3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.2 Простейшие типовые звенья
Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!
Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.
Тема сегодняшней статьи:
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
Хочешь вкусить плодов познания? — Грызи гранит науки!
Понятие “типовые звенья” в теории управления техническими системами, в основном, связано с описанием САУ (САР) в переменных “вход – выход”, т.е. описание систем в передаточных функциях. Любую линейную САУ (САР) или линеаризованную САР можно структурно расчленить на простейшие элементы (звенья), соединенные между собой соответствующими последовательными, параллельными связями, местными и локальными обратными связями, сумматорами, сравнивающими устройствами и т.д.
Достигнуто общепринятое соглашение, что наиболее удобно расчленять структурную схему САР на звенья 1-го и 2-го порядков. Принято называть такие простейшие звенья типовыми.
С другой стороны, реальная линеаризованная (линейная) система состоит из набора отдельных узлов и агрегатов, соединенных соответствующими связями, причем порядок уравнений динамики вышеуказанных узлов и агрегатов может быть и выше второго. В этом случае звенья (узлы и агрегаты) САР можно классифицировать по их свойствам.
Различают 3 типа звеньев:
Существуют также особые звенья, которые будут рассмотрены позднее.
Учитывая, что передаточная функция линейного (линеаризованного) звена может быть записана как:
где: и — полиномы по степеням s, причем коэффициенты при низшей степени s в полиномах , равны 1, классификацию на типы звеньев можно объяснить видом полиномов или (что эквивалентно) видом коэффициентов в соответствующих уравнениях динамики звена.
Подробнее о передаточной функции см. здесь.
Позиционным звеном считают звено, в котором полиномы N(s) и L(s) содержат свободные члены (равные 1). Например:
или в уравнении динамики (x(t) – входной сигнал, y(t) – выходной):
Из типовых звеньев (1-го и 2-го порядка) к позиционным звеньям относятся: идеальное усилительное звено, апериодические звенья 1-го и 2-го порядка, колебательное звено и форсирующее звено.
Дифференцирующим звеном считается звено, в котором полином L(s) содержит свободный член (равный 1), а полином N(s) не содержит свободного члена ().
Например:
или в уравнении динамики:
Из типовых звеньев к дифференцирующим звеньям относятся идеальное дифференцирующее звено, инерционно-дифференцирующее звено.
Интегрирующим звеном считается звено, в котором полином N(s) содержит свободный член (), а полином L(s), не содержит свободного члена (). Например:
или в уравнении динамики:
Из типовых звеньев к интегрирующим звеньям относятся идеальное интегрирующее звено, инерционно–интегрирующее звено.
Пример переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии на три разных звена, приведенных выше:
3.2.1. Идеальное усилительное звено
Уравнение динамики каждого звена имеет вид: , т.е. уравнение не является дифференциальным, следовательно, данное звено является безынерционным.
Переходя к изображениям , получаем:
– уравнение динамики звена в изображениях.
Передаточная функция идеального усилительного звена:
АФЧХ не зависит от ω, поскольку:
Рисунок 3.2.1 АФЧХ идеального усилительного звена
Годограф АФЧХ “вырождается” в точку: U(ω) =K; V(ω) =0;
A(ω) ≡modW(iω) =│W(iω)│=K =>
Lm(ω)=20lgA(ω) =20lgK; =>
φ(ω) = const = 0 т.е. фазового сдвига нет. Следовательно, данное звено является безынерционным, чисто усилительным звеном.
Рисунок 3.2.4 ЛАХ идеального усилительного звена
Найдем весовую w(t) и переходную h(t) функции звена (подробнее см. здесь).
Весовая функция:
3.2.2. Идеальное дифференцирующее звено
Уравнение динамики звена имеет вид:
где: – постоянная времени.
Переходя к изображениям:
Уравнение динамики звена в изображениях:
Передаточная функция идеального дифференцирующего звена:
Графики годографа АФЧХ, A(ω) и φ(ω) имеют вид:
Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ::
Из рисунка 3.2.9 видно, что данное звено обеспечивает опережение по фазе на /2 (при любой частоте входного сигнала).
Чем выше частота единичного гармонического сигнала на входе в звено, тем выше амплитуда выходного сигнала в установившемся режиме.
Найдем весовую функцию звена:
Учитывая, что δ(t) имеет вид как на рис.3.2.11 (зависимость показана утрированно), а весовая функция пропорциональна производной от δ(t):
Найдем переходную функцию звена:
Иногда идеальное дифференцирующее звено представляется в виде или . В последнем варианте коэффициент К имеет смысл постоянной времени.
3.2.3. Идеальное интегрирующее звено
Уравнение динамики такого звена имеет вид:
или в изображениях:
Передаточная функция идеального интегрирующего звена:
Умножая числитель и знаменатель на i, получаем:
Годограф АФЧХ имеет вид:
Данное звено всегда дает отставание по фазе на угол .
Найдем весовую функцию звена:
Найдем переходную функцию звена:
Примерами устройств, близких к идеальному усилительному звену, можно считать: широкополосный электронный усилитель (приближенно), механический редуктор без учета инерционности и нелинейных эффектов, жесткую механическую муфту и т.д.
Примером идеального дифференцирующего звена можно считать тахогенератор:
где u(t) – напряжение на клеммах тахогенератора, φ(t) – угол поворота якоря (ротора) тахогенератора.
Примером идеального интегрирующего звена можно считать большинство электродвигателей (без учета инерционности якоря), где входным воздействием считать напряжение в обмотке возбудителя (двигателем постоянного тока), а выходным воздействием – угол поворота выходного вала.
Пример интегрирующего и дифференцирующего звена на основе конденсатора
Один и тот же технический элемент, с точки зрения теории автоматического управления, может выступать как в качестве интегрирующего, так и в качестве дифференцирующего звена.
В качестве примера интегрирующего звена можно рассмотреть конденсатор, где входным воздействием является ток, а выходным результатом является напряжение на клеммах конденсатора. Действительно, при малом токе и большой емкости конденсатора, в случае ступенчатого изменения тока с 0, мы получаем график напряжения, совпадающий по форме с переходной функцией интегрирующего звена. На рисунке 3.2.20 представлена такая модель, где ток ступенькой меняется на пятой секунде расчета.
Если построить с помощью гармонического анализатора ЛАХ и ФЧХ, мы увидим, что угол наклона ЛАХ составляет -20 dB/dec, а угол сдвига фазы равен — или -90 градусов на графике (см. рис. 3.2.21).
Тот же самый конденсатор, при определенных параметрах сети, может выступать в качестве идеального дифференцирующего звена, если в качестве входного воздействия подавать напряжение, а в качестве результирующей величины использовать ток в цепи.
Электрическая схема использования конденсатора в качестве дифференцирующего звена с гармоническим анализатором приведена на рисунке 3.2.22. На графиках гармонического анализатора видно, что угол наклона ЛАХ составляет 20 dB/dec, а угол сдвига фазы равен или 90 градусов на графике.
Примеры моделей, использованные в данной лекции, можно взять в этом архиве.
Типовые динамические звенья
Типовым динамическим звеном САУ является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.
Позиционными звеньями являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.
Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики.
Наличие нулевых корней в числителе или знаменателе ПФ типовых звеньев — это признак для разбиения последних на три группы:
Позиционные звенья: 1, 2, 3, 4, 5, — не имеют нулевых корней, и, следовательно, в области низких частот (т.е. в установившемся режиме), имеют коэффициент передачи равный k.
Интегрирующие звенья: 6, 7, 8, — имеют нулевой корень-полюс, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности.
Дифференцирующие звенья: 9, 10 — имеют нулевой корень-ноль, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к нулю.
6.2. Типы объектов и законы регулирования |
В зависимости от величины самовыравнивания различают три типа объектов управления: устойчивый (с положительным самовыравниванием); нейтральный (с нулевым самовыравниванием); неустойчивый (с отрицательным самовыравниванием). Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (наличие положительного полюса).
Под законом регулирования (управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект:
u(t) = F(Δ) , где Δ — ошибка регулирования.
Законы регулирования бывают:
— линейные:
или (3.1)
— нелинейные: .
Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом. Цифровые законы регулирования реализуются путем построения регуляторов с помощью средств вычислительной техники (микро ЭВМ или микропроцессорных систем).
Наличие в (3.1) чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральным или к дифференциальным составляющим в первичной информации x(t), определяет тип регулятора:
1. P — пропорциональный;
2. I — интегральный;
3. PI — пропорционально интегральный (изодромный);
4. PD — пропорционально дифференциальный;
5. и более сложные варианты — PID, PIID, PIDD, .
Нелинейные законы регулирования подразделяются на:
1. функциональные;
2. логические;
3. оптимизирующие;
4. параметрические.
В составе структуры САУ содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия U в зависимости от ошибки (отклонения), т.е. U = f(Δ). Закон регулирования определяет вид этой зависимости без учёта инерционности элементов регулятора. Закон регулирования определяет основные качественные и количественные характеристики систем.
6.4. Временные характеристики звеньев САУ |
Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции.
Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или отдельного звена W(р) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал Y(t) определяется следующим соотношением:
Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно. В данном разделе представлена таблица 3.1 переходов для наиболее распространенных случаев.
Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/p, то изображение переходной функции определяется соотношением:
Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнять переход от изображения к оригиналу.
Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:
Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.
Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.
Таблица 3.1
Изображение по Лапласу и оригиналы
Изображение | Оригинал f(t) |
Передаточные функции и временные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Временные характеристики типовых звеньев
Тип звена | Передаточные функции | Временные функции | |||
Позиционные звенья | |||||
Усилительное | |||||
Апериодическое 1-го порядка | |||||
Апериодическое 2-го порядка T1≥2T2 | |||||
Колебательное 0 jφ(ω) (3.2) , где — модуль; — аргумент частотной передаточной функции. Функция A(ω), представленная при изменении частоты от 0 до получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).
Дата добавления: 2016-03-20 ; просмотров: 7272 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ Типовые динамические звенья и их характеристикиТиповые динамические звенья- это минимально необходимый набор звеньев для описания системы управления произвольного вида. Типы звеньев систем управления различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики. Классификация основных типов динамических звеньев приведена на рис.3.9. Основные типы звеньев делятся на четыре группы: позиционные, интегрирующие, дифференцирующие и неминимально-фазовые [1,2]. Позиционные, интегрирующие и дифференцирующие звенья относятся к минимально-фазовым. Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудной характеристике всегда можно определить фазовую и наоборот. Позиционные звенья В звеньях позиционного, или статического типа, линейной зависимостью y = kx связаны выходная и входная величины в установившемся режиме. Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена. Позиционные звенья обладают свойством самовыравнивания, то есть способностью самостоятельно переходить в новое установившееся состояние при ограниченном изменении входного воздействия. Рис. 3.9. Классификация типовых динамических звеньев Безынерционное (идеальное усилительное) звено.Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением Амплитудно-фазовая частотная характеристика: W(jw) = k, A(w) = k, y(w) = 0. (3.16) Переходная и импульсная функции: h(t) = k1(t), w(t) = kd(t). (3.17) Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ¥. Примерами таких безынерционных звеньев могут служить жесткая механическая передача, часовой редуктор, электронный усилитель сигналов на низких частотах и др. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка.Уравнение и передаточная функция звена: (Tp+1) y(t) = x(t), , (3.18) где T — постоянная времени, характеризует степень инерционности звена, т.е. длительность переходного процесса. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: W(jw) = , , y(w) = — arctgTw. (3.19) Таким образом, апериодическое звено первого порядка является фильтром низких частот. Переходная и импульсная функции: h(t) = (1 — ), w(t) = . (3.20) Примерами апериодического звена первого порядка могут служить RC цепочка, нагревательный элемент и др. Апериодическое (инерционное) звено второго порядка.Дифференциальное уравнение звена имеет вид , (3.21) причем предполагается, что 2Т2£ Т1. В этом случае корни характеристического уравнения вещественные и уравнение (3.21) можно переписать в виде: где — новые постоянные времени. Передаточная функция звена . (3.23) Из выражения (3.23) следует, что апериодическое звеновторого порядка можно рассматривать как комбинацию двух апериодических звеньев первого порядка. Примерами апериодического звена второго порядка могут служить двойная RC цепочка, электродвигатель постоянного тока и др. Колебательное звено.Описывается дифференциальным уравнением , (3.24) при Т1 2 p 2 +2xTp+1) y(t) = x(t), (3.25) где Т — постоянная времени, определяющая угловую частоту свободных колебаний l=1/Т; x — параметр затухания, лежащий в пределах 0 Амплитудно-фазовая характеристика совпадает с вещественной осью. При 0 1/T — с отрицательной полуосью. Временные характеристики соответствуют незатухающим колебаниям с угловой частотой 1/T. Интегрирующие звенья В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью связаны в установившемся режиме производная выходной величины и входная величина. В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенство , откуда и произошло название этого типа звеньев. Идеальное интегрирующее звено.Уравнение и передаточная функция имеют вид py(t) = x(t), . (3.28) Амплитудно-фазовая частотная характеристика: W(jw) = , A(w) = , y(w) = -90 0 . (3.29) Переходная и импульсная функции: h(t) = t, w(t) = 1(t). (3.30) Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев. Примерами идеальных интегрирующих звеньев могут служить операционный усилитель в режиме интегрирования, гидравлический двигатель, емкость и др. Дифференцирующие звенья В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной, откуда и произошло название этого типа звеньев. Идеальное дифференцирующее звено.Уравнение и передаточная функция имеют вид y(t) = px(t), W(s) = s . (3.31) Амплитудно-фазовая частотная характеристика: W(jw) = jw, A(w) = w, y(w) = +90 0 . (3.32) Переходная и импульсная функции: h(t) = d(t), w(t) = . (3.33) Такое звено является идеализацией реальных дифференцирующих звеньев. Примерами идеальных дифференцирующих звеньев могут служить операционный усилитель в режиме дифференцирования, тахогенератор и др. Форсирующее (дифференцирующее) звено первого порядка.Дифференциальное уравнение и передаточная функция y(t) = (tp+1) x(t) , W(s) = ts+1, (3.34) где t — постоянная времени дифференцирования. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: W(jw) = (jwt + 1), A(w)= , y(w) = arctg wt . (3.35) Переходная и импульсная функции: h(t) = 1(t) + td(t), w(t) = d(t) + t . (3.36) Форсирующее (дифференцирующее) звено второго порядка.Уравнение и передаточная функция звена: y(t) = (t 2 p 2 +2xtp+1)x(t), W(s) = t 2 s 2 +2xts+1. (3.37) Амплитудно-фазовая частотная характеристика: W(jw) = (1-w 2 t 2 ) + j2xwt, A(w)= , y(w)=arctg . (3.38) Переходная и импульсная функции: h(t) = t 2 +2xtd(t)+1(t), w(t) = t 2 +2xt +d(t). (3.39) источники: http://helpiks.org/7-47680.html http://megalektsii.ru/s44664t6.html |