Maple как выразить переменную из уравнения

Maple как выразить переменную из уравнения

уМЕДХАЭБС: task2, рТЕДЩДХЭБС: Top, чЧЕТИ: Top

1 уЙУФЕНЩ ЛПНРШАФЕТОПК БМЗЕВТЩ

Maple – УРЕГЙБМЙЪЙТПЧБООЩК НБФЕНБФЙЮЕУЛЙК РБЛЕФ, ЛПФПТЩН РПМШЪХАФУС РТПЖЕУУЙПОБМШОЩЕ НБФЕНБФЙЛЙ ЧП ЧУЕН НЙТЕ. рПДПВОЩЕ РБЛЕФЩ ФБЛЦЕ ОБЪЩЧБАФУС УЙУФЕНБНЙ ЛПНРШАФЕТОПК БМЗЕВТЩ. йЪ НОПЦЕУФЧБ РПДПВОЩИ УЙУФЕН (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD) Maple СЧМСЕФУС РТЙЪОБООЩН МЙДЕТПН Ч ПВМБУФЙ УЙНЧПМШОЩИ ЧЩЮЙУМЕОЙК (ФП ЕУФШ Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ ЧЩТБЦЕОЙК У ЙУРПМШЪПЧБОЙЕН РЕТЕНЕООЩИ, НОПЗПЮМЕОПЧ, ЖХОЛГЙК Й Ф.Д.). рПНЙНП ЬФПЗП Ч Maple ЧИПДСФ НПДХМЙ, ПВМЕЗЮБАЭЙЕ ТБВПФХ Ч ФБЛЙИ ТБЪДЕМБИ НБФЕНБФЙЛЙ, ЛБЛ ЧЩУЫБС БМЗЕВТБ, МЙОЕКОБС БМЗЕВТБ, БОБМЙФЙЮЕУЛБС ЗЕПНЕФТЙС, ФЕПТЙС ЮЙУЕМ, НБФЕНБФЙЮЕУЛЙК БОБМЙЪ, ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩЕ ХТБЧОЕОЙС, ЛПНВЙОБФПТОЩК БОБМЙЪ, ФЕПТЙС ЧЕТПСФОПУФЕК, УФБФЙУФЙЛБ Й НОПЗЙИ ДТХЗЙИ.

дМС РПМХЮЕОЙС УРТБЧЛЙ РП ФПК ЙМЙ ЙОПК ЛПНБОДЕ ОЕПВИПДЙНП Ч ПЛОЕ Maple ЧЧЕУФЙ ?command (ЪБНЕОЙЧ command ОБ ЙНС ЛПНБОДЩ).

Maple ЛБЛ УХРЕТЛБМШЛХМСФПТ

ч ТБВПЮЕН МЙУФЕ (worksheet) УЙУФЕНЩ Maple НПЦОП ЧЧПДЙФШ ЛПНБОДЩ РПУМЕ РТЙЗМБЫЕОЙС » > «. лПНБОДБ ДПМЦОБ ЪБЧЕТЫБФШУС УЙНЧПМПН » ; «, ЕЕ ТЕЪХМШФБФ ОЕНЕДМЕООП ЧЩЧПДЙФУС ОБ ЬЛТБО. еУМЙ ЧНЕУФП » ; » РПУФБЧЙФШ » : «, ФП ЛПНБОДБ ВХДЕФ ЧЩРПМОЕОБ, ОП ТЕЪХМШФБФ ЕЕ ТБВПФЩ ОЕ ВХДЕФ ОБРЕЮБФБО. оБРТЙНЕТ:

лБЛ НЩ ЧЙДЙН, Maple ЧЩДБЕФ ПФЧЕФ Ч ФПЮОПН ЧЙДЕ Ч ЧЙДЕ ТБГЙПОБМШОПЗП ЧЩТБЦЕОЙС. еУМЙ ИПЮЕФУС РТЕДУФБЧЙФШ ЕЗП Ч ЧЙДЕ ДЕУСФЙЮОПК ДТПВЙ (У ОЕЛПФПТПК ФПЮОПУФША) ЧПУРПМШЪХКФЕУШ ЖХОЛГЙЕК evalf . еЕ РЕТЧЩК ПВСЪБФЕМШОЩК РБТБНЕФТ – ЧЩЮЙУМСЕНПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ, ЧФПТПК (ОЕПВСЪБФЕМШОЩК) – ЛПМЙЮЕУФЧП ЪОБЮБЭЙИ ДЕУСФЙЮОЩИ ЪОБЛПЧ (ХЮФЙФЕ, ЮФП РТЙ ЬФПН ЧЩТБЦЕОЙЕ ПЛТХЗМСЕФУС ДМС ЧЩЧПДБ УППФЧЕФУФЧХАЭЕЗП ЛПМЙЮЕУФЧБ ЪОБЛПЧ):

уЙНЧПМ % ПВПЪОБЮБЕФУС РПУМЕДОЕЕ ЧЩЮЙУМЕООПЕ Maple ЧЩТБЦЕОЙЕ, %% – РТЕДРПУМЕДОЕЕ, %%% — РТЕДРТЕДРПУМЕДОЕЕ (Б ЧПФ ПВПЪОБЮЕОЙС %%%% ХЦЕ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ).

юЙУМБ Й ЛПОУФБОФЩ

еУМЙ Ч ЧЩТБЦЕОЙЙ ЧУФТЕЮБЕФУС ЮЙУМП, ЪБРЙУБООПЕ У РМБЧБАЭЕК ФПЮЛПК (ОБРТЙНЕТ, 3.14 ЙМЙ 5.6e-17 ), ФП ЧУЕ ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧЩРПМОСАФУС РТЙВМЙЦЕООП, Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЧПДСФУС ФПЮОП. ч Maple ЕУФШ УМЕДХАЭЙЕ ЛПОУФБОФЩ: Pi юЙУМП РЙ
I нОЙНБС ЕДЙОЙГБ i
exp(1) пУОПЧБОЙЕ ОБФХТБМШОЩИ МПЗБТЙЖНПЧ e
infinity вЕУЛПОЕЮОПУФШ
true мПЗЙЮЕУЛБС ЙУФЙОБ
false мПЗЙЮЕУЛБС МПЦШ

чЩЮЙУМЕОЙС У ХЮБУФЙЕН ЛПОУФБОФ ЧЩРПМОСАФУС ФПЮОП (ЕУМЙ ФПМШЛП ЙИ ЪОБЮЕОЙЕ ОЕ ВХДЕФ РЕТЕЧЕДЕОП Л ДЕКУФЧЙФЕМШОПНХ ЪОБЮЕОЙА), ОБРТЙНЕТ

пРЕТБФПТЩ

ч Maple УХЭЕУФЧХАФ УМЕДХАЭЙЕ ПРЕТБФПТЩ:

бТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙЕ: + , — , * , / , ^ (ЧПЪЧЕДЕОЙЕ Ч УФЕРЕОШ), ! (ЖБЛФПТЙБМ).

мПЗЙЮЕУЛЙЕ: , > , >= , , = (ТБЧОП), <> (ОЕ ТБЧОП).

рЕТЕНЕООЩЕ

рЕТЕНЕООПК СЧМСЕФУС МАВПК ЙДЕОФЙЖЙЛБФПТ (УПУФПСЭЙК ЙЪ МБФЙОУЛЙИ ВХЛЧ Й ГЙЖТ, ОБЮЙОБАЭЙКУС У ГЙЖТЩ). рЕТЕНЕООПК НПЦЕФ ВЩФШ РТЙУЧПЕОП МАВПЕ ЪОБЮЕОЙЕ РТЙ РПНПЭЙ ПРЕТБФПТБ РТЙУЧБЙЧБОЙС := . рЕТЕНЕООБС, ЛПФПТПК ОЕ РТЙУЧПЕОП ОЙЛБЛПЕ ЪОБЮЕОЙЕ УЮЙФБЕФУС УЧПВПДОПК РЕТЕНЕООПК Й ЕЕ ЙНС УПИТБОСЕФУС Ч БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ. оБРТЙНЕТ:

уФБОДБТФОЩЕ ЖХОЛГЙЙ

ъОБЛ x (ЧПЪЧТБЭБЕФ 1, -1 ЙМЙ 0) – sign(x)

фТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)

пВТБФОЩЕ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ: arcsin(x) , arccos(x) , arctan(x) , arccot(x)

оБФХТБМШОЩК, ДЕУСФЙЮОЩК МПЗБТЙЖН Й МПЗБТЙЖН РП ДБООПНХ ПУОПЧБОЙА: ln(x) , log10(x) , log[a](x)

рТЕПВТБЪПЧБОЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙИ ЧЩТБЦЕОЙК

ч ЧЩТБЦЕОЙЕ НПЗХФ ЧИПДЙФШ ЛПОУФБОФЩ, УЧПВПДОЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ, НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ. рТЙНЕТ ЧЩТБЦЕОЙС:

дПЧПМШОП ЮБУФП Ч ЛБЮЕУФЧЕ ЧЩТБЦЕОЙК ЧЩУФХРБАФ НОПЗПЮМЕОЩ ПФ ПДОПК ЙМЙ ОЕУЛПМШЛЙИ РЕТЕНЕООЩИ ЙМЙ ТБГЙПОБМШОЩЕ ЧЩТБЦЕОЙС. Maple УПДЕТЦЙФ ТБЪМЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ ДМС РТЕПВТБЪПЧБОЙС ФБЛЙИ ЧЩТБЦЕОЙК.

жХОЛГЙС factor(eq) ТБЪМБЗБЕФ ЧЩТБЦЕОЙЕ eq ОБ НОПЦЙФЕМЙ.

жХОЛГЙС expand(eq) ТБУЛТЩЧБЕФ УЛПВЛЙ Ч ЧЩТБЦЕОЙЙ. еУМЙ ХЛБЪБФШ ПДЙО ЙМЙ ОЕУЛПМШЛП ДПРПМОЙФЕМШОЩИ РБТБНЕФТПЧ Ч ЧЙДЕ expand(eq,a,b,c) , ФП ЧЩТБЦЕОЙС a , b , c ТБУЛТЩЧБФШУС ОЕ ВХДХФ. ьФП РПМЕЪОП, ЕУМЙ ОЕПВИПДЙНП ЛБЦДПЕ УМБЗБЕНПЕ ХНОПЦЙФШ ОБ ЛБЛПЕ-ФП ЧЩТБЦЕОЙЕ.

дМС РТЙЧЕДЕОЙС ДТПВЕК Л ПВЭЕНХ ЪОБНЕОБФЕМА У РПУМЕДХАЭЙН УПЛТБЭЕОЙЕН ЙУРПМШЪХЕФУС ЖХОЛГЙС normal(eq) .

жХОЛГЙС simplify(eq) ХРТПЭБЕФ ЧЩТБЦЕОЙЕ eq . ч ЛБЮЕУФЧЕ ЧФПТПЗП (ОЕПВСЪБФЕМШОПЗП) РБТБНЕФТБ, ЕК НПЦОП ХЛБЪБФШ, ЛБЛЙЕ ЧЩТБЦЕОЙС РТЕПВТБЪПЧЩЧБФШ: trig – ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ, power – УФЕРЕООЩЕ, radical – ТБДЙЛБМЩ, exp – ЬЛУРПОЕОФЩ, ln – МПЗБТЙЖНЩ.

тЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙК

пВЩЛОПЧЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС

дМС ТЕЫЕОЙС ХТБЧОЕОЙК ЙУРПМШЪХЕФУС ЖХОЛГЙС solve(eq,x) , ЗДЕ eq – ТЕЫБЕНПЕ ХТБЧОЕОЙЕ, x – ЙНС РЕТЕНЕООПК, ПФОПУЙФЕМШОП ЛПФПТПК ТБЪТЕЫБЕФУС ХТБЧОЕОЙЕ. рТЙНЕТ:

еУМЙ ХТБЧОЕОЙЕ ЙНЕЕФ ОЕУЛПМШЛП ТЕЫЕОЙК, ФП ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС НПЦОП РТЙУЧПЙФШ ОЕЛПФПТПК РЕТЕНЕООПК, ОБРТЙНЕТ p . дБМЕЕ НПЦОП ЙУРПМШЪПЧБФШ k -Е ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ЧЙДЕ p[k] :

уЙУФЕНЩ ХТБЧОЕОЙК

уЙУФЕНЩ ХТБЧОЕОЙК ТЕЫБАФУС У РПНПЭША ФБЛПК ЦЕ ЖХОЛГЙЙ solve(,) , ФПМШЛП ФЕРЕТШ Ч РБТБНЕФТБИ ЖХОЛГЙЙ УМЕДХЕФ ХЛБЪЩЧБФШ Ч РЕТЧЩИ ЖЙЗХТОЩИ УЛПВЛБИ ЮЕТЕЪ ЪБРСФХА ХТБЧОЕОЙС, Б ЧП ЧФПТЩИ ЖЙЗХТОЩИ УЛПВЛБИ РЕТЕЮЙУМСАФУС ЮЕТЕЪ ЪБРСФХА РЕТЕНЕООЩЕ, ПФОПУЙФЕМШОП ЛПФПТЩИ ФТЕВХЕФУС ТЕЫЙФШ УЙУФЕНХ. еУМЙ ОЕПВИПДЙНП ЙУРПМШЪПЧБФШ РПМХЮЕООЩЕ ТЕЫЕОЙС ХТБЧОЕОЙК ДМС ДБМШОЕКЫЙИ ЧЩЮЙУМЕОЙК, ФП ОЕПВИПДЙНП ТЕЪХМШФБФ, ЧПЪЧТБЭБЕНЩК ЖХОЛГЙЕК solve РТЙУЧПЙФШ ЛБЛПК-ОЙВХДШ РЕТЕНЕООПК, ОБРТЙНЕТ, p , Б ЪБФЕН ЧЩРПМОЙФШ ЛПНБОДХ assign(p) . рТЙНЕТ:

юЙУМЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙК

рПРТПВХЕН ТЕЫЙФШ ХТБЧОЕОЙЕ: x 6 -2x+1=0. йУРПМШЪПЧБОЙЕ ЖХОЛГЙЙ solve ДБУФ ОБН ПДЙО ЛПТЕОШ -1 Й ЕЭЕ ОБВПТ ЧЩТБЦЕОЙК ЧЙДБ RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1,index = 1) . дЕМП Ч ФПН, ЮФП РТПЙЪЧПМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ УФЕРЕОЙ ЧЩЫЕ 4 У ТБГЙПОБМШОЩНЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ НПЦЕФ ОЕ ЙНЕФШ ЛПТОЕК, ЧЩТБЪЙНЩИ Ч ЧЙДЕ ТБДЙЛБМПЧ ОБД ТБГЙПОБМШОЩНЙ ЮЙУМБНЙ. тЕЫЕОЙС ЧУЕЧПЪНПЦОЩИ ФБЛЙИ ХТБЧОЕОЙК ОБЪЩЧБАФУС БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙНЙ ЮЙУМБНЙ. дБООПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ФБЛЦЕ ОЕТБЪТЕЫЙНП Ч ТБДЙЛБМБИ, Й Maple ОБЫМБ ОБН ЕДЙОУФЧЕООЩК ЛПТЕОШ, ЧЩТБЪЙНЩК Ч ТБДЙЛБМБИ (1) Й УППВЭЙМБ, ЮФП ПУФБЧЫЙЕУС ЛПТОЙ СЧМСАФУС БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙНЙ ЮЙУМБНЙ: ЛПТОСНЙ НОПЗПЮМЕОБ z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z-1=0 (ЙНЕООП ЬФПФ НОПЗПЮМЕО ХЛБЪБО Ч БТЗХНЕОФЕ ЖХОЛГЙЙ RootOf ). Maple ХНЕЕФ ТБВПФБФШ У БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙНЙ ЮЙУМБНЙ, ОП НПЦОП ФБЛЦЕ ОБКФЙ РТЙВМЙЦЕООПЕ ЮЙУМЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ РТЙ РПНПЭЙ ЖХОЛГЙЙ fsolve :

йОПЗДБ Maple РТЙ ТЕЫЕОЙЙ ФТБОУГЕОДЕОФОЩИ ХТБЧОЕОЙК ОЕ ЧЩЧПДЙФ УМПЦОЩЕ ЧЩТБЦЕОЙС Ч ЧЙДЕ ТБДЙЛБМПЧ, Б ПУФБЧМСЕФ ЙИ Ч ЖПТНЕ RootOf. юФПВЩ ЪБУФБЧЙФШ Maple ЧЩЧПДЙФШ ЧУЕ ТЕЫЕОЙС Ч ЧЙДЕ ТБДЙЛБМПЧ (ЕУФЕУФЧЕООП, ЕУМЙ ПОЙ РТЕДУФБЧЙНЩ Ч ФБЛПК ЖПТНЕ), ОЕПВИПДЙНП РТЙУЧПЙФШ ЪОБЮЕОЙЕ true УЙУФЕНОПК РЕТЕНЕООПК _EnvExplicit ( _EnvExplicit:=true ).

тЕЫЕОЙЕ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ХТБЧОЕОЙК

лПНБОДБ solve , РТЙНЕОСЕНБС ДМС ТЕЫЕОЙС ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ХТБЧОЕОЙК, ОБИПДЙФ ФПМШЛП ЗМБЧОЩЕ ТЕЫЕОЙС, ФП ЕУФШ ЧЩЧПДЙФ ФПМШЛП ПДОП ТЕЫЕОЙЕ ЙЪ УЕТЙЙ РЕТЙПДЙЮЕУЛЙИ ТЕЫЕОЙК:

дМС ФПЗП, ЮФПВЩ Maple ОБИПДЙМБ ЧУЕ ТЕЫЕОЙС, ОЕПВИПДЙНП РТЕДЧБТЙФЕМШОП РТЙУЧПЙФШ ЪОБЮЕОЙЕ true УЙУФЕНОПК РЕТЕНЕООПК _EnvAllSolutions . фПЗДБ НЩ РПМХЮЙН ТЕЪХМШФБФ Ч ДТХЗПН ЧЙДЕ, Ч ЛПФПТПН ВХДХФ ЖЙЗХТЙТПЧБФШ РЕТЕНЕООЩЕ Z1

. ьФЙ РЕТЕНЕООЩЕ ПВПЪОБЮБАФ РТПЙЪЧПМШОХА ЛПОУФБОФХ ГЕМПЗП ФЙРБ, Ч ВПМЕЕ РТЙЧЩЮОПН ЧЙДЕ ТЕЫЕОЙС НПЦОП ВХДЕФ ЪБРЙУБФШ, ЛБЛ π/4+πn , πk .

Как в maple выразить переменную с уравнения

Выразить переменную из уравнения

Выразить переменную
Подскажите, пожалуйста, как выразить из данного уравнения символьно переменную \alpha и возможно ли.

Выразить переменную
Здравствуйте! Подскажите с таким вопросом. Есть выражение, нужно выразить оттуда одну переменную.

Выразить переменную
не могу выразить b из выражения, после команды solve виснет намертво выражение приравниваем к ро1.

Выразить переменную из функции.
выразить из функции переменную, не могу разобраться.

Как в maple выразить переменную с уравнения

1) Раскрытие скобок выражения осуществляется командой expand().

Команда expand может иметь дополнительный параметр, позволяющий при раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений. Например, пусть требуется каждое слагаемое выражения умножить на выражение (x+a). Тогда в командной строке следует написать:

2) Разложение многочлена на множители осуществляется командой factor().

> y := x ^5- x ^4-7* x ^3+ x ^2+6* x ;

3) Дробь можно привести к нормальному виду с помощью команды normal().

4) Упрощение выражений осуществляется командой simplify(). В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений. Стандартные параметры имеют названия: power – для степенных преобразований; radical или sqrt – для преобразования корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов. Использование параметров намного увеличивает эффективность команды simplify.

5) Приведение подобных членов в выражении осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные.

6) Объединить показатели степенных функций или понизить степень тригонометрических функций можно при помощи команды combine(eq,param), где eq – выражение, param – параметры, указывающие, какой тип функций преобразовать, например, trig – для тригонометрических, power – для степенных.

7) Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней, лучше использовать команду radnormal(eq).

8) С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos.

Вообще, команда convert имеет более широкое назначение. Она осуществляет преобразование выражения одного типа в другой. Например: convert(list, vector) – преобразование некоторого списка list в вектор с теми же элементами; convert(expr, string) – преобразование математического выражения в его текстовую запись. Для вызова подробной информации о назначении параметров команды convert следует обратиться к справочной системе, набрав convert[termin].

Если вы забыли параметры какой-либо команды, то можно воспользоваться справочной системой Maple. Для вызова справки по конкретной команде, следует выделить набранное имя этой команды и нажать клавишу F1. Если команда набрана правильно, то появится описание этой команды (в большинстве версий Maple помощь на английском языке).

Иллюстрированный самоучитель по Maple 6/7

Функция solve может использоваться для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств.

Ниже приведены примеры решения уравнений:

В этих примерах хорошо видна техника работы с функциями solve и assign. В конце примеров показано восстановление неопределенного статуса переменных х и у с помощью функции unassign и снятие определения переменных с помощью заключения их в прямые апострофы.

Функция RootOf

В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде RootOf(ехрr) или RootOf(ехрr, х), где ехрr – алгебраическое выражение или равенство, х – имя переменной, относительно которой ищется решение.

Если х не указана, ищется универсальное решение по переменной _Z. Когда ехрr задано не в виде равенства, решается уравнение ехрr=0. Для получения решений вида RootOf в явном виде может использоваться функция all values.

Примеры применения функции RootOf:

Итак, функция RootOf является эффективным способом представления решения в компактном виде. Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе результатов решения нелинейных уравнений.

Решение математических задач в Maple

РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

«Нижегородский государственный университет им. »

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В MAPLE

Рекомендована методической комиссией механико-математического

факультета для студентов, обучающихся по

направлению подготовки 010100 — «Математика».

Решение задач в MAPLE. Часть I. Составители : , : Учебно-методическая разработка. – Н. Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. – 35 с.

доцент кафедры ЧиФА факультета ВМК,

доцент кафедры ПиУОС Физического факультета,

Данная разработка представляет собой практическое руководство по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple. Последовательное изучение тем и выполнение заданий позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе Maple.

Учебно-методическая разработка предназначена для студентов 2 и 3 курсов механико-математического факультета.

университет им. , 2007

Системы компьютерной алгебры – это новые технологии в научных исследованиях и образовании. В последние годы получили широкое распространение такие системы общего назначения, как Maple, Mathematica.

Система Maple включена в интегрированную систему Scientific WorkPlace и применяется во многих ведущих университетах мира как в научных исследованиях, так и в учебном процессе. Ядро Maple входит в другие распространенные пакеты, такие как MathCad, MathLab.

Данная разработка позволит начинающему войти в технологию использования системы Maple, получить первые навыки, после чего он сможет уже самостоятельно разобраться в более тонких вопросах использования Maple. Хотелось бы отметить, что эта разработка ни в коей мере не является описанием системы Maple. Она предназначена в первую очередь для обучения студентов-математиков решению основных математических задач при помощи Maple.

1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ТИПЫ ДАННЫХ

Диалог с системой протекает в стиле «вопрос-ответ». Команда начинается с символа > и заканчивается либо точкой запятой (;), либо двоеточием (:). Для выполнения команды необходимо нажать клавишу Enter. Если в конце команды стоит точка с запятой, то на экран будет выведен результат действия команды или сообщение об ошибке. Двоеточие в конце команды означает, что команда будет выполнена, но ее результат на экран не будет выводиться. Символ # используется для ввода текстовых комментариев. Также для ввода текста используется клавиша с символом T на панели инструментов. Для возвращения к вводу команд следует нажать клавишу с символом >. Для вызова результата действия предыдущих команд используются символы %, %% или %%%, соответственно. Команда restart отменяет результат действия всех предыдущих команд.

Переменные в Maple характеризуются именем и типом. Имя переменной в Maple может состоять из букв, цифр и некоторых специальных символов, но обязательно должно начинаться с буквы. Ограничений на длину имени нет. Кроме того, Maple различает строчные и прописные буквы. Для присваивания переменной конкретного значения применяется оператор :=. Переменные могут использоваться в математических выражениях и функциях без предварительного определения.

Рассмотрим особенности записи в Maple данных числового, строкового и множественного типов.

Выражение принадлежит к целому типу (integer), если оно состоит из последовательности цифр, не разделенных никакими знаками. Выражения вида a/b, где a, b – целые числа принадлежат к дробному типу (fraction). К числам с плавающей точкой (float) относятся выражения вида a. b, a. и. b. Также числа типа float можно записать в показательной форме a*10^b. Комплексные числа (complex) в Maple записываются в алгебраической форме: a+I*b, где a, b – вещественные числа.

Строковое выражение типа string — это любая конечная последовательность символов, с обеих сторон заключенная в верхние двойные кавычки. Последовательность символов, взятая в обратные кавычки, считается символом (symbol).

Множество (set) в Maple задается перечислением в фигурных скобках элементов множества. Например,

Пустое множество задается в виде A:=<>. С множествами в Maple можно выполнять теоретико-множественные операции: объединение (union), пересечение (intersect), разность(minus). Мощность множества находится с помощью команды nops(A).

Важным типом данных в пакете Maple являются списки. Задаются они с помощью квадратных скобок. Списки преобразуются и выводятся в том порядке, в котором были заданы.

Для создания массива используется команда array(i1..j1, i2..j2. M), которая возвращает массив с элементами из списка M.

Обращение к элементам множества, списка, массива происходит с указанием индексов элемента в квадратных скобках.

Массив также можно задать командой вида V:=array(1..2,1..2,1..2,[ ]); , переопределив затем значения V[i, j, ..] с помощью оператора присваивания.

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для этого в командной строке набирается название греческой буквы.

1. Задайте множество A, состоящее из целых чисел от 3 до 20, и множество B, состоящее из квадратов этих чисел. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B. Найдите мощности всех полученных множеств.

2. Задайте произвольный список и четырехмерный массив.

2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ, ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Для записи математических выражений в Maple используются операторы сложения (+), вычитания (-), умножения (*), деления (/), возведения в степень (^), оператор присваивания (:=). Порядок выполнения математических операций является стандартным.

Основные константы в Maple обозначаются следующим образом: Pi — число π, I — мнимая единица i, exp(1) — основание натуральных логарифмов e, infinity – бесконечность, true — истина, false – ложь. Используются следующие знаки сравнения: , >=, , =.

Система Maple одинаково успешно справляется как с символьными вычислениями, так и с численными. По умолчанию расчеты проводятся символьно.

Часть выражения, в которой встречается число, записанное с плавающей запятой (float), будет вычислена приближенно.

Все вычисления по умолчанию проводятся с десятью значащими цифрами. Количество значащих цифр можно изменить, применив команду >Digits: = n.

Для того, чтобы получить значение выражения в численном виде используется функция

evalf( выражение, n), где n – необязательный параметр, количество значащих десятичных знаков.

В Maple встроено большое количество функций. Перечислим обозначения для основных элементарных функций. Квадратный корень : sqrt(x), модуль x: abs(x), знак x (возвращает 1, -1 или 0): sign(x), тригонометрические функции: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), обратные тригонометрические: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), экспонента: exp(x), натуральный, десятичный логарифм и логарифм по данному основанию: ln(x), log10(x), log[a](x).

Корень n-ой степени из x записывается следующим образом: x^(1/n). Результатом команды >x^(1/n); при нечетном n для отрицательного числа x будет комплексное число. Для вычисления вещественных корней нечетной степени n из отрицательных чисел используется команда surd(x,n).

Рассмотрим несколько способов определения новых функций:

1) присваивание переменной некоторого выражения

имя переменной(список параметров):=выражение;

При таком способе задания функции для того, чтобы вычислить значение функции в некоторой точке нужно определить с помощью оператора присваивания значения переменных (параметров), либо использовать оператор подстановки subs.

subs(x=a,y=b,…, f) выполняет подстановку x=a, y=b,…, где a, b – некоторые выражения, в выражение f, зависящее от переменных x, y,… .

Команда value(выражение) используется для вычисления значения выражения.

Следует обратить внимание на то, что после присвоения переменной x конкретного значения x:=a, переменная x перестанет быть неопределенной. Вернуть x статус непределенной переменной можно командой >x:=evaln(x); или снять присваивание командой >x:=’x’; либо отменить все присваивания командой restart.

2) Определение функции с помощью функционального оператора

имя функции:=список параметров -> выражение;

Обращение к функции, заданной таким способом, происходит стандартным образом: имя функции(a, b, …), где a, b, … — конкретные значения переменных.

3) Функцию можно задать с помощью команды

unapply(выражение, параметры), которая преобразовывает выражение в функциональный оператор.

4) Для определения функций вида используется команда

piecewise(x.

В данном примере функция f1 – это функция f, записанная в принятых в системе Maple стандартах.

1. Вычислите точное и приближенное значения выражений , .

2. Найдите модуль, аргумент, тригонометрическую форму (команды abs, argument, polar) комплексного числа . Упростите полученные выражения.

3. Найдите значение выражения . Для выполнения преобразований комплексного числа применяется функция evalc.

4. Запишите функцию без знака модуля.

5. Задайте и найдите f(-10)+3f(-1)+f(3).

6. Задайте функцию в виде функционального оператора и найдите ее значение при x=-1, y=.

2.3. Преобразование математических выражений

Maple обладает широкими возможностями для аналитических преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как приведение подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду и многие другие.

В Maple можно преобразовывать как все выражение в целом, так и отдельные его части.

Для выделения левой (правой) части в математическом выражении вида A=B используются команды

lhs(выражение);

rhs(выражение);

Для выделения числителя (знаменателя) используются команды

numer(выражение);

denom(выражение);

Для выделения некоторой части выражения, списка или множества служит команда

op(i,выражение), где i – число, определяющее позицию в выражении.

Функция op(дробь) возвращает список из числителя и знаменателя дроби.

Выражение одной переменной (или части выражения) через другую из данного уравнения производится командой

isolate(уравнение, выражение);

Далее рассмотрим команды, которые позволяют упростить выражение или привести его к нужному виду.

1) Приведение подобных членов в выражении по переменной осуществляется командой

collect(выражение, переменная);

Команда collect также может приводить подобные относительно некоторых функций.

2) Разложить на множители выражение можно с помощью команды

factor(выражение, опции). Если команда factor применяется к многочлену, в опциях указывается real или complex, в зависимости от того, над каким полем нужно получить разложение, или в фигурных скобках – радикалы, которые могут появиться в разложении. Опции можно задавать в виде какого-нибудь корня многочлена командой RootOf (f(x)). По умолчанию разложение будет найдено над полем рациональных чисел.

Если не удается разложить многочлен на множители с помощью команды factor, следует подключить пакет polytools и в нем воспользоваться командой split.

3) Раскрытие скобок в выражении осуществляется командой

expand(выражение, опции), где в опциях можно указать выражение, скобку с которым раскрывать не следует. Данную команду также используют для действий с экспонентами и сведения тригонометрических выражений к тригонометрическим функциям простых аргументов.

4) Привести дробь к нормальному виду можно с помощью команды

normal(выражение, опция), где в опции можно указать expanded для раскрытия скобок в знаменателе.

5) Для преобразований выражений, содержащих радикалы, применяется команда

radnormal(выражение, опции), где в опциях указывается ‘rationalized‘ для того, чтобы избавиться от иррациональностей в знаменателях, ‘expanded‘ для раскрытия всех скобок.

6) Упрощение выражений осуществляется командой

simplify(выражение, опции).

Команда simplify по правилам упрощения преобразует данное выражение. Правила упрощения зависят от вида выражения и параметров команды simplify. Стандартные параметры имеют названия: trig – для преобразований тригонометрических выражений, power – для степенных преобразований; radical или sqrt – для преобразования корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов. Использование параметров увеличивает эффективность команды simplify.

Также в опциях указываются предположения о значении аргумента. Для формальных символьных преобразований многозначных функций в опциях можно указать symbolic.

Команда simplify позволяет выполнить преобразования в выражении при заданных условиях (условия указываются в фигурных скобках).

В некоторых случаях бывает полезно предварительно преобразовать выражение при помощи команды

convert(выражение, тип), которая переводит выражение одного типа в другой, либо к указанной форме. Например, если в опциях указать tan, то тригонометрическое выражение с синусами и косинусами преобразуется в выражение, содержащее только тангенсы.

7) Объединить части выражения по определенным правилам можно при помощи команды

combine(выражение, опции), где опции указывают, какой тип функций преобразовывать. Например, при указании опции trig многочлен P(sin x, cos x) преобразуется в сумму sin(nx) , cos(nx), при указании power, exp или radical будут объединяться показатели степенных выражений и выражений с экспонентами или радикалами по правилам , , при указании опции ln происходит потенцирование. Так же как для simplify в опциях можно указать symbolic.

Для аналитического решения уравнений применяется команда

solve(уравнение, переменные).

Переменные перечисляются в фигурных скобках через запятую. Если не указывать набор переменных в параметрах команды, то решение будет найдено для всех переменных, участвующих в уравнениях. Если требуется решить систему уравнений, то уравнения системы указываются в фигурных скобках через запятую. Результатом применения команды solve будет список решений данного уравнения, либо, если уравнение не имеет решений или командой solve они не могут быть найдены, в строке вывода не появится никаких сообщений. Со списком решений можно работать так же как с обычным списком.

Команда subs(e,z) выделяет часть выражения. Для работы с решением можно было применить команду assign(e), которая выполняет присваивания x, y, z соответствующих значений, но при этом x, y, z теряют статус неопределенных переменных.

При необходимости решить систему линейных уравнений с большим количеством неизвестных и уравнений лучше применять команды из пакета linalg.

Если команда solve в применении к какому-либо уравнению выдает решение не в явном виде, то перед выполнением команды solve следует придать глобальной переменной _EnvExplicit значение true. В частности, если _EnvExplicit имеет значение true, то корни полинома четвертого порядка будут выражены в радикалах. Отметим, что далеко не для всех уравнений удается получить ответ в явном виде.

Максимальное количество решений, которое может быть найдено с помощью команды solve, определяется значением глобальной переменной _MaxSols, имеющей по умолчанию значение равное 100. Если придать глобальной перменной _EnvAllSolutions значение true, то в случае бесконечного множества решений, команда solve для некоторых уравнений сможет оформить ответ в виде выражения, содержащего переменные определенного типа. Например, для тригонометрических уравнений ответ будет содержать целочисленные параметры вида _Z

Команда solve может находить параметрическое решение уравнения.

Численное решение уравнений выполняется командой

fsolve(уравнение, переменные, опции).

В опциях можно указать интервал, в котором будет производиться поиск корней, также можно указать complex — для нахождения всех комплексных корней, либо опцию maxsols=n – для нахождения n наименьших корней полинома. Если уравнение задано полиномом, то команда fsolve будет находить все вещественные приближенные корни, в общем случае команда fsolve будет находить только один численный корень уравнения, другие корни можно искать, изменяя интервал поиска так, чтобы найденный корень в него не входил.

Для разрешения реккурентностей применяется команда

rsolve(<уравнение, начальные условия>, функция).

С помощью команды solve также можно решать неравенства и системы уравнений и неравенств.

Конструкция вида RealRange(Open(a), Open(b)) означает, что x принадлежит открытому интервалу (a, b). Если в параметрах команды solve переменную указать в фигурных скобках, то ответ будет выдан в виде ограничений для переменных.

1. Упростите выражение .

2. Упростите выражение .

3. Упростите выражение .

4.Приведите подобные в выражении и вычислите его значение при a=-3, x=1.

5. Упростите выражение а) ; б) .

6. Избавьтесь от иррациональностей в знаменателе выражения .

7. Выразите , , в радикалах.

8. Доказать, что , если A, B, C – углы треугольника.

9. Выразите через и .

10. Упростите выражение а) ;

б) ; с) .

11. Разложите многочлен на множители над полем вещественных чисел и над полем рациональных чисел. Найдите разложение в радикалах.

12. Разложите многочлен на множители над полем вещественных чисел и над полем комплексных чисел. Найдите разложение в радикалах.

13. Решите уравнение .

14. Решите систему уравнений .

15. Решите систему уравнений и упростите ответ.

16. Численно найти все решения уравнения .

17. Найти три численных решения уравнения .

18. Решите систему неравенств .

19. Решите неравенство .

Эта часть посвящена возможностям системы Maple V в визуализации самых разнообразных вычислений.

Для построения графиков функции f(x) от одной переменной (в интервале по оси Ох и в интервале по оси Оу) используется команда

plot(f(x), x=a..b, y=c..d, options),

где options – опция или набор опций, задающих стиль построения графика. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов. Для этого следует щелкнуть левой кнопкой мыши по изображению. После этого становятся активными кнопки в нижнем ряду панели. Также можно узнать координаты точки на графике. Для этого необходимо подвести курсор к нужной точке графика и щелкнуть левой кнопкой мыши. Слева в нижнем ряду кнопок на панели появятся координаты. Настройка изображения также может осуществляться с помощью контекстного меню. Оно вызывается правой кнопкой мыши.

Основные параметры команды plot:

title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он не содержит пробелов).

coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

style=LINE – вывод линиями, style=POINT вывод точками.

numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=50).

сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т. д.

xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

thickness=n, где n=1,2,3… — толщина линии (по умолчанию n=1).

linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т. д. (по умолчанию n=1 – непрерывная).

symbol=s — тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

font=[f, style, size] – установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – размер шрифта в pt.

labels=[tx, ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

discont=true – указание для построения бесконечных разрывов, при этом на графике асимптоты не рисуются.

Пример. Построить график жирной линией в интервале от -6p

> plot(sin(x)^2/x, x=-6*Pi..6*Pi, labels=[x, y], labelfont=[TIMES, ITALIC,14], thickness=4);

Построение графика функции, заданной параметрически

С помощью команды plot можно строить также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t) :

plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Пример. Построить график параметрической кривой , в рамке.

> plot([sin(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

Построение графика функции, заданной неявно

Для построения графика неявной функции F(x, y)=0 используется команда implicitplot(F(x, y)=0, x=x1..x2, y=y1..y2) из графического пакета plots.

Пример. Построить график неявно заданной функции .

>with(plots):implicitplot(x^2+y^2=1, x=-1..1, y=-1..1);

Вывод текстовых комментариев на рисунок

В пакете plots имеется команда textplot для вывода текстовых комментариев на рисунок:

textplot([x0,y0,’text’], options), где x0, y0 – координаты точки, с которой начинается вывод текста ’text’.

Вывод нескольких графических объектов на один рисунок

Если на одном рисунке нужно совместить несколько графиков функций, то можно воспользоваться командой

plot(, options);

Если необходимо нарисовать несколько графических объектов, полученных при помощи различных команд, то для этого результат действия команд присваивается некоторым переменным:

При этом на экран вывод не производится. Для вывода графических изображений необходимо выполнить команду из пакета plots:

display([p, t], options).

Пример. Построить графики функций на одном рисунке.

> p1:=plot(sin(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=blue):

> p2:=plot(cos(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=green):

> p3:=plot(tan(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=black):

> p4:=plot(ln(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=red):

Построение двумерной области, заданной неравенствами

Если необходимо построить двумерную область, заданную системой линейных неравенств , то для этого можно использовать команду inequal из пакета plots:

inequals(c1,…,fn(x, y)>cn>, x=x1…x2, y=y1..y2, options)

В фигурных скобках указывается система неравенств, задающих область, затем размеры координатных осей и параметры. С помощью параметров можно регулировать толщину линий границ, цвета открытых и закрытых границ, цвета внешней и внутренней областей:

optionsfeasible=(color=red) – установка цвета внутренней области;

optionsexcluded=(color=yellow) – установка цвета внешней области;

optionsopen(color=blue, thickness=2) – установка цвета и толщины линии открытой границы;

optionsclosed(color=green, thickness=3) – установка цвета и толщины линии закрытой границы.

1. Построить график жирной линией в интервале от -4p до 4p.

2. Построить график разрывной функции .

3. Построить график параметрической кривой , , в рамке.

4. Построить в полярных координатах график функции

> plot(1-sin(x^2), x=0..2*Pi, coords=polar, color=black, thickness=4);

5. Построить график гиперболы: .

6. Построить на одном рисунке графики астроиды , () вписанной в эллипс . Подпишите эти линии жирным шрифтом курсивом.

> el:=implicitplot(eq, x=-4..4, y=-2..2, scaling=CONSTRAINED, color=green, thickness=3):

> as:=plot([4*cos(t)^3,2*sin(t)^3, t=0..2*Pi], color=blue, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):

> t1:=textplot([1.5,2.5,eq1], font=[TIMES, ITALIC, 10], align=RIGHT):

> t2:=textplot([0.2,2.5,»Ellips:»], font=[TIMES, BOLD,10], align=RIGHT):

> t3:=textplot([1.8,0.4,Astroida], font=[TIMES, BOLD,10], align=LEFT):

7. Построить область, ограниченную линиями: , , .

> inequal(0, x-y plot3d(1/(x^2+y^2)+0.2/((x+1.2)^2+(y-1.5)^2)+ 0.3/((x-0.9)^2+(y+1.1)^2), x=-2..2, y=-2..2.5, view=[-2..2, -2..2.5, 0..6], grid=[60,60], shading=NONE, light=[100,30,1,1,1], axes=NONE, orientation=[65,20], style=PATCHCONTOUR);

График поверхности, заданной параметрически

Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде:

plot3d([x(u, v), y(u, v), z(u, v)], u=u1..u2, v=v1..v2).

> plot3d([30+(7+2*cos(s))*cos(t), 10+(7+2*cos(s))*sin(t), 2*sin(s)], s=0..2*Pi, t=0..11*Pi/6, grid=[12,24], style=patch, axes=frame, scaling=constrained);

График поверхности, заданной неявно

График поверхности, заданной неявно уравнением , строится с помощью команды пакета plots:

implicitplot3d(F(x, y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности и размеры рисунка по координатным осям.

График пространственных кривых

В пакете plots имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически: .

spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2), где переменная t изменяется от t1 до t2.

Построение нескольких трехмерных фигур на одном графике

Команда plot3d позволяет строить одновременно несколько фигур, пересекающихся в пространстве. Для этого достаточно вместо описания одной поверхности задать список описаний ряда поверхностей. При этом функция plot3d обладает уникальной возможностью – автоматически вычисляет точки пересечения фигур и показывает только видимые части поверхностей. Это создает изображения, выглядящие вполне естественно.

Пример. Выполнить построение двух поверхностей и в пределах . Установите переменный цвет поверхностей как функцию .

Maple позволяет выводить на экран движущиеся изображения с помощью команд animate (двумерные) и animate3d (трехмерные) из пакета plots. Суть анимации при использовании данных функций заключается в построении серии кадров, причем каждый кадр связан со значением изменяемой во времени переменной t. Среди параметров команды animate3d есть

frames – число кадров анимации (по умолчанию frames=8).

Управлять движущимся изображением удобнее с помощью контекстного меню.

1. Построить график поверхности .

2. Построить шар :

3. Построить пространственную кривую: , ,

4. Нарисовать движущийся объект.

Щелкните по появившемуся изображению правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню выполните команду Animation®Continuous. Затем снова вызовите контекстное меню и выполните команду Animation®Play. Для того, чтобы остановить движение, выполните команду Animation®Stop. Затем с помощью мыши поверните рисунок под другим углом и сделайте его вновь движущимся.

5. Нарисовать параметрически заданную поверхность (лист Мебиуса): , , , , .

Выведите название рисунка, подпишите названия осей и установите одинаковый масштаб по осям.

6. Нарисовать движущийся объект – лист Мебиуса.

Рассмотрим основные функции для решения задач математического анализа, встроенные в пакет Maple.

Вычисление пределов осуществляется при помощи команды

limit(выражение, x=a, параметры), где a – значение точки, в которой вычисляется предел выражения. При вычислении односторонних пределов указывается параметр left или right. Для вывода результата в стандартной аналитической записи используется команда

Limit(выражение, x=a, параметры).

>Limit(ln(cos(a*x))/(ln(cos(b*x))), x=0)=limit(ln(cos(a*x))/(ln(cos(b*x))), x=0);

Дифференцирование в Maple выполняется при помощи команды

diff(f,x), где f – функция, x – переменная, по которой производится дифференцирование. Для стандартной аналитической записи используется команда

Diff(f,x).

При вычислении производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной.

Как правило, результат применения команды diff для нахождения производных старших порядков получается достаточно длинным и его можно попытаться упростить с помощью команд simplify, factor, expand или combine.

Для определения дифференциального оператора используется команда

D(f), где f — функция.

Неопределенный интеграл вычисляется с помощью команды:

int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования. Для вывода формулы в стандартной аналитической записи применяется команда

Int(f, x)

Определенный интеграл также вычисляется посредством команды int, если в параметрах указать пределы интегрирования.

В случаях, когда интеграл не может быть взят в элементарных функциях, поможет функция evalf. Численное интегрирование выполняется командой

evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

> Int(exp(-x^3),x=0..1)=evalf(int(exp(-x^3),x=0..1),14);

Если в подынтегральное выражение входит параметр, то значение интеграла может зависеть от ограничений на параметр. Предположения о значении параметра делают с помощью команды

assume(условие1), где условие1 – неравенство для параметра.

Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды

additionally(условие2), где условие2 – неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

Как видно из примера, после наложения ограничений на параметр к его имени добавляется символ (

В пакете student содержится набор команд, предназначенных для обучения методам решения определенных задач. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar. Перед использованием этих команд необходимо загрузить пакет student командой with(student).

Если в формуле интегрирования по частям обозначить подынтегральную функцию u(x)v’(x) через f, то команда интегрирования по частям будет выглядеть следующим образом:

intparts(Int(f, x), u), где u – функция u(x).

Замена переменных t=h(x) в интеграле осуществляется при помощи команды:

changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t — новая переменная.

Пример. Вычислить интеграл с помощью замены x=t6.

> with(student):J=Int(1/(x^(1/2)+x^(1/3)),x);

Операция суммирования выполняется в Maple при помощи команды

sum(f,k=i..j), где f – функция, задающая члены суммируемого ряда, k – индекс суммирования, i..j – пределы изменения индекса k. Для стандартной математической записи суммы применяется та же команда, но с заглавной буквы.

Во всех заданиях результат выводить в стандартной математической записи и по возможности упростить.

1. Вычислить предел а) ; б) .

2. Найти односторонние пределы , .

3. Вычислить производную .

4. Вычислить .

5. Вычислить вторую производную функции в точках x=p/4, x=p. Всегда контролируйте, определена функция в этих точках или нет.

6. Найти интеграл а) ; б) .

7. Найти .

8. Найти интеграл при a>0, b>0.

9. Найти несобственный интеграл при a>1.

10. Численно найти интеграл . Сравните полученное значение с .

11. Вычислить интегралы и по частям.

12. Вычислите интеграл с помощью подстановки .

13. Написать процедуру, которая выводит уравнения наклонных асимптот графика функции f(x). Уравнение наклонной асимтоты есть y=kx+b, где и (аналогичные формулы для ). Найти уравнения наклонных асимптот кривой .

14. Найти сумму ряда а) ; б) .

Непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1,x2] проверяется с помощью команды

iscont(f, x=x1..x2).

Результатом действия команды iscont является true, если функция f непрерывна на интервале (x1, x2) и false – в противном случае. Для проверки непрерывности функции f на всей числовой оси, следует задать интервал

Точки разрыва первого и второго рода функции f находят с помощью команды

discont(f,x)

Команда выдает результат в виде перечисления точек разрыва в фигурных скобках, т. е. в виде множества.

Установить характер найденных точек разрыва поможет команда lim, примененная для отыскания односторонних пределов функции в этой точке.

Для определения точек экстремума функции f(x) используется команда

extrema(f,<>,x,`s`) , где `s` – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Пустые фигурные скобки в параметрах команды обязательны. Данная команда находит только те критические точки, в которых производная равна нулю. Результат действия этой команды относится к типу set.

Мы нашли точку экстремума x=-1 функции и значение функции в точке x=-1. Эта функция имеет еще одну точку экстремума, в которой производной не существует (x=0), и она не была найдена данной командой. Для того, чтобы, по возможности, избежать ошибок, можно посоветовать исследовать график функции. Также следует найти все точки разрыва производной.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на интервале помогут команды

maximize(f, x=x1..x2, location), minimize(f, x=x1..x2, location)

Если в параметрах команды не указывать x=x1..x2, то поиск наибольшего и наименьшего значений функции f(x) будет производиться на всей числовой оси. Параметр location указывают, чтобы получить координаты точек, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функций.

Пример. Провести исследование функции по общей схеме.

1) Исследуем непрерывность и найдем точки разрыва.

Точка x1 является точкой разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты x=3.

2) Найдем уравнение наклонных асимптот

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты есть y=x+3.

3) Найдем максимумы и минимумы

Следовательно, точка x=0 является точкой максимума, значение функции в этой точке равно 0. Точка x=6 является точкой минимума, значение функции в этой точке равно 12.

4) Строим график функции. На одном рисунке располагаем график самой функции, графики асимптот (другим цветом). У каждого графика должно быть написано уравнение. Также необходимо указать координаты точек максимума и минимума. Построение графиков рассмотрено в разделе 3.

Во всех заданиях дополнительно исследуйте график функции. Старайтесь правильно подобрать масштаб по осям.

1. Исследовать на непрерывность функцию , найти точки разрыва, если они есть, указать их тип.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=cos4x+sin4x на промежутке [-1,5] и точки в которых они достигаются.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

4. Определить промежутки возрастания и убывания функции . Для определения промежутков, в которых производная положительна, используйте команду convert(signum(f(x)), piecewise);

5. Найти точки разрыва, точки максимума и минимума

6. Найти точки максимума и минимума функции .

7. Исследовать функции по общей схеме: , .

1. . Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании.- М.: СОЛОН-Пресс, 2006.-720 с.

2. . Компьютерная математика. Теория и практика. — М.: Нолидж, 20с.

3. , Чеснокова задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 – M.: НТ Пресс, 20с.

4. , . Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001. – 116 с.

РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. «.

Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Подписано в печать. Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 2,2. Уч.-изд. л. 2,5.

Заказ № . Тираж 300 экз.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета