Maple дифференциальные уравнения методом эйлера

Maple дифференциальные уравнения методом эйлера

Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact . При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff , например, дифференциальное уравнение y» + y = x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _ С1 , _ С2 , и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%) .

Задание 1.1.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения y ‘+ y cos x =sin x cos x .

de : =

1

Итак, решение искомого уравнения есть функция 1 .

Замечание : при записи решения диффреренциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _ С1 .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y » — 2 y ‘+ y =sin x + e — x .

deq :=

Замечание : так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _ С1 и _ С2 . Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения порядка y »+ k 2 y =sin( qx ) в двух случаях: q ¹ k и q = k (резонанс).

de :=

Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q = k .

Замечание : в обоих случаях частное решение неоднородного уравнения и общее решение, содержащее произвольные постоянные, выводятся отдельными слагаемыми.

Фундаментальная (базисная) система решений.

Команда dsolve представляет возможность найти фундаментальную систему решений (базисные функции) дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolve следует указать output=basis .

Задание 1.2.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения: y (4) +2 y »+ y =0.

de : =

> dsolve(de, y(x), output=basis);

Решение задачи Коши или краевой задачи.

Команда dsolve может найти решение задачи Коши или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор , например, условие y»(0)=2 следует записать в виде , или условие y ‘(1)=0: . Напомним, что производная n -го порядка записывается в виде .

Задание 1.3.

1. Найти решение задачи Коши: y (4) + y »=2cos x , y (0)= — 2, y ‘(0)=1, y »(0)=0, y »'(0)=0.

cond:= y(0)= — 2, D(y)(0)=1, (D (2) )(y)(0)=0, (D (3) )(y)(0)=0

y( x )= — 2cos( x ) — x sin( x )+ х

2. Найти решение краевой задачи: , , . Построить график решения.

de : =

y( x )=2 x — p + p cos( x )

Замечание : для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

Системы дифференциальных уравнений.

Команда dsolve может найти решение системы дифференциальных уравнений (или задачи Коши), если в ней указать: dsolve(,), где sys — система дифференциальных уравнений, x(t),y(t),… — набор неизвестных функций.

Задание 1.4.

Найти решение системы дифференциальных уравнений:

Найдены две функции x ( t ) и y ( t ), которые зависят от двух произвольных постоянных _ С1 и _ С2 .

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение можно решить с помощью приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series ). Для того, чтобы указать порядок разложения n , т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n .

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях х найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле y(0) и ее производных D(y)(0), (D@@2)(y)(0) и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях х . Для выделения частного решения следует задать начальные условия y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3 и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series , поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom) , а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%) .

Задание 1.5.

1. Найти решение задачи Коши: , в виде степенного ряда с точностью до 5-го порядка.

y(0)=0>, y(x), type=series);

В полученном решении слагаемое означает, что точность разложения была до 5-го порядка.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения y »( х ) — y 3 ( х )= е — х cos x , в виде разложения в степенной ряд до 4-го порядка. Найти разложение при начальных условиях: y (0)=1, y ‘(0)=0.

> restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)-

Замечание : в полученном разложении запись D(y)(0) обозначает производную в нуле: y ‘(0). Для нахождения частого решения осталось задать начальные условия:

3. Найти приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка и точное решение задачи Коши: , , , . Построить на одном рисунке графики точного и приближенного решений.

de : =

cond :=y(0)=1, D(y)(0)=1, D (2) (y)(0)=1

y( x )=

y( x )=

Замечание : тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series , поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert

На этом рисунке видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале — 1 x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Глава 7

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения лежат в основе математического моделирования различных, в том числе физических, систем и устройств [1, 38, 46]. Решению таких уравнений посвящена эта глава. В ней рассмотрено как аналитическое, так и численное решение дифференциальных уравнений различного вида — линейных и нелинейных, классических и специальных, например, в частных производных и с учетом двухсторонних граничных условий. Описание сопровождается множеством наглядных примеров, реализованных в СКМ Maple 9.5/10.

7.1. Введение в решение дифференциальных уравнений

7.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения (ДУ) это уравнения, связывающие неизвестную функцию с какими либо ее производными и, возможно, с независимыми переменными. Если неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, а если от двух и более многих независимых переменных — дифференциальным уравнением в частных производных.

Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

(7.1)

в общем случае имеет множество решений в виде зависимостей y(х). Однако можно получить единственное решение, если задать начальные условия в виде начальных значений х₀ и у₀= у(х₀). Это решение может быть аналитическим, конечно-разностным или численным.

7.1.2. Решение дифференциального уравнения радиоактивного распада

В качестве примера аналитического решения дифференциального уравнения первого порядка (файл der) запишем дифференциальное уравнение радиоактивного распада атомов (N — число атомов в момент времени t, g=1/c):

Используя функцию dsolve, которая более подробно будет описана чуть позже, получим его общее аналитическое решение:

В решении присутствует произвольная постоянная _С1. Но ее можно заметить на постоянную N(0)=N₀, означающую начальное число атомов в момент t=0:

Если конкретно N₀=100 и g=4, то получим:

Хотя dsolve выдает решение N(t) в символьном виде, оно пока недоступно для построения графика этого решения или просто вычисления в любой точке. Однако, используя функции assign или subs можно сделать это решение доступным. Например, используем такую конструкцию:

Теперь мы можем воспользоваться полученной зависимостью N(t) и построить график ее:

Этот график, который читатель может просмотреть сам, описывает хорошо известным апериодическим экспоненциальный закон уменьшения числа атомов вещества в ходе его радиоактивного распада. Подобные зависимости, кстати, характерны для напряжения на конденсаторе С при его разряде через резистор R, для тока в LA-цепи и для многих простых физических явлений, описывающихся дифференциальным уравнением первого порядка.

7.1.3. Модели популяций Мальтуса и Ферхюльса-Пирла

Еще одним классическим примером применения дифференциального уравнения первого порядка является давно известная и довольно грубая модель популяции Мальтуса. Не вдаваясь в хорошо известное описание этой модели, отметим, что она описывает численность особей или их биомассу x(t) в любой момент времени (для момента времени х(0)=N) Эта зависимость характеризуется коэффициентами рождаемости α и смертности β. При этом вводится их разность k=α-β.

Представим задание дифференциального уравнения динамики популяций по модели Мальтуса и его решение в аналитическом виде:

dsol1 := x(t) = Ne (k1)

Нетрудно заметить, что решение этого уравнения аналогично решению дифференциального уравнения радиоактивного распада и описывается также экспоненциальной функций. Однако, в зависимости от того, какой фактор (рождаемость или смертность) преобладает наблюдается либо экспоненциальный рост, либо экспоненциальный спад биомассы популяций.

Более правдоподобную модель популяций предложили Ферхюльст и Пирл. Эта модель учитывает (коэффициентом внутривидовую конкуренцию и позволяет учесть приближение популяций к некоторому состоянию равновесия. На рис. 7.1 представлено дифференциальное уравнение динамики популяций Ферхюльста-Пирла. Решения приведены в общем виде, а также для k=g= k/g=1 и разных x(0)=1, 0.5 и 2.

Рис. 7.1. Моделирование популяций по модели Ферхюльста и Пирла

Поведение системы зависит от соотношения k/g и x(0)=N. При их равенстве количество биомассы популяции не меняется. При N>k/g биомасса экспоненциально уменьшается, приближаясь к значению k/g, а при N (n) =f(x, у, у’, y», …, y( n-1) ),

Теперь решение этого уравнения можно свести к решению системы ОДУ:

В таком виде ДУ n-го порядка может решаться стандартными средствами решения систем ОДУ, входящими в большинство математических систем.

7.1.6. Решение задачи на полет камня

В качестве примера аналитического решения системы дифференциальных уравнений рассмотрим постановку типичной физической задачи моделирования «Бросок камня», позволяющую описать полет камня, брошенного под углом к горизонту.

Модель должна позволять:

Вычислять положение камня в любой момент времени.

Масса камня, начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча.

На основе содержательной модели разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования. Применительно к нашей задаче движение камня может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотезы, принятые для модели:

• камень будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс камня;

• движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

• движение камня происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхность Земли;

• сопротивлением воздуха на первых порах пренебрегаем.

В качестве параметров движения будем использовать координаты (х, у) и скорость v(v_x, v_y) центра масс камня.

Концептуальная постановка задачи на основе принятых гипотез заключается в определении закона движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки х₀ и ее начальная скорость v₀ и угол броска α₀.

Таким образом, модель является простой — объект, как материальная точка, не имеет внутренней структуры. Учитывая типичные скорости и высоту броска камня, можно считать постоянным ускорение свободного падения. Переход от трехмерных координат к плоскости значительно упрощает решение задачи. Он вполне допустим, если камень не подкручивается при броске. Пренебрежение сопротивлением воздуха, как будет показано далее, приводит к значительной систематической ошибке результатов моделирования.

Теперь перейдем к составлению математической модели объекта — совокупности математических соотношений, описывающих его поведение и свойства. Из законов и определяющих выражений предметной дисциплины формируются уравнения модели.

По оси x на камень не действуют никакие силы, по оси y — действует сила тяжести. Согласно законам Ньютона имеем уравнения движения по оси x и оси y.

(7.2)

при следующих начальных условиях

Надо найти зависимости x(t), y(y), v_x(r), v_y(t).

Математическая постановка решения задачи в нашем случае соответствует решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Известно, что решение задачи Коши существует и что оно единственное. Количество искомых переменных равно количеству дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель корректна.

Решение этой задачи есть в любом учебнике физики. Тем не менее, выполним его средствами системы Maple. Из (7.2) запишем систему ОДУ первого порядка:

(7.3)

После интегрирования получим:

(7.4)

Определив константы интегрирования из начальных условий, окончательно запишем:

Из аналитического решения вытекает, что полет камня при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета камня вверх и вниз симметрична. Необходимые для расчета уравнения заданы в параметрической форме — как зависимости от времени, что, кстати говоря, облегчает моделирование по ним полета камня. Немного позже мы решим эту задачу, используя средства Maple 9.5 для решения систем дифференциальных уравнений.

7.1.7. Классификация дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения могут быть самого разного вида. На рис. 7.2 представлен раздел справки Maple 9.5 с классификацией дифференциальных уравнений. В ней представлено:

• 20 дифференциальных уравнений первого порядка;

• 25 дифференциальных уравнений второго порядка;

• 6 типов дифференциальных уравнений высшего порядка;

• основные функции решения дифференциальных уравнений.

Рис. 7.2. Классификация дифференциальных уравнений

Эта классификация охватывает большую часть классических дифференциальных уравнений, которые используются в математике и в математической физике. Следует отметить, что речь не идет об отдельных функциях по решению таких уравнений частного вида, а о примерах составления соответствующих уравнений и решении их с помощью небольшого числа функций системы Maple 9.5.

В качестве примера работы с классификатором выберем решение дифференциального уравнения Бернулли. Для этого активизируем на рис. 7.2 гиперссылку с его именем — Bernoulli. Появится окно справки по этому уравнению, показанное на рис. 7.3 с открытой позицией меню Edit.

Рис. 7.3. Окно справки по решению дифференциального уравнения Бернулли

С помощью команды Copy Examples в позиции Edit меню можно перенести примеры решения с окна справки в буфер Clipboard операционной системы Windows. После этого командой Paste в меню Edit окна документа можно перенести примеры в текущий документ — желательно (но не обязательно) новый. Теперь можно наблюдать решение выбранного дифференциального уравнения — рис. 7.4.

Рис. 7.4. Пример решения дифференциального уравнения Бернулли из справки

Возможность выбора и решения с полсотни классических дифференциальных уравнений различного типа дает системе Maple 9.5 преимущества, которые по достоинству оценят пользователи, заинтересованные в знакомстве с такими уравнениями и в их использовании.

В Maple 9.5 средства решения дифференциальных уравнений подверглись значительной переработке. Введены новые методы решения для дифференциальных уравнений Абеля, Риккати и Матье, новые методы инициализации и решения уравнений с кусочными функциями, улучшены алгоритмы решения численными методами. Детальное описание этих новинок можно найти в справке по разделу What’s New…. Это относится и к версии Maple 10.

7.1.8. Функция решения дифференциальных уравнений dsolve

Maple позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений для большинства классов дифференциальных уравнений.

Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция dsolve в разных формах записи:

Здесь ODE — одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий, у(х) —функция одной переменной, Ics — выражение, задающее начальные условия, —множество дифференциальных уравнений, — множество неопределенных функций, extra_argument —опция, задающая тип решения.

Параметр extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра:

• exact — аналитическое решение (принято по умолчанию);

• explicit — решение в явном виде;

• system — решение системы дифференциальных уравнений;

• ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;

• formal series — решение в форме степенного многочлена;

• integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;

• series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;

• numeric — решение в численном виде.

Возможны и другие опции, подробное описание которых выходит за рамки данной книги. Его можно найти в справке по этой функции, вызываемой командой ?dsolve.

Для решения задачи Коши в параметры dsolve надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньше порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т.д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр _Т. По умолчанию функция dsolve автоматически выбирает наиболее подходящий метод решения дифференциальных уравнений. Однако в параметрах функции dsolve в квадратных скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы следующие методы:

[quadrature, linear, Bernoulli, separable, inverse_linear, homogeneous, Chini, lin_sym, exact, Abel, pot_sym ]

Более полную информацию о каждом методе можно получить, используя команду ?dsolve,method и указав в ней конкретный метод. Например, команда ?dsolve,linear вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений.

7.1.9. Уровни решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений может сопровождаться различными комментариями. Команда

где n — целое число от 0 до 5 управляет уровнями детальности вывода. По умолчанию задано n = 0. Значение n = 5 дает максимально детальный вывод.

Производные при записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией diff или оператором дифференцирования D. Выражение sysODE должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия.

Читателю, всерьез интересующемуся проблематикой решения линейных дифференциальных уравнений, стоит внимательно просмотреть разделы справки по ним и ознакомиться с демонстрационным файлом linearoade.mws, содержащим примеры решения таких уравнений в закрытой форме.

7.2. Примеры решения дифференциальных уравнений

7.2.1. Примеры аналитического решение ОДУ первого порядка

Отвлекшись от физики, приведем несколько примеров на составление и решение дифференциальных уравнений первого порядка в аналитическом виде (файл dea):

ln(sin(x)) — ln(у(x)) + _C1 = 0

Разумеется, приведенными примерами далеко не исчерпываются возможности аналитического решения дифференциальных уравнений.

7.2.2. Полет тела, брошенного вверх

Из приведенных выше примеров видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ в ней можно задать производную более высокого порядка.

В соответствии со вторым законом Ньютона многие физические явления, связанные с движением объектов, описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Ниже дан пример задания и решения такого уравнения (файл

dem), описывающего движение тела, брошенного вверх на высоте h₀ со скоростью v₀ при ускорении свободного падения g:

Итак, получено общее уравнение для временной зависимости высоты тела h(t). Разумеется, ее можно конкретизировать, например, для случая, когда g=9,8, h₀=10 и v₀=100:

Зависимость высоты тела от времени h(t) представлена на рис. 7.5. Нетрудно заметить, что высота полета тела вначале растет и достигнув максимума начинает снижаться. Оговоримся, что сопротивление воздуха в данном примере не учитывается, что позволяет считать задачу линейной. Полученное с помощью Maple 9.5 для этого случая решение совпадает с полученным вручную в примере, описанном в разделе 7.1.3.

Рис. 7.5. Зависимость высоты полета тела от времени h(t)

7.2.3. Поведение идеального гармонического осциллятора

Еще одним классическим применением дифференциальных уравнений второго порядка является решение уравнение идеального гармонического осциллятора (файл deio):

у(t) = _C1 sin(ω) + _C2 cos(ω)

График решения этого уравнения (рис. 7.6) представляет хорошо известную синусоидальную функцию. Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь.

Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора

7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка

Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a):

у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + e x _C1 + _C2

Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11.

7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений

Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде

dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2. )

Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости. Они могут задавать начальные условия, явно представлять искомые зависимости, выбирать метод решения и т.д. Детали задания опциональных параметров можно найти в справке.

На рис. 7.7 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 7.7. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Практически полезные примеры решения дифференциальных уравнений, в том числе с постоянными граничными условиями, вы найдете в Главе 11.

7.2.6. Модель Стритера-Фелпса для динамики кислорода в воде

В качестве еще одного примера решении системы из двух дифференциальных уравнений рассмотрим модель Стритера-Фелпса, предложенную для описания динамики содержания растворенного в воде кислорода. Описание этой модели можно найти в [41]. Ниже представлено задание этой модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений и их аналитическое решение (файл demp):

Здесь: x1(t) — концентрация в воде растворенного кислорода в момент времени t; x2(t) — концентрация биохимического потребления кислорода (БПК), С — концентрация насыщения воды кислородом, K1 — постоянная скорости аэрации, K2 — постоянная скорости уменьшения (БПК), a — начальное значение x1(t) и b — начальное значение х2(t) при t=0.

В данном случае получены два варианта аналитического решения — основное и упрощенное с помощью функции simplify. Читатель может самостоятельно построить графики зависимостей x1(t) и x2(t).

7.3. Специальные средства решения дифференциальных уравнений

7.3.1. Численное решение дифференциальных уравнений

К сожалению, аналитического решения в общем случае нелинейные дифференциальные уравнения не имеют. Поэтому их приходится решать численными методами. Они удобны и в том случае, когда решение надо представить числами или, к примеру, построить график решения. Поясним принципы численного решения.

Для этого вернемся к дифференциальному уравнению (7.1). Заменим приращение dx на малое, но конечное приращение dx=h. Тогда приращение dy будет равно

Если, к примеру, известно начальное значение у=у₀, то новое значение у будет равно

Распространяя этот подход на последующие шаги решения получим конечно-разностную формулу для решение приведенного уравнения в виде:

Эта формула известна как формула простого метода Эйлера первого порядка для решения дифференциального уравнения (7.1). Можно предположить (так оно и есть), что столь простой подход дает большую ошибку — отбрасываемый член порядка O(h 2 ). Тем не менее, физическая и математическая прозрачность данного метода привела к тому, что он широко применяется на практике.

Существует множество более совершенных методов решения дифференциальных уравнений, например, усовершенствованный метод Эйлера, метод трапеций, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Фельберга и др. Ряд таких методов реализован в системе Maple и может использоваться при численном решении дифференциальных уравнений и систем с ними.

Для решения дифференциальных уравнений в численном виде в Maple используется та же функция dsolve с параметром numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге-Кутта-Фельберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 7.8.

Рис. 7.8. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Maple 9.5 предлагает ряд возможностей и одна из них представлена на рис. 7.8 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений. Можно воспользоваться и функцией plot, выделив тем или иным способом (примеры уже приводились) нужное решение.

В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указание на метод решения, например опция method=dverk78 задает решение непрерывным методом Рунге-Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:

• classical — одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;

• rkf45 — метод Рунге-Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом;

• dverk78 — непрерывный метод Рунге-Кутта порядка 7 или 8;

• gear — одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;

• mgear — одна из трех версий многошагового экстраполяционного метода Гира;

• lsode — одна из восьми версий Ливенморского решателя жестких дифференциальных уравнений;

• taylorseries — метод разложения в ряд Тейлора.

Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифференциальных уравнений в численном виде. Большинство пользователей Maple вполне устроит автоматический выбор метода решения по умолчанию. Однако в сложных случаях, или когда заведомо желателен тот или иной конкретный алгоритм численного решения, возможна прямая установка одного из указанных выше методов.

С помощью параметра ‘abserr’=aerr можно задать величину абсолютной погрешности решения, а с помощью ‘minerr’=mine — минимальную величину погрешности. В большинстве случаев эти величины, заданные по умолчанию, оказываются приемлемыми для расчетов.

Maple реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.

Еще один пример решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 7.9. Здесь на одном графике представлены зависимости y(x) и z(x) представляющие полное решение заданной системы. При этом процедура имеет особый вид listprocedure и для преобразования списка выходных данных в векторы решения Y и Z используется функция subs.

Рис. 7.9. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей

Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура DESol для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет SEtools, содержащий самые изысканные средства для графической визуализации результатов решения дифференциальных уравнений. Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем.

При решении некоторых задач физики и радиоэлектроники выбираемый по умолчанию шаг изменения аргумента х или t-h может привести к неустойчивости решения. Неустойчивости можно избежать рядом способов. Можно, например, нормировать уравнения, избегая необходимости использования малого шага. А можно задать заведомо малый шаг. Например, при method=classical для этого служит параметр stepsize=h.

7.3.2. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Состоящие из ряда кусков кусочные функции широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений.

Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменения х.

Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

> eq := diff(y(х), х$2) + x*diff(y(x), х) + y(х) = piecewise(х > 0, 1);

В заключении этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций этого класса.

7.3.3. Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol

В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple введена специальная структура

где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная).

Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf. С этим объектом можно обращаться как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами.

На рис. 7.10 показаны примеры применения структуры DESol.

Рис. 7.10. Примеры применения структуры DESol

Обратите внимание на последний пример — в нем структура DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

7.4. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools

7.4.1. Средства пакета DEtools

Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями. Для загрузки пакета используется команда:

Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 9.5 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть во всех реализациях системы Maple:

• DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;

• DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;

• DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;

• Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;

• PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;

• PDEplot — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных;

• autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;

• convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;

• convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;

• dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;

• indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;

• phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;

• reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;

• regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;

• translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;

• untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;

• varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 9.

7.4.2. Консультант по дифференциальным уравнениям

Для выявления свойств дифференциальных уравнений в Maple 9.5 в составе пакета DEtools имеется консультант (адвизор), вводимый следующей функцией:

odeadvisor(ODE) odeadvisor(ODE, y(х), [type1, type2. ], help)

Здесь ODE — одиночное дифференциальное уравнение, y(x) — неопределенная (определяемая функция), type1, type2, … — опционально заданные множество типов, которые классифицируются и help — опционально заданное указание на вывод страницы справки по методу решения.

Примеры работы с классификатором представлены ниже:

Работа по компьютерному моделированию на тему: «Дифференциальные уравнения»

по компьютерному моделированию

§1. Понятие о дифференциальных уравнениях. 4

1.1 Задача Коши. 5

1.2 Метод Эйлера. 5

1.3 Метод Рунге-Кутта (метод 4-ого порядка). 7

§2. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете Maple 8

§3. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете MathCad. 10

§4. Этапы проведения вычислительного эксперимента 14

§5. Постановка задачи. 15

§6. Составление модели процесса. Аналитическое решение. 16

Список используемой литературы 18

Введение

Цель данной работы – составление математической модели процесса, описанного в сюжетной задаче и разрешение соответствующего дифференциального уравнения. В качестве математической модели процесса предполагается использование дифференциального уравнения. Задачи моделирования:

классификация полученной модели; аналитическое, численное и символьное решение полученного дифференциального уравнения; построение графиков решений, найденных разными методами; оценка погрешности численного решения; анализ полученных результатов.

В качестве инструментального средства для компьютерного моделирования выбраны пакеты Mathcad и Maple. Выбор пакета Mathcad обусловлен тем, что:

математические выражения в среде Mathcad записываются в общепринятой нотации; в пакет встроен мощный математический аппарат, позволяющий решать сложные задачи и находить решение задачи Коши; пакет имеет мощные средства графического представления информации.

Выбор пакета Maple обусловлен тем, что данный пакет имеет интегрированный символьный процессор, позволяющий производить аналитические преобразования, и, в частности, получать решение задачи Коши в аналитическом виде.

§1. Понятие о дифференциальных уравнениях.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение 2. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Определение 3. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т. е. соотношение вида:

Определение 4. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в 3виде:

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

1.1 Задача Коши.

Во многих задачах, которые приводятся к дифференциальным уравнениям, требуется найти решение, принимающее заданное значение при заданном значении независимой переменной. Такая задача называется начальной задачей Коши.

Задамча Кошим — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям.

Задачу Коши для ОДУ первого порядка

x, t е R (1.1)

формулируют так: найти решение x(t) уравнения (1.1), такое,

где x0, t0 — заданные числа. Условие (1.2) называют на-

начальным условием, или условием Коши, а функцию х(t),

удовлетворяющую ОДУ (1.1) и начальному условию (1.2), —

решением задачи Коши.

Пусть х = x(t) — решение ОДУ (1.1), определенное в ин-

интервале (t0 — д, t0 + д), д > 0. Интегральной кривой ОДУ (1.1)

будет график функции х = x(t). Можно, следовательно, задачу

Коши сформулировать так: найти интегральную кривую ОДУ

(1.1), проходящую через заданную точку (t0, x0).

1.2 Метод Эйлера.

Дано .

Пусть требуется найти решение задачи Коши (1), (2) на замкнутом интервале [x0, X]. Разделим этот интервал на n равных частей точками , причем

применим метод Эйлера.

Выберем произвольный отрезок и проинтегрируем дифференциальное уравнение на этом отрезке.

Погрешность будет определяться следующей формулой:

,

где — решение с шагом h/2, — точное решение, — найденное решение.

1.3 Метод Рунге-Кутта (метод 4-ого порядка).

Метод Рунге–Кутта часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге–Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Рассмотрим задачу Коши

где h — величина шага сетки по x

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

,

где

Погрешность будет оцениваться следующим равенством:

§2. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете Maple.

Аналитическое (символьное) решение ОДУ.

Maple позволяет решать дифференциальные уравнения как аналитически, так и численно. Для решения ОДУ предназначена функция dsolve (deqn, var, opt), где deqn – одно дифференциальное уравнение n-го порядка или система дифференциальных уравнений первого порядка (заданная в виде множества), var – переменная или переменные, относительно которых ищется решение, opt – необязательный аргумент, в котором можно указать вид представления решения.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, которые обозначаются как _С1, _С2,… _СN.

Решение задачи Коши в Maple.

Производные в начальных условиях задачи Коши записываются с помощью дифференциального оператора D, например, вторая производная y в точке ноль задается как D(D(y))(0) или (D@@2)(y)(0).

При решении задачи Коши (краевой задачи) выражение deqn должно иметь структуру множества, т. е неупорядоченный набор данных, перечисленных через запятую и заключенных в фигурные скобки, и содержать помимо уравнения начальные условия (краевые условия).

Графическое представление решения ОДУ.

Для графического представления результатов решения дифференциальных уравнений используем функцию:

Plot(f(x), x=x_min..x_max, y=y_min..y_max, opt). Где f(x) – функция, для которой строиться график, x=x_min..x_max – диапазон изменения независимой переменной х, y=y_min..y_max – диапазон отображения графика по оси ординат, opt – набор опций, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т. д.). Последние два аргумента необязательны и могут отсутствовать.

§3. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете MathCad.

Дифференциальные уравнения (ДУ), являясь основой математического естествознания, широко используются в качестве математических моделей реальных процессов. Многие физические и научно-технические задачи, особенно относящиеся к анализу динамических систем и к их математическому моделированию, базируются на решении ДУ и систем таких уравнений.

Одним из преимуществ компьютерного решения ДУ в системе Mathcad является возможность предоставления получаемых результатов в графическом виде, что позволяет получать наиболее полную информацию о поведении решения и исследовать его.

Рассмотрим встроенные функции Mathcad, предназначенные для решения ДУ которые использовались в данной курсовой работе. Несмотря на различные методы поиска решения, каждая из этих функций требует, чтобы были заданы, по крайней мере, следующие величины, необходимые для поиска решения:

начальные условия; набор точек, в которых нужно найти решение; само ДУ, записанное в некотором специальном виде.

Замечание: с помощью встроенных функций получаем частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным или граничным условиям, т. е. решаем задачу Коши или краевую задачу соответственно.

Встроенные функции системы Mathcad

Функция rkfixed (y, x1,x2,N, D)

Предназначена для решения систем ОДУ в форме Коши методом Рунге-Кутта четвёртого порядка с фиксированным шагом.

Аргументы функции:

y – вектор начальных условий размерности n, где n – порядок ОДУ или число уравнений в системе(если решается система уравнений). Для ОДУ первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку y0.

x1,x2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение ДУ. Начальные условия, заданные в векторе y, — это значение решения в точке x1.

N – число точек(не считая начальной точки), в которых ищется приближённое решение. Число строк в матрице, возвращаемой функцией rkfixed, равно N+1.

D(x, y) — вектор функция, состоящая из n элементов и содержащая первые производные искомых функций, т. е. правые части системы ОДУ, представленных в нормальной форме форме Коши). Для ОДУ первого порядка вырождается в скалярную функцию.

В результате решения получается матрица, состоящая из n – столбцов(n – порядок ОДУ или число элементов в вектор-функции D(x, y), где первый столбец содержит точки, в которых ищется приближённое решение, оставшиеся столбцы содержат

для ОДУ 1-го порядка: значения найденного приближённого решения y(x) в соответствующих точках 1-го столбца;

§4. Этапы проведения вычислительного эксперимента

— задаем вектор начальных условий;

— представляем данное дифференциальное уравнение в векторной форме;

2) Mathcad (метод Эйлера):

— задаем начальную точку интервала, находим шаг вычислений;

— задаем вектор начальных условий;

— задаем функцию для вычисления последующих значений;

— записываем реккурентные формулы для вычисления значений функции;

3) Maple (символьное решение)

— задаем дифференциальное уравнение.

4. Проведение расчетов на компьютере, компьютерный эксперимент.

1) Mathcad (метод Рунге-Кутта):

— применение встроенной функции rkfixed для решения дифференциального уравнения;

2) Mathcad (метод Эйлера):

— применение рекуррентных формул для нахождения решения дифференциального уравнения;

3) Maple (символьное решение)

— применение встроенной функции dsolve;

5. Анализ результатов моделирования;

6. Формулировка прогнозов и выводов.

§5. Постановка задачи.

Условие задачи

Кривая проходит через точку (1,2) и обладая тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке с коэффициентом пропорциональности К=3. Найти уравнение кривой.

Для решения задачи необходимо знать следующее:

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Угловой коэффициент которой выражается производной.

Исходные данные:

y=y(x) – искомая кривая

k – коэффициент пропорциональности

График искомой кривой должен выглядеть:

Погрешность метода Эйлера не должна превосходить (-2) степени. Погрешность метода Рунге-Кутта не должна превосходить (-5) степени.

§6. Составление модели процесса. Аналитическое решение.

Пусть y=y(x) – искомая кривая. Так как кривая проходит через точку А(1,2), то y(1)=2. Учитывая тот факт, что тангенс угла касательной равен коэффициенту при x в уравнении касательной получим:

Получаем задачу Коши:

Решим это дифференциальное уравнение:

— общее решение.

Так как у(1)=2, то

Подставим получившееся значение в наше уравнение. Получим:

— частное решение.

Ответ: Искомая кривая

Анализ результатов и выводы

При аналитическом решении дифференциального уравнения была получена кривая . По графикам решений и результатам подсчетов погрешности видно, что наименьшую погрешность имеет решение, которое было получено методом Рунге-Кутта. Интегральные кривые практически совпадают с графиком точного решения. Но так же результат, который был получен с помощью метода Эйлера, практически совпадает с решениями, полученными другими способами.

Список используемой литературы

Приложение

Maple

Найдем общее решение дифференциального уравнения