Логические уравнения информатика 10 класс онлайн
Это символы не жёстко привязаны к соотв. операциям, можно использовать другие.
Примеры логических выражений
С применением отрицания
Со знаком «эквивалентно»
Со знаком «следствие»
С применением конъюкции и дизъюнкции
С применением Не-и и Не-или
В калькуляторе вы сможете упростить выражения, содержащие следующие операции: NOT, XOR, AND, OR, NAND, NOR, NOT
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.
Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.
Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина
введите функцию или её вектор
Построено таблиц, форм:
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
- Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
- Нажмите на кнопку «Построить»
Видеоинструкция к калькулятору
Используемые символы
В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a , x , a1 , B , X , X1 , Y1 , A123 и так далее.
Для записи логических операций можно использовать как обычные символы клавиатуры ( * , + , ! , ^ , -> , = ), так и символы, устоявшиеся в литературе ( ∧ , ∨ , ¬ , ⊕ , → , ≡ ). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.
Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().
Обозначения логических операций
- И (AND): & • ∧ *
- ИЛИ (OR): ∨ +
- НЕ (NOT): ¬ !
- Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
- Импликация: -> → =>
- Эквивалентность: =
Что умеет калькулятор
- Строить таблицу истинности по функции
- Строить таблицу истинности по двоичному вектору
- Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
- Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
- Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
- Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
- Строить карту Карно
- Минимизировать ДНФ и КНФ
- Искать фиктивные переменные
Что такое булева функция
Булева функция f(x1, x2, . xn) — это любая функция от n переменных x1, x2, . xn, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.
Что такое таблица истинности?
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2 n строк, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.
Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.
Логические операции
Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).
Таблица истинности логических операций
| a | b | a ∧ b | a ∨ b | ¬a | ¬b | a → b | a = b | a ⊕ b |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Как задать логическую функцию
Есть множество способов задать булеву функцию:
- таблица истинности
- характеристические множества
- вектор значений
- матрица Грея
- формулы
Рассмотрим некоторые из них:
Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2 n нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).
Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c
Способы представления булевой функции
С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:
- Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
- Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, ДНФ является функция ¬a bc ∨ ¬a ¬b c ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.
Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.
Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1
Алгоритм построения СДНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
- Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции
Алгоритм построения СКНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
- Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции
Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции
Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.
- Построить таблицу истинности для функции
- Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5. ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6. прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5. строк.
- Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10. строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12. строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
- Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
- Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
- Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.
Примеры построения различных представлений логических функций
Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬a b∨ ¬b c∨ca
1. Построим таблицу истинности для функции
| a | b | c | ¬a | ¬a ∧b | ¬b | ¬b ∧c | ¬a ∧b∨ ¬b ∧c | c∧a | ¬a ∧b∨ ¬b ∧c∨c∧a |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: < 0, 0, 1 > < 0, 1, 0 > < 0, 1, 1 > < 1, 0, 1 >
В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:
Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:
Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: < 0, 0, 0 > < 1, 0, 0 >
В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:
Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:
Построение полинома Жегалкина:
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:
| a | b | c | F | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | → | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | → | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:
| a | b | c | F | 1 | 2 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ⊕ 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ⊕ 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 0 |
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:
| a | b | c | F | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | → | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ⊕ 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ⊕ 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | ⊕ 1 | 1 |
Окончательно получим такую таблицу:
| a | b | c | F | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):
Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc
Programforyou — это сообщество, в котором Вы можете подтянуть свои знания по программированию, узнать, как эффективно решать те или иные задачи, а также воспользоваться нашими онлайн сервисами.
Урок №6 Решение логических уравнений (10 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Урок 6 Решение логических уравнений.doc
Тема урока: Решение логических уравнений
Образовательная – изучение способов решения логических уравнений, формирование умений и навыков решения логических уравнений и построения логического выражения по таблице истинности;
Развивающая — создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;
Воспитательная : способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Тип урока: комбинированный урок
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация 6.
Повторение и актуализацию опорных знаний. Проверка домашнего задания (10 минут)
На предыдущих уроках мы познакомились с основными законами алгебры логики, научились использовать эти законы для упрощения логических выражений.
Выполним проверку домашнего задания по упрощению логических выражений:
1. Какое из приведенных слов удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная→вторая буква согласная) ٨ (последняя буква гласная → предпоследняя буква гласная)? Если таких слов несколько, укажите наименьшее из них.
1) АННА 2) МАРИЯ 3) ОЛЕГ 4) СТЕПАН
А – первая буква согласная
В – вторая буква согласная
С – последняя буква гласная
D – предпоследняя буква гласная
Составим выражение: 
2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
Упростим запись исходного выражения и предложенных вариантов:
3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
Определим значения этих выражений при указанных значениях аргументов:
Ознакомление с темой урока, изложение нового материала (30 минут)
Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Решение логических уравнений». Изучив данную тему, вы узнаете основные способы решения логических уравнений, получите навыки решения этих уравнений путем использования языка алгебры логики и умения составления логического выражения по таблице истинности.
1. Решить логическое уравнение
Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Преобразуем выражение (¬K M) → (¬L M N) 
Выражение ложно, когда оба слагаемые ложны. Второе слагаемое равно 0, если M =0, N =0, L =1. В первом слагаемом K =0, так как М=0, а 
.
2. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
Решение: преобразуем выражение
A + B =1 и C + D =1
2 способ: составление таблицы истинности
3 способ: построение СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной формы для функции – дизъюнкции полных правильных элементарных конъюнкций.
Преобразуем исходное выражение, раскроем скобки для того, чтобы получить дизъюнкцию конъюнкций:
Дополним конъюнкции до полных конъюнкций (произведение всех аргументов), раскроем скобки:
Учтем одинаковые конъюнкции:
В итоге получаем СДНФ, содержащую 9 конъюнкций. Следовательно, таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 9 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.
3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
,
3 способ: построение СДНФ
Учтем одинаковые конъюнкции:
1
В итоге получаем СДНФ, содержащую 5 конъюнкций. Следовательно таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 5 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.
Построение логического выражения по таблице истинности:
для каждой строки таблицы истинности, содержащей 1 составляем произведение аргументов, причем, переменные, равные 0, входят в произведение с отрицанием, а переменные, равные 1 – без отрицания. Искомое выражение F будет составляется из суммы полученных произведений. Затем, если возможно, это выражение необходимо упростить.
Пример: дана таблица истинности выражения. Построить логическое выражение.
3. Задание на дом (5 минут)
Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
По заданной таблице истинности составить логическое выражение и
Выбранный для просмотра документ Урок 6 Решение логических уравнений.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Проверка домашнего задания: Какое из приведенных слов удовлетворяет логическому условию: (первая буква согласная→вторая буква согласная) ٨ (последняя буква гласная → предпоследняя буква гласная)? Если таких слов несколько, укажите наименьшее. 1) АННА 2) МАРИЯ 3) ОЛЕГ 4) СТЕПАН 2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению 3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Какое выражение соответствует F? xyzF 0001 0111 1100
Тема урока: Решение логических уравнений
1. Решить логическое уравнение (¬K M) → (¬L M N) =0 Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)? 1 способ: рассуждения Ответ: 9 2 способ: составление таблицы истинности ABCD АВСDA+BC+DF
3 способ: построение СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной формы для функции – дизъюнкции полных конъюнкций. Преобразуем исходное выражение, раскроем скобки для того, чтобы получить дизъюнкцию конъюнкций: (A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D= Дополним конъюнкции до полных конъюнкций (произведение всех аргументов), раскроем скобки:
4. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
Построение логического выражения по таблице истинности: для каждой строки таблицы истинности, содержащей 1 составляем произведение аргументов, причем, переменные, равные 0, входят в произведение с отрицанием, а переменные, равные 1 – без отрицания. Искомое выражение F будет составляется из суммы полученных произведений. Затем, если возможно, это выражение необходимо упростить. Пример: дана таблица истинности выражения. Построить логическое выражение. аbcF 0000 0010 0100 0110 1001 1011 1101 1110
Задание на дом: По заданной таблице истинности составить логическое выражение и упростить его. 2. Решить уравнение: 3. Сколько решений имеет уравнение? аbcF 0000 0010 0100 0111 1001 1011 1100 1111
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов
Курс повышения квалификации
Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС
- Курс добавлен 23.11.2021
- Сейчас обучается 48 человек из 28 регионов
Курс повышения квалификации
Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam
- Курс добавлен 31.01.2022
- Сейчас обучается 33 человека из 19 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 565 538 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Информатика (углублённый уровень) (в 2 частях)», Семакин И.Г., Шеина Т.Ю., Шестакова Л.В.
1.6.2. Логические формулы и функции
Другие материалы
- 12.11.2017
- 1996
- 237
- 12.11.2017
- 706
- 1
- 12.11.2017
- 274
- 0
- 12.11.2017
- 977
- 8
- 12.11.2017
- 970
- 0
- 12.11.2017
- 376
- 0
- 12.11.2017
- 705
- 0
- 12.11.2017
- 790
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 12.11.2017 16056
- RAR 112.9 кбайт
- 268 скачиваний
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Егорова Елена Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 4 года и 10 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 95620
- Всего материалов: 15
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов
Время чтения: 1 минута
Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств
Время чтения: 2 минуты
Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие
Время чтения: 18 минут
У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ
Время чтения: 2 минуты
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
В России могут объявить Десятилетие науки и технологий
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
http://programforyou.ru/calculators/postroenie-tablitci-istinnosti-sknf-sdnf
http://infourok.ru/urok-reshenie-logicheskih-uravneniy-klass-2278711.html