Локализация корней уравнения методы дихотомии решения уравнений

Метод половинного деления (метод дихотомии или метод бисекции)

Теорема 2. Итерационный процесс половинного деления сходится к искомому корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство: Рассмотрим последовательность чисел ξ_i являющихся приближением корня на i -ом шаге.
ξ_i=½(b_i+a_i), i=0,1.
где a₀=a; b₀=b; a_i;b_i — границы подынтервалов, в которых f(a_i)f(b_i) 0 мы ни задали, всегда можно найти такое n , что ч.т.д.
Графически метод дихотомии выглядит следующим образом

|f(c)|≤δ f(a)f(c) 10 = 1024 ≈ 10 3 раз. За 20 итераций (n=2) уменьшается в 2 20 ≈ 10 6 раз.

Пример №1 . Найти экстремум функции: y=5x 2 -4x+1 методом дихотомии, если ε=0.1, а исходный интервал [0,10].

• Решение
• Видео решение

Пример №3 . Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке [a,b] с точностью ε = 10 -2 . Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε = 10 -4 . Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
sqrt(t)+x 2 = 10, a = 2.6, b = 3

Найдем корни уравнения:
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /₂ n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:
(b_n – a_n)/2 1 /₂(a_n+b_n).
Решение.
Поскольку F(2.6)*F(3) 0, то a=2.8
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 3)/2 = 2.9
F(x) = 0.113
F(c) = -0.487
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=2.825
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)
1	2.6	3	2.8	-1.6275	-0.4867
2	2.8	3	2.9	-0.4867	0.1129
3	2.8	2.9	2.85	0.1129	-0.1893
4	2.8	2.85	2.825	-0.1893	-0.3386
5	2.825	2.85	2.8375	-0.3386	-0.2641
6	2.8375	2.85	2.8438	-0.2641	-0.2267

Ответ: x = 2.8438; F(x) = -0.2267
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса Метод Ньютона онлайн

Пример №2 . Локализовать корень нелинейного уравнения f(x) = 0 и найти его методом бисекции с точностью ε₁ = 0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε₂ = 0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε₂ число итераций.

Метод дихотомии решения нелинейных уравнений

На практике очень часто приходится решать задачи, связанные с решением нелинейных уравнений. Дихотомия или метод деления пополам — наиболее простой и надежный метод вычисления корней уравнения f (х) = 0, основанный на пошаговом сужении промежутка, в котором находится единственный корень уравнения, пока не добиться заданной точности.

Возьмем две точки х₀ и х₁, в которых значения функции f (х₀) и f (х₁) имеют разные знаки. В этом случае между ними имеется хоть один корень функции f.

Разделим промежуток между точками х₀ и х₁ пополам, обозначим середину отрезка точкой х₂, которая равняется: х₂ = (х₀ + х₁) / 2. Тогда f (х₂) f (х₀)
Метод дихотомии решения нелинейных уравнений f (x)=0

a =

b =

Введите точность:ε =

Введите левую часть уравнения (неизвестная — x):

3.2. Алгоритмы уточнения корней уравнения. Метод дихотомии (половинного деления, бисекций)

Уточнение корня – это вычисление интересующего корня с заданной точностью e.

Приближённые значения корней уравнения, полученные на предыдущем этапе, уточняются различными итерационными методами.

Рассмотрим некоторые из них.

Дано нелинейное уравнение ¦(x) = 0.

Корень отделен, т. е. известно, что x* Î [a, b].

Требуется вычислить корень с заданной точностью ε.

Метод реализует стратегию постепенного уменьшения отрезка существования корня, используя факт изменения знака функции в окрестности корня.

1. Вычислить координату середины отрезка [a, b] x = (a+b)/2 и значение ¦(x) в этой точке.

2. Уменьшить отрезок, отбросив ту его половину, на которой корня нет.

Если знак функции в начале отрезка и в его середине одинаков, то корень находится на второй половине, первую половину можно отбросить, переместив начало отрезка в его середину:

Если ¦(a) ·¦(x)>0 => x*Î [x, b] => a=x, иначе x*Î [a, x] => b=x

3. Проверить условие завершения вычислений : длина отрезка не превышает заданную точность и значение функции близко к 0 с заданной точностью:

Если условие достигнуто, расчет завершен, иначе повторить алгоритм сначала.

Рис. 3.4 Геометрическая иллюстрация метода бисекций.

Рис. 3.5 Схема алгоритма метода бисекций (дихотомии)

Количество итераций n, требуемых для достижения требуемой точности ε можно оценить заранее из соотношения

(3.6)

Метод дитохомии − простой и надежный метод поиска простого корня любой функции, устойчивый к погрешности округления. Даже если на отрезке есть несколько корней (нечетное количество),то будет найден один из них.

Недостатки метода: скорость сходимости низкая, не обобщается на систему уравнений.

Метод дихотомии нельзя использовать для уточнения не простого корня − корень совпадает с точкой экстремума функции, т. к. в этом случае функция не изменяет свой знак в окрестности корня.

Рис. 3.6. Непростой корень уравнения.

Пример 3.1. Требуется решить уравнение x3+2x=1

Сначала нужно отделить решения.

Удобно записать уравнение в виде x3=1-2x и построить графики двух элементарных функций ¦1(x)= x3 и ¦2(x)=1-2x

Рис. 3.7 Отделение корней уравнения x3 = 1 — 2 x.

Из графика следует, что корень один: x* Î [0;1].

Проверим наличие корня на отрезке

¦(a) = ¦(0) = 03+2·0 = -1, ¦(b) = ¦(1) = 13+2·1 = 2

Знаки на концах отрезка разные, следовательно, корень отделен верно.

Выполним несколько итераций уточнения корня.

1 итерация. Середина отрезка x = ( 0 + 1) / 2 = 0,5

Значение функции в середине ¦(x)=¦(0,5)= 0,53+2·0,5-1=0,125>0

Функция меняет свой знак на первой половине отрезка, следовательно, корень на первой половине, поэтому отбросим вторую половину, переместив конец отрезка в середину: x* Î [0;0,5]

2 итерация. Середина отрезка x = ( 0 + 0,5) / 2 = 0,25

Значение функции в середине

Функция не меняет свой знак на первой половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* Î [0,25;0,5]

Вычисления следует продолжить до достижения требуемой точности. Например, если ε=0,001 то потребуется не менее 10 итераций: