.Лейбниц

ТИП УРОКА: Закрепление и совершенствование знаний.

ЦЕЛИ:

• Дидактическая — Повторить и закрепить свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ С1 и С3;
• Развивающая — Развитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжить формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать;
• Воспитательная — Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению общаться, прививать аккуратность.

Оборудование: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с заданиями теста, с заданиями для работы всех обучающихся.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, коллективная.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ

3. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

3. работа личных кабинетов в Интернет (просмотр результатов)

4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Проанализировать: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

(В-7-простейшие логарифмические уравнения
В-11-преобразование логарифмических выражений
В-12- задачи физического содержания, связанные с логарифмами
В-15- нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
С-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм
С-3 – система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На данном этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только вспоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания ЕГЭ.

1) Определение логарифма. Какие вы знаете свойства логарифма? (и условия ?)

5. УСТНАЯ РАБОТА для всех обучающихся.

Вычислить устно: (задания В-11)

6. Самостоятельная деятельность учащихся по решению заданий.

В-7 с последующей проверкой

Решите уравнения (первые два уравнения проговаривают устно, а остальные решает самостоятельно весь класс и записывает решение в тетрадь):

После проверки с места 3-5 уравнений, ребятам предлагается доказать, что уравнение не имеет решения (устно)

7. Решение В-12 (задачи физического содержания, связанные с логарифмами).

Весь класс решает задачу (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает аналогичную задачу самостоятельно)

8. УСТНАЯ РАБОТА (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке.

Работа на доске и в тетради.

(прототип В15 — ЕГЭ)

(Пока ученики работают у доски, 4-м учащимся даются карточки с аналогичными заданиями)

9. Мини-тест с самоконтролем.