Локально одномерный метод для многомерного уравнения теплопроводности

Многомерное уравнение

Экономичные схемы. Для уравнения переноса (лекция №10) хорошие схемы бегущего счета естественным образом обобщаются на многомерный случай. Для уравнения теплопроводности попытки обобщить хорошие неявные разностные схемы типа (6), (19),(20) на многомерный случай сталкиваются с принципиальными трудностями.

Рассмотрим эти затруднения на примере двумерного уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом теплопроводности, для которого определена первая краевая задача в прямоугольной по переменным x₁, x₂ области:

, (34)

; (35)

(36)

Рис.6,а. Определение прямоугольной равномерной сетки с шагами h1, h2 по переменным x1, x2	Рис.6,б. Шаблон разностной схемы (37)

Определим прямоугольную сетку (x_1,n,x_2,m) (рис.6,а), считая для простоты ее равномерной с шагами по переменным x₁, x₂ — h₁, h₂ соответственно, т.е. x_1,n = h₁n, x_2,m = h₂m, n = 0,1,…,N, m = 0,1,…,M. Выберем в качестве шаблона разностной схемы тот, который представлен на рис.6,б. На каждом временном слое шаблон имеет форму креста, по которому составляется неявная двухслойная схема с весом s, построенная по аналогии со схемой (6), т.е.

, (37)

(37¢)

Запись начального (35) и краевых условий (36) в разностном виде очевидна и реализуется точно. Можно проверить, что погрешность аппроксимации схемы (37), (37¢) на решениях с непрерывными четвертыми производными равна , где n = 2 при s = ½ и n = 1 при s ¹ ½.

Исследуем устойчивость разностной схемы (37), (37¢) методом разделения переменных. Гармоники с текущего и следующего временного слоя выберем в виде:

,

тогда, считая как обычно модуль множителя роста меньше единицы, находим условие устойчивости разностной схемы (37), (37¢) в :

, (38)

которое похоже на аналогичное условие (10) для одномерной схемы (6).

Схема (37), (37¢) легко обобщается на случай p измерений. Оценим число операций, требуемых для расчета до момента времени T.

Рассмотрим явную схему при s = 0, для которой значения вычисляются по значениям с предыдущего слоя, т.е. всего требуется

N p операций, где для простоты считается, что число узлов по каждой переменной одинаково и равно N. Согласно (38), явная разностная схема устойчива, когда

.

Таким образом, для расчета до момента времени T необходимо сделать

N 2 шагов по времени и полный расчет потребует

Если пользоваться абсолютно устойчивой схемой, когда s ³ ½, то можно выбирать t

h. Однако, в этом случае необходимо решать линейную систему уравнений порядка N p . Если ее решать методом Гаусса, то потребуется

N 3 p операций. Это число операций можно несколько сократить, заметив, что полученная матрица будет сильно разреженной и если предположить, что используется алгоритм, учитывающий такую разреженность, то число операций будет

N 3 p — 2 . Такая оценка следует из того, что в одномерном случае матрица трехдиагональная и система уравнений решается прогонкой с числом операций

N. Учитывая, что для получения решения в момент времени T требуется

N шагов по времени, найдем итоговую оценку для числа операций

N 3 p — 1 при использовании неявной разностной схемы.

Если для одномерного уравнения явная схема является явно невыгодной на фоне использования неявных схем, то в многомерном случае (p ³ 2) неявные схемы становятся невыгодными по сравнению с явной схемой.

Несмотря на упомянутые выше трудности, для многомерного параболического уравнения построены абсолютно устойчивые разностные схемы, которые позволяют вести расчет с шагом t

N p операций для перехода со слоя на слой. Это значит, что число действий в расчете на узел пространственной сетки не зависит от шагов h_a, a = 1,…,p. Такие схемы принято называть экономичными.

Подавляющее большинство многомерных расчетов параболических уравнений производится по экономичным схемам. Ниже будут рассмотрены два вида таких схем: продольно-поперечные и локально-одномерные.

Продольно-поперечная схема является одной из самых лучших двумерных экономичных разностных схем. Ее также называют схемой переменных направлений. На рис.7 приведен шаблон схемы переменных направлений, в которую введен полуцелый слой . Составим согласно шаблону рис.7 разностную схему:

, (39)

, (39¢)

где разностные операторы L₁, L₂ определены в (37¢), а берется на полуцелом слое .

Рис.7. Шаблон разностной схемы (39), (39¢)

Исследуем продольно-поперечную разностную схему (39), (39¢).

Вычислительная процедура по схеме (39), (39¢) складывается из перехода со слоя t на слой согласно уравнению (39) и далее переход со слоя на слой t + t согласно уравнению (39¢). На первом шаге неизвестными выступают величины с полуцелого слоя, они находятся прогонкой по направлению x₁ путем обращения разностного оператора L₁, который согласно (37¢) определен на трехточечном шаблоне. На втором шаге при переходе на слой t + t неизвестными выступают величины , они находятся прогонкой, но в поперечном x₂ направлении путем обращения оператора L₂, который также определен на трехточечном шаблоне. И для первой, и для второй прогонки имеется диагональное преобладание так, что прогонки устойчивы, а разностное решение существует и единственно.

Устойчивость продольно-поперечной схемы можно исследовать методом разделения переменных. Положим

, (40)

где — множители роста гармоник на первом и втором полушагах. Подставляя представление (40) в (39), (39¢), находим

, (41)

. (41¢)

Учитывая (40), (41¢), можно убедиться, что для любых гармоник и при любых шагах сетки верно неравенство: . Таким образом, при переходе со слоя слой ошибки в начальных данных не растут и разностная схема (39), (39¢) равномерно и безусловно устойчива по начальным данным. Можно также проверить, что дополнительный признак устойчивости по правой части (9.65) выполняется на каждом из полушагов по времени, т.е. схема (39), (39¢) также устойчива по правой части.

Порядок аппроксимации схемы (39), (39¢) можно оценить путем исключения полуцелого слоя. Для этого вычтем из уравнения (39) уравнение (39¢), тогда найдем

. (42)

Складывая уравнения (39), (39¢) и подставляя в них выражение (42), получим

. (43)

Предпоследний член в правой части (43), после разложения в ряд Тейлора, может быть аппроксимирован выражением . Остальные члены в (43) совпадают с симметричным вариантом схемы (37) (s = ½), которая имеет порядок аппроксимации . Тем самым, продольно-поперечная схема имеет второй порядок точности по всем переменным.

Определимся с аппроксимацией граничных условий (36) для продольно-поперечной схемы. При решении уравнения (39¢) относительно необходимо использовать граничное условие на сторонах прямоугольника x₂ = 0 и x₂ = b. В этом случае очевидно можно положить, что

. (44)

При решении уравнения (39) относительно необходимы граничные условия на сторонах x₁ = 0 и x₁ = a. Для их получения необходимо воспользоваться уравнением (42), тогда

(44¢)

где m = 1,…,M-1. Граничные условия (44), (44¢) обеспечивают погрешность аппроксимации .

Проведенное исследование аппроксимации и устойчивости показывает, что схема (39), (39¢) безусловно сходится в норме , при этом в прямоугольной области на равномерной сетке и при граничных условиях (44), (44¢) схема имеет точность на решениях с непрерывными пятыми производными.

Изучим разностную схему (39), (39¢) на примере численного решения уравнения (34) с правой частью вида:

(45)

где f₀, r₀, r₁ = const > 0, а . Функция (45) представляет собой источник тепла эллиптической формы в области [0,a]´[0,b]. Трехмерный график источника тепла представлен на рис.8 (левый рисунок). На листинге_№4 приведен код программы численного решения задачи (34), (45) с нулевыми граничными и начальными условиями.

%Программа решения двухмерного уравнения

%теплопроводности (34) с источником специального

%вида (45) с помощью продольно-поперечной

%разностной схемы (39), (39′)

global a b f0 r0 r1

%Определяем габариты области интегрирования

%по времени, направлениям x1 и x2, а также

%коэффициент теплопроводности и константу f0,

%задающую амплитуду источника

T=1; a=1; b=1; koef=0.5; f0=100;

%Определяем число шагов по времени и по

%направлениям x1 и x2

%Определяем сетки по x1 и x2

%Определяем источник тепла в узлах сетки

%Рисуем трехмерный профиль источника тепла

%Определяем нулевые начальные данные

%Определяем граничные условия при x1=0 и x1=a

%Определяем граничные условия при x2=0 и x2=b

%Определяем номера слоев по времени, которые будут

%нарисованы на итоговом графике

%Организуем основной цикл интегрирования по времени

%Находим решение на полуцелом временном слое,

%т.е. решаем уравнение (39)

%Учитываем нулевое граничное при x1=0

%Учитываем нулевое граничное при x1=a

%Находим решение на следующем временном слое,

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович, Лафишева Мадина Мухамедовна, Нахушева Фатима Мухамедовна, Мамбетова Альбина Борисовна

Работа посвящена исследованию локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с

нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. В работе получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость построенной схемы на кубической сетке.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович, Лафишева Мадина Мухамедовна, Нахушева Фатима Мухамедовна, Мамбетова Альбина Борисовна

The locally-one-dimensional scheme for the equation of heat conductivity with the concentrated thermal capacity

The work is devoted to locally-one-dimensional schemes for the equation of heat conductivity with a non-stationary boundary condition which imitate a concentrated thermal capacity placed on domain boundary. A priori estimate in the uniform metrics is obtained and the convergence of the constructed scheme on a cubic net is proved.

Текст научной работы на тему «Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 58-64

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ

М. Х. Шхануков-Лафишев, М. М. Лафишева, Ф. М. Нахушева, А. Б. Мамбетова

Работа посвящена исследованию локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. В работе получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость построенной схемы на кубической сетке.

Ключевые слова: краевая задача, сосредоточенная теплоемкость, локально-одномерная схема, сходимость, априорная оценка.

Локально-одномерные схемы (ЛОС) для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение А. А. Самарским [2]. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной аппроксимации существенно расширяет класс решаемых задач.

В работе рассмотрены ЛОС для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Тогда для уравнения теплопроводности в одномерном случае, например, при x = 0 ставится краевое условие вида

du , du со^гг = к—, с0 = const > 0. dt dx

Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью [1, с. 186], при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость [2].

Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [3, с. 233]. Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h, то на верхней границе следует задать условие

где c — концентрация соли в почвенном растворе, D — коэффициент диффузивности [3].

В одномерном случае подобные задачи рассмотрены в [4, с. 426]. Здесь рассматривается случай многомерной задачи, когда на границах области по каждому направлению xa, a = 1,2 . p, помещена сосредоточенная теплоемкость величины х±а, a = 1,2. p. Для рассматриваемой задачи построена схема повышенного порядка

© 2013 Шхануков-Лафишев М. Х., Лафишева М. М., Нахушева Ф. М., Мамбетова А. Б.

аппроксимации. С помощью принципа максимума для ЛОС получены априорные оценки в равномерной метрике, выражающие устойчивость ЛОС по начальным данным, по правой части и граничным данным.

1. Локально-одномерная схема. В цилиндре С>т = С х [0,Т], где С = <ж =

(ж1 , х2. хр) : 0 ^ ха ^ 1а,а = 1. ,р> — р-мерный прямоугольный параллелепипед, рассматривается задача

— = ьи + /(х,г), (х,г)едт = Сх(о,т], (1)

где 0 0, Х±а ^ 0, а = 1. ,р.

Следуя [4, с. 520], заменим многомерное уравнение цепочкой одномерных уравнений теплопроводности

p dt с условиями

— ka(x, t) gxaa — X+a (%, t) + /3+а (ж, í)f(a) — xa — la,

v(a)(x, 0) — u0(x), = a = 2,3. p, (6)

V(i)(x,tj) — V(p)(x,tj), j — 1,2. jo — 1.

Аппроксимируя каждое уравнение теплопроводности номера а на полуинтервале

у р = г р +п р в уравнение (7), получим

& р =Ааг3+Р + фа Р, 4>а Р =Ааи3+Р +(ра Р — Щ

Обозначим через фа = (Ьаи + /а — ^^ ) и, замечая, что ^ фа = 0, если ^ /« = /

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью

Автор: Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович, Лафишева Мадина Мухамедовна, Нахушева Фатима Мухамедовна, Мамбетова Альбина Борисовна

Бесплатный доступ

Работа посвящена исследованию локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с

нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. В работе получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость построенной схемы на кубической сетке.

Краевая задача , сосредоточенная теплоемкость , локально-одномерная схема , сходимость , априорная оценка

Короткий адрес: https://readera.org/14318444

Список литературы Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью

• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1996.-724 c.
• Самарский А. А. Об одной задаче распространения тепла//Избр. тр. А.

Самарского.-М.: МАКС Пресс, 2003.-С. 1-22.