Логико дидактический анализ темы квадратные уравнения

Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения»
консультация по алгебре (8 класс) на тему

Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Логико-дидактический анализ содержания темы

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Тема «Квадратные уравнения» изучается во втором полугодии 8 класса. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач. Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, терему Виета и обратную ей; какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение – это математический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных областей знаний, практики.

В изучение этой темы включены:

1. Основные понятия (определение квадратного уравнения полного (приведённого), неполного квадратного уравнения).
2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений
3. Формула корней квадратного уравнения
4. Решение задач с помощью квадратных уравнений
5. Теорема Виета
6. Решение дробных рациональных уравнений
7. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Весь курс по теме «Квадратные уравнения» строится в систематическом порядке. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным решением, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каждой теме для запоминания и материал, который важно знать.

Ожидаемые результаты – ученики должны уметь распознавать квадратные уравнения и виды квадратных уравнений, проводить исследование на предмет количества корней квадратного уравнения по дискриминанту и коэффициентам, применять формулы корней для решения квадратных уравнений. Проводить доказательные рассуждения о корнях уравнения с опорой на определение корня, функциональные свойства выражений.

Решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним; решать дробно-рациональные уравнения. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

2. Логико-дидактический анализ материала темы

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Квадратные уравнения»

Компоненты анализа учебника

Алгебра 8 (часть 1 учебник, часть 2 задачник)

материал в учебнике по данной теме представлен в четвертой главе в § 24, 25, 26, 27.

упражнения в задачнике по данной теме представлены в четвертой главе в § 24, 25, 26, 27.

структура наименьшей части

Представление задачного материала

Задачный материал разбит на следующие основные блоки в соответствии с теоретическим материалом

1. Отработка основных понятий связанных с квадратными уравнениями;
2. Неполные квадратные уравнения
3. Полные квадратные уравнения (Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле)
4. Рациональные уравнения (Алгоритм решения рационального уравнения; решение рациональных уравнений методом введения новой переменной; биквадратные уравнения)
5. Текстовые задачи решаемые с помощь рациональных уравнений.

представление текста задачи

Во всех параграфах упражнения сгруппированы по двум блокам. Первый – до черты – содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания среднего уровня сложности (слева от номеров таких заданий поставлен значок «○»). Второй блок – после черты – содержит задания уровнем выше среднего и задания повышенной сложности (слева от номеров таких заданий поставлен значок «●»).

Другие структурные особенности

При изложении материала используются: Определения, теоремы, подробно разобраны примеры, замечания по решению примеров и задач, алгоритмы решения уравнений, вопросы для самопроверки, в конце каждой главы прописаны основные результаты и темы исследовательских работ.

Теоретический материал рассматривается в первой части комплекта учебнике. Стиль изложения доступный, во многом расцвеченный непривычными для математической лексики оборотами. В то же время выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на них. Практические задания представлены во второй части комплекта задачнике. В конце каждой главы домашняя контрольная работы.

использование цвета, особых выделений главного

В учебнике используются на полях значки-символы. Цель введения символов состоит в том, чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал, побудить учителей к воспитанию у школьников навыков быстрой ориентации в изучаемом материале, помочь родителям правильно проконтролировать знания детей. Материал для запоминания выделен жирным шрифтом.

Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического и задачного материала.

Задачи на повторение расположены только в конце учебника. Хорошая подборка задач на повторение.

Доступно излагается теоретический материал. Много заданий на отработку материала.

Материал представлен в двух книгах.

Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

– в теме представлены понятия: Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

В начале темы приводятся примеры решения неполных квадратных уравнений. Этот материал систематизируется. Рассматриваются алгоритмы решения неполных квадратных уравнений различного вида.

Основное внимание следует уделить решению уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.

Учащиеся овладевают способом решения дробных рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких уравнений сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

Изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

– алгоритмов в теме «Квадратные уравнения»:

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений;
2. Алгоритм решения уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней ;
3. Алгоритм решения рациональных уравнений.

Обязательные результаты обучения теме:

– Знать : Определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Зависимость количества корней от знака дискриминанта. Формула корней квадратного уравнения. Формула коней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

– Уметь : Умение решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

3. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Результаты анализа задачного материала темы

Логико-математический анализ содержания темы «Квадратное уравнение»

Разделы: Математика

Тема «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса по программе Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк разбита на 11 часов. На первых уроках даётся общий вид квадратного уравнения, вводится неполное квадратное уравнение (п.21 по учебнику Ю.Н. Макарычева, 2ч.), понятие приведенного квадратного уравнения. Далее приводится алгоритм решения уравнений по формулам через дискриминант (п.22, 3ч.).

В этой теме отводится параграф и на решение задач с помощью квадратного уравнения, начиная с простейших до более сложного уровня (п.23, 2ч.), что позволяет ученику выбирать и осваивать свой уровень знакомства с темой, её усвоением.

Говоря о решении квадратного уравнения, можно показать несколько способов их решения, одним из таких является нахождение корней по теореме Виета. Этот материал знакомит учащихся и с новыми формулами, доступными для запоминания и понимания. Дает учащимся возможность подготовить сообщение по теореме; о биографии французского математика Ф.Виет.
Тема «Квадратные уравнения предусматривает одну самостоятельную работу и заканчивается выполнением контрольной работы №5. После чего ребятам даётся понятие дробно-рационального уравнения, уравнения, сводящегося к квадратному.

Таким образом, в ходе работы над темой в школьном курсе алгебры 8 класса учащиеся

– определение квадратного уравнения, неполного, приведенного;
– формулы для нахождения его корней, алгоритм их поиска через дискриминант и по теореме Виета;
– теорему обратную теореме Виета.

– определять по виду квадратное уравнение, неполное, приведенное;
– решать неполное квадратное уравнение;
– определять количество корней в уравнении;
– решать квадратное уравнение по формулам;
– применять т. Виета при решении;
– решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Логико-математический анализ задач по теме включает:

1. Выявление видов задач (и возможностей составления предписаний определённого типа для их решения).
2. Выявление методов решения задач: на доказательство, на вычисление, на построение и их количества.
3. Выявление обоснований решения задач: базиса решения.
4. Выявление аналогичных задач.
5. Выявление опорных задач.

Цели обучения теме «Квадратные уравнения»

В ходе изучения данной темы рассматривается целый ряд целей. Согласно Программе развития универсальных учебных действий (УУД), о формировании которых так много говорится в ФГОС ООО, к формированию которых мы и должны стремиться на каждом из уроков, речь идет о четырёх видах:

1) познавательные; 2) регулятивные; 3) коммуникативные; 4) личностные.

Рассмотрим на примере темы «Квадратные уравнение» формирование каждого из них.

2.1. Развитие познавательных УУД.

В ходе изучения темы учащийся должен научиться сравнивать квадратные уравнения по признакам и составлять схему определения понятия данного вида уравнения; сравнивать решение однотипных. Должен выполнять анализ и выявлять необходимые преобразования. Составляет приёмы решения уравнения, решает уравнения по теореме Виета. Эти цели чаще ставятся на первых уроках, где знания учащихся только формируются.

2.2. Развитие регулятивных УУД.

Развивая регулятивные УУД, учащиеся самостоятельно выбирают уровень освоения темы, выбирают задачи. Осуществляют самопроверку, составляют план своих действий при изучении темы и оценивают свою работу, свои действия при изучении темы.

2.3. Развитие коммуникативных УУД.

На мой взгляд, одной из самых важных этапов урока – это формирование коммуникативных учебных действий у учащихся. В век компьютерных технологий, где дети проводят большое количество времени в социальных сетях, где заводят виртуальных друзей, в результате чего живое общение сводится к нулю. На уроках важно научить высказывать свои мысли; давать полные формулировки понятий. Уметь ставить вопросы, проводить дискуссии по теме. Ученик на этом этапе должен научиться работать в группе, оказывая помощь. При изучении темы «Квадратные уравнения» ученику даётся возможность выступить с сообщением. Очень полезно при формировании коммуникативных УД научить ребёнка разбирать, анализировать ошибки в ходе решения.

2.4. Развитие личностных УУД.

Личностные учебные действия включают самопознание и самоопределение. Способствует профессиональному, жизненному самоопределению и построению жизненных планов. На уроках по данной теме ученик должен определиться с результатами своей деятельности при решении уравнений, своих мотивов. Учитель должен показать значимость этой темы, решение задач с помощью квадратных уравнений.

Карта изучения темы и её использование

В ходе работы над темой в рамках ФГОС ООО был разработан полезный материал как для учителя так и для ученика – карта изучения темы «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса (Приложение 1). Эта карта вывешивается на стенде для знакомства учащихся с этапами ознакомления темы, где указаны уровни обучения теме, с которыми ребёнок вправе сам определиться, спланировать свои действия при обучении.

Если говорить подробнее, то карта изучения темы включает в себя 8 блоков:

1. Логическая структура и цели изучения темы;
2. Блок актуализации знаний учащихся;
3. Основные понятия, методы, изучаемые в теме;
4. Примеры заданий контрольной работы;
5. Средства обучения теме;
6. Задания для внеурочной самостоятельной работы;
7. Темы индивидуальных заданий;
8. Перечень УУД для освоения темы.

Карта составляется учителем перед изучением темы, планируя каждый урок, особенно деятельность учащегося во время формирования знаний и дальнейшего изучения темы. (Приложение 2).

Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Логико-дидактический анализ содержания темы

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изуче-ние отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Тема «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, поня-тий, умений. Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, и применять их к решению задач. Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квад-ратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, те-рему Виета и обратную ей; какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение – это мате-матический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных облас-тей знаний, практики.

В изучение этой темы включены:

1. Основные понятия (определение квадратного уравнения полного (приведѐнного), неполного квадратного уравнения).

2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений

3. Формула корней квадратного уравнения

4. Решение задач с помощью квадратных уравнений

5. Теорема Виета

6. Решение дробных рациональных уравнений

7. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Весь курс по теме «Квадратные уравнения» строится в систематическом по-рядке. Причем система эта определяется как принятыми математическими трак-товками функциональных понятий, так и развертыванием последующих опреде-лений и доказательством теорем. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным ре-шением, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каж-дой теме для запоминания и материал, который важно знать.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных урав-нений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений и приведенных квадратных уравнений».

III этап — «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, с посте-пенным их накапливанием и «фонда» тождественных и равносильных преобразо-ваний, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простей-шим. На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

а≠0 b=0, c≠0 а≠0, b≠0, с=0 а≠0, с=0, b=0

ax 2 + c= 0 ax 2 + bx = 0 ax 2 = 0

Метод разложения на множители

х = 0 или ах + b= 0, решением уравнения являются два корня х = 0; х = -b/а.

1.Перенос свободного члена с в правую часть уравнения: ax 2 =-с.

2.Деление обеих частей уравнения на а : х 2 =-с/а.

3.Если -с/а , то х 2 = — с/а не име-ет корней.

Если – с/а>0 , т.е.-с/а =к, то уравне-ние х 2 = к имеет два корня .

Равносильно урав-нению х 2 =0, имеет единственный ко-рень х=0. 11

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения (п.22 Формула корней квадратного уравнения). Это уравнения вида

ах 2 + bx + c = 0, где a,b,c – некоторые числа, а,b,с ≠ 0, х – переменная. Сначала рассматривается решения полного квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена. Далее с помощью математических преобразований, учащиеся приходят к понятию «дискриминант D» и рассматривают различные случаи в зависимости от значения D.

Даѐтся краткая запись, где D=b 2 — 4ас, которую называют формулой корней квадратного уравнения. Из этой формулы получают другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

ах 2 +2kх+с=0, Если D 1 ≥0, то , где D 1 =k 2 -ас. Если D 1

Учащиеся после изучения алгоритма решения квадратного уравнения, при-ступают к решению задач с помощью квадратных уравнений . На этом этапе учащиеся прослеживают практическую связь данной темы, когда им предлага-ются задачи из других областей (физика, техника), а так же геометрические задачи, которые решаются с помощью квадратных уравнений .

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение и доказательство теоремы Виета и обратная ей (п.24 Теорема Виета). Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключение теоремы. Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения . Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: · преобразования данного уравнения к простейшим; · решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональ-ных уравнений.

Таим образом, для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать: · формулу нахождения дискриминанта; · формулу нахождения корней квадратного уравнения; · алгоритмы решения уравнений данного вида; уметь: · решать неполные квадратные уравнения; · решать полные квадратные уравнения; · решать приведенные квадратные уравнения; · делать проверку.

В итоге изучения материала по запоминанию темы учащиеся должны не толь-ко овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования реше-ния. В целом освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Цели обучения теме «Квадратные уравнения»

В ходе изучения данной темы рассматривается целый ряд целей. Согласно Программе развития универсальных учебных действий (УУД), о формировании которых так много говорится в ФГОС ООО, к формированию которых мы и должны стремиться на каждом из уроков, речь идет о четырѐх видах:

1) познавательные; 2) регулятивные; 3) коммуникативные; 4) личностные.

3.1. Развитие познавательных УУД

Познавательные универсальные учебные действия включают: общеучебные, логические учебные действия, а также постановку и решение проблемы.

Общеучебные универсальные действия:

· самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

· поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

·осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

· рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

· смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависи-мости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; сво-бодная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публици-стического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

· постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

· моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);

· преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Логические универсальные действия:

· анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественых);

· синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраи-вание с восполнением недостающих компонентов;

·выбор оснований и критериев для сравнения, сериацию, классификации объектов

· подведение под понятие, выведение следствий;

· установление причинно-следственных связей, представление цепочек объектов и явлений;

· построение логической цепочки рассуждений, анализ; истинности утверждений;

· доказательство; выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:

·самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

3.2. Развитие регулятивных УУД

Регулятивные универсальные учебные действия обеспечивают обучающимся организацию своей учебной деятельности. К ним относятся:

· целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещѐ неизвестно;

· планирование — определение последовательности промежуточных целей с учѐтом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

· прогнозирование — предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

· контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эта-лоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

· коррекция — внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата; внесение изменений в результат своей деятельности, исходя из оценки этого результата самим обучающимся, учителем, товарищами;

·оценка — выделение и осознание обучающимся того, что уже усвоено и что ещѐ нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения; оценка результатов работы;

·саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому уси-лию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и преодолению препятствий.

3.3. Развитие коммуникативных УУД

Коммуникативные универсальные учебные действия обеспечивают социаль-ную компетентность и учѐт позиции других людей, партнѐров по общению или деятельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продук-тивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.

К коммуникативным действиям относятся:

· планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — опреде-ление цели, функций участников, способов взаимодействия;

· постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

· разрешение конфликтов — выявление, идентификация проблемы, поиск и оцен-ка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реа-лизация;

· управление поведением партнѐра — контроль, коррекция, оценка его действий;

· умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалоги-ческой формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, современных средств коммуникации.

3.4. Развитие личностных УУД

Личностные универсальные учебные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию обучающихся (умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, знание моральных норм и умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межлично-стных отношениях. Применительно к учебной деятельности следует выделить три вида личностных действий:

· личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

· смыслообразование, т. е. установление обучающимися связи между целью учебной деятельности и еѐ мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом: какое значение и какой смысл имеет для меня учение? — и уметь на него отвечать.

· нравственно-этическая ориентация, в том числе и оценивание усваиваемого со-держания (исходя из социальных и личностных ценностей), обеспечивающее личностный моральный выбор.