Любое действительное число является решением уравнения

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

При а1 х =;

При а3 х = ;

При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

При а2, а0 х = ;

При а-3, а-2, а0, 5 х =

При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) 0

а 6
а > — 1
а > 5/9

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

0 25/2
при а = 1, а = -2,2
0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2

х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Найдите, при каких значениях а уравнение log ₂ (4 x – a) = x имеет единственный корень.

При каких значениях а уравнение х – log ₃ (2а – 9 х ) = 0 не имеет корней.

Ответы:

Любое действительное число является решением уравнения

Линейные уравнения и неравенства с параметром

Уравнение вида

ax + b = 0,

(1)

где a,b О R, x — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Ниже приведены примеры линейных уравнений:

a) 2x + 6 = 0,	где a = 2, b = 6;
b) x — 2 = 0	где a = 1, b = -2;
c) 0·x + 0 = 0,	где a = b = 0;
d) 0·x + 1 /₃ = 0,	где a = 0, b = 1 /₃;
e) — 1 /₂x = 0,	где a = — 1 /₂; b = 0.

Уравнение (1) равносильно уравнению ax = —b откуда следует следующее утверждение.

Утверждение 1.

Если a ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение x = — b /_a;
Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения (1) пусто;
Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения (1).

Таким образом, приведенные выше линейные уравнения решаются следующим образом:

a) x = — 6 /₂, то есть x = -3;
b) x = 2;
c) любое действительное число является решением данного уравнения;
d) уравнение не имеет решений;
e) x = 0.

Замечание 2. Уравнение (ax + b)(cx + d) = 0 где a, b, c, d О R, сводится к совокупности линейных уравнений

	ax + b = 0,
	cx + d = 0.

Пример 1. Решить уравнения

a) ,	c) —x + 2 = 2 — x,
b) 2x + 1 = 2x + 3,	d) (2x + 4)(3x — 1) = 0.

Решение. a) x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 Ы 2x — 2x = 3 — 1 Ы 0·x = 2 откуда следует, что уравнение не имеет решений.

c) —x + 2 = 2 — x Ы —x + x = 2 — 2 Ы 0·x = 0, следовательно, любое действительное число является решением уравнения.

d) (2x + 4)(3x — 1) = 0 Ы

	2x + 4 = 0,
	3x — 1 = 0,

	x₁ = -2,
	x₂ = 1 /₃.

В дальнейшем будут рассматриваться линейные уравнения с параметрами. Под параметром понимается (смотрите тему Уравнения с параметром) фиксированное (но неизвестное) число. Как правило, параметр обозначается первыми буквами латинского алфавита.

Пример 2. Решить уравнения

a) ax = 1;	e)
b) a 2 x — 1 = x + a;	f)
c) ax + b = cx + d;	g)
d) ;

Решение. a) Применяя утверждение 1, получим:

при a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, x = 1 /_a;

при a = 0 уравнение примет вид 0·x = 1 и, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: если a О R\<0>, то x = 1 /_a; если a = 0, то уравнение не имеет решений.

b) После элементарных преобразований получим: a 2 x — 1 = x + a Ы a 2 x — x = a + 1 Ы x(a 2 — 1) = a + 1.

откуда, применяя утверждение 1, получим:

если a 2 -1 ≠ 0, то есть a ≠ ± 1, то или
если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;
если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

c) Перепишем уравнение следующим образом (a — c)x = d — b, откуда следует:

если a — c ≠ 0, то есть a ≠ c, то уравнение имеет единственное решение
если a = c и d — b ≠ 0, то уравнение примет вид 0·x = d — b ( ≠ 0) и, следовательно, оно не имеет решений;
если a = c и d = b, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, множество его решений есть R

d) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть x ≠ 4. В ОДЗ уравнение решается следующим образом:

	x-2a = 0,
	x ≠ 4

	x = 2a,
	x ≠ 4.

Таким образом, если 2a ≠ 4, то есть a ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a, а если a = 2, то уравнение не имеет решений.

если a ≠ -1, a ≠ 2, — a /₂ ≠ -1, — a /₂ ≠ 2, то есть a О R\<-1;2;-4>, то уравнение имеет два решения x₁ = a и x₂ = — a /₂ (если a = 0, решения совпадают);

если a = -1, то уравнение имеет единственное решение x = 1 /₂;

если a = 2, то уравнение не имеет решений;

если a = -4, то уравнение имеет единственное решение x = -4.

f) Если a = 0 или b = 0, то уравнение не имеет смысла. Пусть a·b ≠ 0. Тогда уравнение равносильно следующему x(b + a) = abc откуда следует:

если b + a ≠ 0, то есть a ≠ —b, то уравнение имеет единственное решение
если a = —b и c ≠ 0, то уравнение не имеет решений.
если a = —b и c = 0, то любое действительное число есть решение данного уравнения.

g) ОДЗ уравнения определяется из системы

	5x —a ≠ 0,
	ax — 1 ≠ 0,

откуда x ≠ a /₅ и, если a ≠ 0, x ≠ 1 /_a. Если a = 0, то уравнение примет вид или -2 = 15x,

откуда , и, поскольку следует, что если a = 0 то уравнение имеет решение .

Пусть a ≠ 0. Тогда в ОДЗ уравнение примет вид 2(ax — 1) = 3(5x — a), откуда (2a — 15)x = 2 — 3a и, следовательно,

если 2a — 15 ≠ 0, то есть то получим ;
если 2a-15 = 0, то есть то уравнение не имеет решений.

Таким образом для нужно проверить условие x ≠ a /₅ и x ≠ 1 /_a: или (2a — 15)a ≠ 5(2 — 3a) откуда 2a 2 ≠ 10, или Таким образом, для уравнение не имеет решений.

В случае второго ограничения получим или a(2 — 3a) ≠ (2a — 15), откуда 3a 2 = 15, то есть a 2 ≠ 5 (уже исследованный случай).

Таким образом, если уравнение не имеет решений, а если то уравнение имеет единственное решение (заметим, что решение полученное в случае a = 0 содержится в приведенном выше результате).

Пример 3. Решить уравнения

a) \|x — a\| = 2;	c) \|x — a\| + \|x — 2a\| = a;
b) \|x\| + \|x — a\| = 0;	d) \|x — 1\| + \|x — 2\| = a.

Решение. a) Используя свойство модуля, получим:

|x — a| = 2 Ы

	x — a = 2,
	x — a = -2,

	x = a + 2,
	x = a — 2.

Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, x₁ = a + 2 и x₂ = a — 2.

b) Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения (как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Следовательно,

	x = 0,
	x — a = 0,

или

	x = 0,
	x = a.

Таким образом, если a = 0, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение x = 0, а если a ≠ 0, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.

c) Так как | f(x)| = |-f(x)| уравнение можно переписать следующим образом |x — a| + |2a — x| = a.

Очевидно, что если a 0. Тогда a = |a| = |(2a — x) + (x — a)|, и уравнение примет вид |x — a| + |2a — x| = |(2a — x) + (x — a)|. Это уравнение равносильно (см. свойства модуля) неравенству (2a — x)(x — a) ≥ 0 откуда, учитывая, что 0 О [a;2a].

если a 0, то уравнение имеет бесконечное число решений — любое число a ≤ x ≤ 2a.

d) Очевидно, что уравнение имеет решения только при a > 0. Рассмотрим три случая:

Пусть x —x + 1 — x + 2 = a или -2x = a — 3 откуда . Поскольку xоткуда a > 1. Таким образом, если a > 1, то ;
Пусть x О [1;2]. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = -(x-2) и уравнение примет вид x — 1 — x + 2 = a, 0·x = a — 1. Используя утверждение 1, получим:

если a = 1, то любое действительное число из отрезка [1;2] есть решение исходного уравнения;

если a ≠ 1, то решений нет.
Пусть x > 2. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = x — 2 и уравнение примет вид x — 1 + x — 2 = a откуда Поскольку x > 2, то то есть a > 1.

если a > 1, то уравнение имеет два различных решения и

если a = 1, то любое число отрезка [1;2] есть решение уравнения;

если a Линейные неравенства

ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b О R, x — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:

a > 0, тогда ax + b > 0 Ы ax > —b Ы x > — b /_a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (- b /_a;+ Ґ );
aax + b > 0 Ы ax > —b Ы x b /_a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a Ґ ;- b /_a);
a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

a) 3x + 6 > 0;

c) 2(x + 1) + x

Решение. a) 3x + 6 > 0 Ы 3x > -6 Ы x > -2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (-2;+ Ґ ).

b) -2x + 3 ≥ 0 Ы -2x ≥ -3 Ы x ≤ 3 /₂, то есть множеством решений исходного неравенства является (- Ґ ; 3 /₂].

c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство 2(x + 1) + x Ы 2x + 2 + x Ы 0·x + 1 Так как 1 3x + 2 ≥ 3(x — 1) + 1 Ы 3x + 2 ≥ 3x — 3 + 1 Ы 0·x + 4 ≥ 0, откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенства

a) ax ≤ 1;

b) |x — 2| > -(a — 1) 2 ;

c) 3(4a — x) ax + 3;

f) ax + b > cx + d;

Решение. a) В зависимости от знака a рассмотрим три случая:

если a > 0, то x ≤ 1 /_a;
если a 1 /_a;
если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом, если a > 0, то x О (- Ґ ; 1 /_a], если a О [ 1 /_a;+ Ґ ), и если a = 0, то x О R.

b) Заметим, что |x — 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1) 2 ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства. Ответ: если a = 1, то x О R\<2>, а если a О R\<1>, то x О R.

c) После элементарных преобразований получим 3(4a — x) Ы 12a — 3x Ы 12a — 3 Ы x(2a + 3) > 3(4a — 1).

Далее рассмотрим три случая:

если 2a + 3 > 0, то есть a > — 3 /₂, то
если 2a + 3 3 /₂, то
если 2a + 3 = 0, то есть a = — 3 /₂, то неравенство примет вид 0·x > -21 и, так как 0 > -21 — истинное числовое неравенство, следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

если то

Далее рассмотрим следующие случаи:

если a(b — 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a
если a(b — 1) 0 и b 1, то
если a = 0, b ≠ 1 то неравенство примет вид 0·x > 3 — b и для b > 3 любое число является решением, а если b О (- Ґ ;1) И (1;3], то множество решений неравенства пусто.
если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид 0·x > 2 и, очевидно, что оно решений не имеет.

если a > 0 и b > 1, или a 0 и b 1, то

если a = 0 и b О (3;+ Ґ ), то x О R;

если a = 0 и b О (- Ґ ;1) И (1;3) или a ≠ 0 и b = 1, то неравенство не имеет решений.

e) Заметим, что a ≠ ± 1, (в противном случае неравенство не имеет смысла). Неравенство переписывается следующим образом

Далее рассмотрим следующие случаи:

1. пусть a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), тогда (a — 1)(a + 1) > 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему x(2 — 3a) + 3 — a ≤ 0, или x(2 — 3a) ≤ a — 3, откуда для a > 1

Последнее неравенство решается следующим образом:

если a О (-1; 2 /₃), то

если a О ( 2 /₃,1), то .

Таким образом, исходное неравенство

при a О (- Ґ ;-1) И ( 2 /₃;1) имеет решения

при a О (-1; 2 /₃) И (1;+ Ґ ) имеет решения

при a = 2 /₃, любое действительное число является решением исходного неравенства.

f) Исходное неравенство равносильно следующему (a — c)x > d — b откуда следует, что

если a >c, то a — c > 0 и, следовательно,
если a О R.

g) Заметим, что a ≠ 0 и b ≠ 0. Приведя к общему знаменателю, получим

2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 > 0,

ab > 0,

2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2

x(b — a) 2 2 — a 2 ),

ab 2 > 2(b 2 — a 2 ),

ab Ы

ab > 0,

a ≠ b,

x О Ж ,

a = b,

Таким образом, если a и b одиннакогого знака (ab > 0) и a ≠ b, то множество решений неравенства есть если a и b — противоположных знаков (ab

a) |x + a| + |x — 2a| 2;

b) |x + a|

Решение. a) Заметим, что при a ≤ 0 неравенство решений не имеет. Пусть a > 0. Рассмотрим три случая:

пусть x О (- Ґ ;-a], тогда |x + a| = —x — a и |x — 2a| = 2a — x и неравенство примет вид —x — a + 2a — x — 3 /₂a, поскольку a > 0, пересечением множеств (- Ґ ;-a] и (а, следовательно, и множеством решений неравенства) явяется множество
пусть x О (-a;2a], тогда |x + a| = x + a, и |x — 2a| = 2a — x, и неравенство примет вид x + a + 2a — x и, поскольку a > 0, любое число из интервала (-a;2a] есть решение неравенства;
пусть x О (2a;+ Ґ ), тогда |x + a| = x + a и |x — 2a| = x — 2a, и неравенство примет вид x + a + x — 2a 5 /₂a. Учитывая условие x > 2a, получим x О (2a; 5 /₂a).

Таким образом, если a ≤ 0, то неравенство не имеет решений, а если a > 0, то множество решений неравенства есть (- 3 /₂a;-a] И (-a;2a] И (2a; 5 /₂a) или (- 3 /₂a; 5 /₂a).

b) Заметим, что неравенство может иметь лишь положительные решения. Для x > 0 неравенство переписывается |x + a| |x + a| Ы |x + a| Ы (x + a + ax)(x + a — ax) Ы

Ы [(a + 1)x + a][(1 — a)x + a] Ы

(a + 1)x + a > 0,

(1 — a)x + a Ы

		(a + 1)x > —a,
		(1 — a)x —a.

Если a > 1, тогда a — 1 > 0 и a + 1 > 0, и первая система совокупности примет вид

откуда (учитывая, что x > 0) получим а вторая система совокупности примет вид и, так как a > 1 влечет а x > 0, система не имеет решений.

Если a = 1, то первая система совокупности не имеет решений, а из второй получим x 1 /₂, и, так как x > 0, то и в этом случае исходное неравенство не имеет решений.

Если -1 0 и 1 — a > 0, и первая система совокупности примет вид или откуда, заметив, что получим, что первая система совокупности несовместна. Из второй системы получим и, учитывая, что x > 0, получим откуда a О [0;1), то неравенство не имеет решений, а если a О (-1;0), то множество решений неравенства есть

Если a = -1, то первая система совокупности несовместна, а из второй получим x > 1 /₂.

Если a 0, и из первой системы следует Так как a 0, то в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Вторая система совокупности примет вид и, поскольку x > 0, получим

если a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), то

если a О [0;1], то неравенство не имеет решений;

Исследовательская работа на тему: «Линейные уравнения с параметром»

« Первые шаги в науку»

«Линейные уравнения с параметром»

Работу выполнил Савченков Денис

ученик 8 б класса

МБОУ «Центр образования» г. Брянска

1. Задачи исследовательской работы

3. Линейные уравнения

4. Примеры решения уравнений

1. Научиться решать линейные уравнения с параметрами, чтобы отработать навыки решения уравнений.

2. Исследовать некоторые методы решения уравнений с параметрами.

3. Познакомиться со специфическими преобразованиями, которые исполь-зуются в уравнениях; уметь строить логическую цепочку рассуждений.

Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений и неравенств. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Линейное уравнение с параметром

Если в уравнение или неравенство, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство — параметрическим.

Рассмотрим подробнее линейные уравнения с параметрами.

Параметр

Решить уравнение с параметром

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

1) получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров;

2) получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором — недопустимым.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число из R, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В, где Аи В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по схеме:

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Примеры решения уравнений

Рассмотрим следующие примеры.

Решение. Рассмотрим случаи:

1) а = 1, тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;

2) а = -1,получаем 0х = 0, очевидно х – любое;

3) а ≠ ± 1; имеем х = .

Ответ: Если а = — 1, то х – любое; если а = 1, то нет решений; если а ≠ ± 1, то х = .

После преобразования получаем равносильное данному уравнение

1. Если , т. е и , то

2. Если , т. е или , то: 1) при , получается уравнение , которое корней не имеет; 2) при , получается уравнение , корнем которого является любое число.

Ответ: 1) и , ;

2) , нет корней;

3) , — любое число.

После преобразования получаем равносильное данному уравнение:

1. Если , то

2. Если , т. е. , то нет корней

Ответ: Если , то ;

Если , т. е , то нет корней

(1)

После преобразования получаем равносильное данному уравнение:

, ,

1. Если и , то получаем ;

2. Если , то , следовательно, уравнение (1) не имеет решения;

3. Если , то получаем , т. е. , значит — любое;

Ответ: 1) и , ;

2) , нет корней;

3) , — любое.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0•х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0•х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Преобразуем данное уравнение: ;

;

1. Если , т. е. , то ;

2. Если , то ;

;

, нет корней.

Ответ: 1) , ;

2) , нет корней.

Решить уравнение: (a2-1)x = a2-3a+2.

Решение. Это уравнение является линейным относительно переменной x, значит, здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в 0. То есть рассмотрим случаи a2-1=0 и a2-10 (удобнее разложить обе части уравнения на множители, привести к виду

При a = 1 заданное уравнение принимает вид 0*x=0, значит x-любое действительное число.

При а = -1 заданное уравнение принимает вид 0*х=6, значит корней нет.

При а 1 можно разделить обе части уравнения на а2-10:

х =

Ответ: при а = 1, х – любое действительное число; при а = -1 нет корней; при а 1, х =

Рассмотрим некоторые уравнения, приводимые к линейным уравнениям. Увидеть при первом взгляде на уравнение, что его можно привести к линейному уравнению, нельзя. После преобразований появляется уравнение, которое не имеет переменных в степенях выше первой.

Решите уравнение:

Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b-1)(x+3)0, то есть b1, x-3.

Умножив обе части уравнения на (b-1)(x+3)0, получаем уравнение:

Это уравнение является линейным относительно переменной х.

При 4b-9=0, то есть b=2,25 уравнение принимает вид:0*х = 26,5.

При 4b-90, то есть b2,25 корень уравнения х =

Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение x равно -3.

Таким образом, при b1, b2,25, b-0,4 уравнение имеет единственный корень x =

Ответ: при b1, b2,25, b-0,4 х =; при b = 2,25, b = -0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

При каких значениях а уравнение (а2-1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный корень.
Решение:
а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть
При а=1 уравнение не имеет решений.
б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть
При а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение, при а2-1≠0, то есть (а-1)(а+1)≠0, т. е. а≠±1.
Ответ:

1. Уравнение не имеет решений, при а=1.

2. Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.

3. Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.

Решить уравнение относительно х

Решение. Запишем уравнение в стандартном виде (а-1)х=а-1.

1. Если а-1=0, т. е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0, т. е. х – любое число.

2. Если а-1≠0, т. е. а≠1, то х=1.

Ответ:
при а=1, х – любое число; при а≠1, х=1.

При всех значениях параметра а решить уравнение:

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

1) , если .

Найденный будет решением, если .

2) , если .

Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же

, то решением является любой .

3) , если .

Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же

, то решением является любой .

Ответ: при ; при ;

при ; является также решением при всех .

Решение: После элементарных преобразований получим:

1. если a2-1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1, то или

2. если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;

3. если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

Ответ: если a ≠ ±1, то или

если a = 1, то уравнение не имеет решений;

если a = -1, то любое действительное число является решением этого уравнения.

Огромную роль играют задачи с параметрами в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков. Поэтому, владея методами решения задач с параметрами, можно успешно справиться и с другими задачами. Повышается интерес к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету. А в повседневной жизни каждый из нас ежедневно и постоянно решает задачи с несколькими параметрами, и от умения быстро и логически верно просчитывать ходы, решать жизненные задачи, суметь увидеть и не упустить важный шанс в жизни зависит наша судьба.

1. , , Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.

2. , Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.

3. Никонов . Самара – 1998.

4. Родионов задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995

5. , Духон уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

6. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия «Математика. Проверь себя». М.: слово – учебная книга», 2003.

источники:

http://www.math.md/school/praktikum/paramr/paramr.html

http://pandia.ru/text/78/499/94431.php

a) \|x — a\| = 2;	c) \|x — a\| + \|x — 2a\| = a;
b) \|x\| + \|x — a\| = 0;	d) \|x — 1\| + \|x — 2\| = a.