Логико математический анализ темы линейные уравнения

Логико-дидактический анализ темы «Уравнения с одной переменной», 7 класс.
методическая разработка (7 класс) по теме

Логико-дидактический анализ темы «Уравнения с одной переменной»

Скачать:

Предварительный просмотр:

МБОУ «Краснозаводская средняя общеобразовательная школа № 7»

ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕМЫ

«УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ», 7 КЛАСС,

учебник: Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательной организаций. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под редакцией

С.А. Теляковского- М.: Просвещение 2015.

Ушакова Елена Викторовна-учитель математики

Логико-дидактический анализ – один из инструментов формирования и развития профессионально значимых умений учителя

• видеть структуру содержания учебного предмета в целом,
• видеть логику построения основных линий и тем школьного курса математики,
• видеть особенности процесса формирования знаний и умений по тем или иным темам с учетом особенностей конкретных обучающихся.

Логико-дидактический анализ темы – последовательность действий, которые условно объединяются в III блока:

1. целеполагания;
2. логико-математический анализ;
3. методический (дидактический) анализ.

Каждому из блоков соответствуют определенные цели и задачи

Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения обучающимися темы. На основе логико-дидактического анализа

• составляется развернутый тематический план изучения темы,
• определяются цели и задачи уроков,
• отбирается содержание уроков,
• организовывается деятельности обучающихся.

Тема « Уравнения с одной переменной » занимает ведущее место в школьном курсе математики. Тема изучается в 7 классе. Тема рассчитана на 7часов, включает в себя следующие пункты: П.6. Уравнение и его корни. П.7. Линейное уравнение с одной переменной. П.8. Решение задач с помощью уравнений.

Вводятся понятия: уравнение с одной переменной, равносильность уравнений, корень уравнения и его свойства, линейные уравнения с одной переменной, коэффициент при переменной, математическая модель для решения задач;

закладываются представления о решении линейных уравнений с одной переменной, равносильности уравнений, решении задач с помощью уравнений;

рассматриваются случаи, когда уравнение имеет единственный корень, имеет бесконечно много корней, не имеет корней;

формулируются свойства уравнений.

Большое внимание уделяется алгоритму решения уравнений с одной переменной, алгоритму решения задач с помощью уравнений.

Для данного УМК характерно задания для работы в парах, а так же старинные задачи (в отличие от других учебно-методических комплектов).

Ожидаемые результаты в ходе изучения данной темы:

обучающиеся должны знать определения: корня уравнения, равносильных уравнений, линейного уравнения с одной переменной;

названия понятия: равносильные уравнения, линейные уравнения;

правила: решить уравнение, свойства уравнений, алгоритм решения задач с помощью уравнений;

обучающиеся должны иметь представление о решении уравнений, о решении линейных уравнений с одной переменной, решении задач с помощью уравнений;

должны уметь составлять уравнения по условию задачи, решать линейные уравнения с одной переменной, понимать алгоритм решения задач с помощью уравнений, определять содержание и последовательность действий ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое знание от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя для решения данной задачи;

уметь оценивать правильность выполнения действия, планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки, выявления сделанных ошибок; высказывать свое предположение;

уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

2. ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛА ТЕМЫ

«УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы « УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Компоненты анализа учебника

Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательной организаций. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под С.А. Теляковского

Материал в учебнике по данной теме представлен в первой главе в §3, который в свою очередь состоит из 3 пунктов.

Итого, содержание темы представлено в трех пунктах

структура наименьшей части

Каждый пункт содержит теоретический материал, который позволяет применять проблемный подход в обучении. Знакомство с новым учебным материалом осуществляется через систему учебных заданий. Так же имеются задания для проверки знаний и задания, предназначенные для устной работы.

Представление задачного материала

Задачный материал разбит по сложности на следующие уровни:

• учебные задания, выполняя которые вводится новое понятие, правило;
• упражнения для закрепления нового материала простые и более сложные;
• задачи повышенной трудности;
• задачи-исследования;
• задачи для работы в парах;
• старинные задачи;
• упражнения для тех, кто хочет знать больше;
• упражнения для повторения ранее пройденного материала.

представление текста задачи

Задачи представлены как стандартным математическим текстом, так и наглядно-поисковым текстом.

Другие структурные особенности

При изложении материала используются разный цвет и шрифт, различные значки (материал, который важно знать; текст, который нужно запомнить; начало и (или) окончание решения задачи; начало обоснования утверждения или вывода формулы; задания обязательного уровня, задания повышенного уровня, упражнения для повторения).

Теоретический материал рассматривается сначала на конкретных примерах, а затем делаются обобщения. Следовательно, материал учебника изложен конкретным индуктивным методом.

использование цвета, особых выделений главного

Материал, который нужно запомнить, печатается на цветном фоне, а так же другим шрифтом и иногда рядом с материалом имеются знаки условного обозначения.

Сведения, на которые надо обратить внимание, также имеют условное обозначение.

Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического и задачного материала.

Материал для повторения сформулирован в виде контрольных вопросов и заданий к каждому параграфу.

В учебнике выделен текст для запоминания. Много таблиц. Задания базового уровня сложности, среднего уровня и повышенного уровня сложности выделены значками. В учебнике к каждой главе есть дополнительные упражнения, а так же исторические сведения и задания для тех, кто хочет знать больше. Включены сведения из курса математики 5-6 класса.

Ответы без комментариев, нет домашних контрольных работ.

2.1. Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики: при введении понятий, алгоритмов, свойств

соблюдена логическая последовательность, с которой изложен материал, систематизирован материал, аргументированы выводы, приведены примеры.

2.2. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Результаты анализа задачного материала темы

Логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по школьным учебникам

Выполним логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по учебникам:

1. «Алгебра» 7-11 класс (А.Г. Мордкович);
2. «Алгебра» .7-9 класс (Ю.Н. Макарычев) и «Алгебра» 10-11 класс (Ш.А. Алимов).

Логико-дидактический анализ темы будет выполняться по следующему плану:

Просмотр содержимого документа
«Логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по школьным учебникам»

Логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по школьным учебникам

Выполним логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по учебникам:

«Алгебра» 7-11 класс (А.Г. Мордкович);

«Алгебра» .7-9 класс (Ю.Н. Макарычев) и «Алгебра» 10-11 класс (Ш.А. Алимов).

Логико-дидактический анализ темы будет выполняться по следующему плану:

По программе выделить цели изучения и требования к подготовки учащихся.

Выполнить логико-математический анализ теоретического материала темы:

какие понятия вводятся, даются ли им определения, каковы связи между этими понятиями;

какие утверждения изучаются, доказываются ли они, каковы связи между ними;

какие задачи приведены в теоретической части, какова цель их рассмотрения;

составим математическую карту изучения темы.

Выполнить анализ задачного материала:

выделить задачи, которые соответствуют обязательным результатам обучения;

выделить познавательные задачи;

выделить группы взаимосвязанных задач.

Выделить типичные ошибки, допускаемые учащимися по изучаемой теме.

1.1. Программные требования к изучению темы

Изучение программного материала по теме «Уравнения, неравенства, системы уравнений» дает возможность учащимся:

Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Решение линейных уравнений.

Цель – выработать умения определять и решать линейные уравнения.

Знать, что такое уравнение, линейное уравнение, решение уравнения, корень уравнения, алгоритм решения линейного уравнения.

Требования к уровню подготовки учащихся

Уровень обязательной подготовки

знать определение уравнения, корня уравнения, определение уравнения с одной переменной; знать, что означает решить уравнение;

иметь представление о равносильных уравнениях;

знать свойства уравнений;

уметь проверять, является ли данное число корнем уравнения;

уметь решать несложные уравнения с одной переменной;

уметь использовать условие равности произведения нулю во время решения уравнений.

знать строгое определение уравнения с одной переменной;

знать определение уравнения первой степени с одной переменной;

решать линейные уравнения с дробными коэффициентами;

уметь доказывать равносильность уравнений;

уметь решать уравнения с модулем;

уметь решать уравнения с параметром;

уметь определять и доказывать количество корней линейного уравнения с одной переменной.

Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям.

Цель — выработать умения решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, теорему Виета и обратную ей.

Уметь решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена, решать квадратные уравнения по формуле, решать неполные квадратные уравнения, решать квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета, использовать теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена квадратного уравнения; решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений.

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Применение свойств неравенств к оценке значения выражения. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.

Цель — выработать умения решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Знать определение числового неравенства с одной переменной, что называется решением неравенства с одной переменной, что значит решить неравенство, свойства числовых неравенств, понимать формулировку задачи «решить неравенство».

Уметь записывать и читать числовые промежутки, изображать их на числовой прямой, решать линейные неравенства с одной переменной, решать системы неравенств с одной переменной.

Уметь применять свойства неравенства при решении неравенств и их систем.

1.2. Логико-дидактический анализ теоретического материала.

Логико-дидактический анализ теоретического материала по учебникам «Алгебра» 7-11 класс (А.Г. Мордкович) , «Алгебра» .7-9 класс (Ю.Н. Макарычев) и «Алгебра» 10-11 класс (Ш.А. Алимов) представлен в таблице №1.

Логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по учебнику:

«Алгебра» 7-11 класс

«Алгебра» .7-9 класс

«Алгебра» 10-11 класс

К теме «Уравнения, неравенства, системы уравнений»

относится следующий материал:

Глава 1. Математический язык. Математическая модель.

§4. Линейное уравнение с одной переменной.

Глава 2. Линейная функция.

§7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

§ 11. Основные понятия.

§ 12. Метод подстановки.

§ 13. Метод алгебраического сложения.

§ 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций.

Глава 8. Функция .

§ 38. Графическое решение уравнений.

Глава 3. Квадратичная функция. Функция .

§ 23. Графическое решение квадратных уравнений.

Глава 4. Квадратные уравнения.

§ 24. Основные понятия.

§25. Формулы корней квадратного уравнения.

§ 26. Рациональные уравнения.

§ 27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

§ 28. Ещё одна формула корней квадратного уравнения.

§ 29. Теорема Виета.

§ 30. Иррациональные уравнения.

Глава 5. Неравенства.

§ 31. Свойства числовых неравенств.

§ 33. Решение линейных неравенств.

§ 34. Решение квадратных неравенств.

Глава 1. Неравенства и системы неравенств.

§ 1. Линейные и квадратные неравенства.

§ 2. Рациональные неравенства.

§ 4. Система рациональных неравенств.

Глава 2. Системы уравнений.

§ 5. Основные понятия.

§ 6. Методы решения систем уравнений.

§ 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Глава 3. Тригонометрические уравнения.

§ 15. Арккосинус. Решение уравнения .

§ 16. Арксинус. Решение уравнения .

§ 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений .

§ 18. Тригонометрические уравнения.

Глава 7. Показательная и логарифмическая функции.

§ 40. Показательные и логарифмические уравнения.

§ 44. Логарифмические уравнения.

§ 45. Логарифмические неравенства.

Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.

§ 55. Равносильность уравнений.

§56. Общие методы решения уравнений.

§ 57. Решение неравенств с одной переменной.

§ 58. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

§ 59. Системы уравнений.

§ 60. Уравнения и неравенства с параметром.

Глава I. Выражения, тождества, уравнения.

§ 3. Уравнения с одной переменной.

6. Уравнение и его корень.

7. Линейное уравнение с одной переменной.

8. Решение задач с помощью уравнений.

Глава VI. Системы линейных уравнений.

§ 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.

40. Линейное уравнение с двумя переменными.

41. График линейного уравнения с двумя переменными.

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными.

§ 16. Решение систем линейных уравнений.

43. Способ подстановки.

44. Способ сложения.

45. Решение задач с помощью систем уравнений.

Глава III. Квадратные уравнения.

§ 8. Квадратное уравнение и его корни.

21. Неполное квадратное уравнение.

22. Формула корней квадратного уравнения.

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

24. Теорема Виета.

§ 9. Дробные рациональные уравнения.

25. Решение дробных рациональных уравнений.

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений.

27. Уравнения с параметром.

§ 10. Числовые неравенства и их свойства.

28. Числовые неравенства.

29. Свойства числовых неравенств.

30. Сложение и умножение числовых неравенств.

§ 11. Неравенства с одной переменной и их системы.

34. Решение неравенств с одной переменной.

35. Решение систем неравенств с одной переменной.

36. Доказательство неравенств.

Глава II. Уравнения и неравенства с одной переменной.

§ 5. Уравнения с одной переменной.

12. Целое уравнение и его корни.

13. Дробные рациональные уравнения.

§ 6. Неравенства с одной переменной.

14. Решение неравенства второй степени с одной переменной.

15. Решение неравенств методом интервалов.

16. Некоторые приемы решения целых уравнений.

Глава III. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

§ 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

17. Уравнение с двумя переменными и его график.

18. Графический способ решения систем уравнений.

19. Решение систем уравнений второй степени.

20. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

§ 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

21. Неравенства с двумя переменными.

22. Системы неравенств с двумя переменными.

23. Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.

§ 8. Равносильные уравнения и неравенства.

§ 9. Иррациональные уравнения.

§ 10. Иррациональные неравенства.

Глава III. Показательная функция.

§ 12. Показательные уравнения.

§ 13. Показательные неравенства.

§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств.

Глава IV. Логарифмическая функция.

§ 19. Логарифмические уравнения.

§ 20 Логарифмические неравенства.

Глава VI. Тригонометрические уравнения.

§ 33. Уравнение .

§ 34. Уравнение .

§ 35. Уравнение .

§ 36. Решение тригонометрических уравнений.

§ 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.

Определения, рассматриваемые в теме

«Уравнения, неравенства, системы уравнений»

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида ax+b=0, где a и b – любые числа (коэффициенты).

Решить линейное уравнение – это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение превращается в верное числовое равенство.

Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида

Решение уравнения ax + by+c = 0 – это всякая пара чисел (x,y), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает его с переменными в верное числовое равенство.

Решение системы – это такая пара значений (x,y), которая одновременно является решение и первого, и второго уравнений системы.

Рациональное уравнение – это уравнение вида p(x)= 0, где p(x) – это рациональное выражение.

Приведенное уравнение – это квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 1.

Неприведенное, если старший коэффициент отличен от 0.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

Корень квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 – это всякое значение переменной x, при котором квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c обращается в ноль.

Равносильные уравнения – это уравнения, которые имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).

Квадратное неравенство – это неравенство вида где .

Рациональное неравенство с одной переменной — это неравенство вида h(x) q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

Рациональное уравнение с одной переменной — это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

Если , то (арккосинус a) – это такое число из отрезка , косинус которого равен a.

Если , то (арксинус a) – это такое число из отрезка , синус которого равен a.

(арктангенс ) – это такое число из интервала , тангенс которого равен .

(арккотангенс ) – это такое число из интервала , котангенс которого равен .

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором переменные содержатся под знаком тригонометрических функций.

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени – это уравнение вида .

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени – это уравнение вида .

Показательное уравнение – это уравнение вида .

Показательное неравенство – это неравенство вида .

Логарифмическое уравнение – это уравнение вида , где — положительное число, отличное от 1.

Логарифмическое неравенство – это неравенство вида .

Корень уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида ax=b, где a и b – любые числа (коэффициенты).

Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая его в верное числовое равенство.

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a .

Решение неравенства с одной переменной – это значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Квадратный трехчлен– это многочлен вида ax 2 +bx+c, где x — переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a .

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

Дробно рациональное уравнение – это уравнение, обе части которого является рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением.

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

График уравнения с двумя переменными – это множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одно и то же множество корней.

Равносильные неравенства – это неравенства, имеющие одно и то же множество решений.

Теоремы, рассматриваемые в теме

«Уравнения, неравенства, системы уравнений»

Теорема 1. Если хотя бы один из коэффициентов a, b линейного уравнения ax + by+c = 0 отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия.

Теорема 2. Если D = 0, то квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет один корень, который находится по формуле .

Теорема 3. Если D 0, то квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два корня, которые находятся по формулам:

Теорема 4 (теорема Виета). Пусть x₁, x₂ – корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно :

Теорема 6. Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни.

Теорема 7. Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Теорема 8. Если числа x₁, x₂ таковы, что , то эти числа – корни уравнения .

Теорема 9. Если квадратный трёхчлен не имеет корней (т.е. его дискриминант D –отрицательное число) и если при этом a 0, то при всех значениях x выполняется неравенство .

Теорема 10. Если квадратный трёхчлен не имеет корней (т.е. его дискриминант D –отрицательное число) и если при этом a 0, то при всех значениях x выполняется неравенство .

Теорема 1. Если квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, то при любом значение трехчлена имеет знак старшего коэффициента .

Теорема 1. Для любого a є выполняется равенство .

Теорема 2. Показательное уравнение (где ) равносильно уравнению .

Теорема 3. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: .

Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: .

Теорема 4. Если , то логарифмическое уравнение (где ) равносильно уравнению .

Теорема 5. Если , то:

при 1 логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла: ;

при 0 равносильно неравенству того же смысла: .

Теорема 6. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 1. Если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема 2. Если числа m и n таковы, что их сумма равна —p, а произведение равно g, то эти числа корнями уравнения .

Теорема 1. Если и – корни квадратного трехчлена ax 2 +bx+c, то ax 2 +bx+c = .

Логико-дидактический анализ темы системы уравнений (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Логико–дидактический анализ темы

«Системы уравнений», 7 класс

Пояснительная записка к теме «Системы линейных уравнений»

Основными учебными задачами при изучении темы «Системы линейных уравнений» является формирование понятий:

линейного уравнения (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y – переменные, a, b и c – некоторые числа);

решения уравнения (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство);

равносильных уравнений (Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными);

свойств уравнений (если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, при этом изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же (отличное от нуля) число, то получится уравнение, равносильное данному);

графика уравнения (графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения; графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая);

решения системы уравнений (решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.);

решения задач с помощью систем уравнений.

Цели изучаемой темы: в процессе обучения происходит ознакомление обучающихся с основами наук; развитие логического мышления, формирование и закрепление вычислительных навыков.

Изучение данной темы развивает алгоритмическую культуру, критич-ность мышления. В процессе обучения происходит закрепление, углубление и повторение пройденного материала, решаются разнообразные практиче- ские задачи.

Ожидаемые результаты изучения данной темы:

Знать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, система уравнений, знать различные способы решения систем уравнений с двумя переменными: способ подстановки, способ сложения; понимать, что уравнение — это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики.

Уметь правильно употреблять термины: «уравнение с двумя переменными», «система»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить систему уравнений с двумя переменными»; строить некоторые графики уравнения с двумя переменными; решать системы уравнений с двумя переменными различными способами.

Логико-математический анализ темы

Тема «Системы линейных уравнений» составляет важную часть школьного курса математики, что и определяет цели ее изучения: в процессе обучения происходит ознакомление обучающихся с основами наук; развитие логического мышления, формирование и закрепление вычислительных навыков. Материал данной темы находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогая тем самым реализовать межпредметные связи. Изучение данной темы развивает алгоритмическую культуру, критичность мышления. В процессе обучения происходит закрепление, углубление и повторение пройденного материала, решаются разнообразные практические задачи.

При изучении темы «Системы линейных уравнений» в школьном курсе математики можно выделить основные ее направления :

теоретико — математическая, раскрывающаяся в двух аспектах: в изучении наиболее важного класса линейных уравнений, в изучении обоб- щенного приема и методов решения систем линейных уравнений, эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний;

развитие творческой математической деятельности обучающихся. Линия уравнений в курсе алгебры 7 класса имеет не только важное теоретическое значение, но и служит практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различного вида уравнений и их систем .

Преемственность в работе над задачами в курсе математике реализуется посредством эвристического алгоритма на всех этапах решения задач:

1 этап – анализ содержания задачи;

2 этап – моделирования ее условия;

3 этап – выделение опорных знаний и основных задач ;

4 этап – моделирование решения задачи;

5 этап – подведение итогов по решению задачи;

6 этап – выполнение возможных обобщений.

В теме представлены понятия: линейного уравнения; решения уравнения; равносильных уравнений ; свойств уравнений; графика уравнения; решения системы уравнений, решения системы уравнений способом подстановки; решения системы уравнений способом сложения; решения задач с помощью систем уравнений

Алгоритмов в теме 3:

1. Алгоритм способа подстановки:

выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

решить получившееся уравнение с одной переменной;

найти соответствующее значение второй переменной);

2. Алгоритм способа сложения :

умножить почленно уравнения системы, подобрав множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

решить получившееся уравнение с одной переменной;

найти соответствующее значение второй переменной);

3. Алгоритм решение задач с помощью систем уравнений :

обозначить некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составить систему уравнений;

истолковать результат (в соответствии с условием задачи).

Внутрипредметные связи темы

При изучении данной темы решаются следующие задачи: решение систем линейных уравнений с помощью подстановки, алгебраического сложения, графически. Решение всех этих задач требует умения решать линейные уравнения, строить графики линейных функций.

Межпредметные связи темы

Тема: Линейные уравнения

Понятия о линейном уравнении, о решении линейного уравнения с двумя неизвестными, о системе двух уравнений с двумя неизвестными, а графики линейного уравнения с двумя неизвестными. Геометрическая интерпретация линейного уравнения с двумя неизвестными, способы решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

На основе алгебраических преобразований и свойств равенств.

Решение линейного уравнения с одним неизвестным. Координатная плоскость. График уравнения. Принадлежность и непринадлежность точек к графику.

Решение сюжетных задач на составление систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

Физика – плотность, сила тяжести, равномерное движение и др.

География — шкалы, графики.

При изучении данной темы может быть рассмотрен следующий перечень вопросов:

Математика в Древней Греции

Материал может быть представлен учащимися в форме доклада, реферата. Для решения в процессе изучения темы могут быть использованы следующие задания:

Задача о школе Пифагора

Тиран Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, — отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины».

Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я)

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Задача принцессы Либуши, основательницы чешского государства

По преданию принцесса Либуша обещала свою руку тому из трех женихов, кто сумеет решить задачу: «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и еще одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и еще одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и еще три сливы дала бы третьему жениху, то корзина опустела бы». Сколько слив в корзине?

Задача из «Счетной мудрости»

Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было и женска порознь? ( Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся трем копейкам). Это домашнее задание.

Задача из рукописи XVI в.

Летела стая гусей, навстречу им один гусь и рече: «Бог в помочь летети сту гусям». И гуси ему сказали: «Не сто нас гусей всей стаей летит: нас летит стая и как бы и нам еще столько, да полстолько, да еще четверть столько, да ты, гусь, и то было бы б сто гусей».

Задача из «Арифметики Л.Ф.Магницкого»

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников.

Контроль успеваемости учащихся в процессе изучения темы

Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными

Сколько способов решения систем линейных уравнений существует?

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) Ответ другой

Расставьте способы решения систем линейных уравнений в порядке их изучения в школе:

А. Графический способ

Б. Способ подстановки

Назовите способ решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными, алгоритм которого записан:

Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной

Сложить почленно уравнения системы

Составить новую систему: одно уравнение новое, другое — одно из старых

Решить новое уравнение и найти значение одной переменной

Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной

Записать ответ: х=…; у=… .

Выразить у через х в каждом уравнении

Построить в одной системе координат график каждого уравнения

Определить координаты точки пересечения

Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую

Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его

Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной

Решить систему способом подстановки

А) (1; — 1) Б) (1; 1) В) (-1; 1) Г) (-1; -1)

Решить систему способом сложения

А) (4; 3) Б) (3; — 4) В) (3; 4) Г) (-3; 4)

Решить систему графическим способом

А) (1; 1) Б) (-1; 1) В) (1; -1) Г) (-1; -1)

Сколько способов решения систем линейных уравнений существует?

А) 5 Б) 4 В) 3 Г) Ответ другой

Расставьте способы решения систем линейных уравнений в порядке их изучения в школе:

А. Способ подстановки

Б. Способ сравнения

В. Способ сложения

Г. Графический способ

Назовите способ решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными, алгоритм которого записан:

Выразить у через х в каждом уравнении

Построить в одной системе координат график каждого уравнения

Определить координаты точки пересечения

Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую

Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его

Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной

Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной

Сложить почленно уравнения системы

Составить новую систему: одно уравнение новое, другое — одно из старых

Решить новое уравнение и найти значение одной переменной

Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной

Записать ответ: х=…; у=… .

Решить систему способом подстановки

А) (3; 7) Б) (-3; 7) В) (-3; -7) Г) (3; -7)

Решить систему способом сложения

А) (-2; 3) Б) (3; 2) В) (2; 3) Г) (2; -3)

Решить систему графическим способом

Что вы понимаете под словом система уравнений?

Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными?

Что значит решить систему уравнений?

Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

Как проверить правильность решения системы?

На изучение темы «Системы линейных уравнений» 7 класс, учебник : Макарычев Ю.Н.Алгебра,7 по программе отводится 17 часов.