Maple приведение уравнения к каноническому виду

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ И ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ Maple

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Приведение уравнения линии второго порядка на плоскости к каноническому виду

Для лучшего понимания данного материала приводятся некоторые сведения из курса аналитической геометрии.

в котором по крайней мере один из коэффициентов A , B , C не равен нулю. Этому уравнению может соответствовать некоторый геометрический образ на плоскости. Требуется с помощью поворота и параллельного переноса осей координат перейти к некоторой новой системе координат ( x ₂ ; y ₂ ), чтобы в этой системе первоначальное уравнение после преобразований по возможности перешло в уравнение одной из кривых второго порядка: эллипса, гиперболы либо параболы (иногда упрощенное уравнение задает одну или две прямые, одну точку или даже пустое множество). Такой вид называется каноническим .

Если , то вначале потребуется провести поворот осей координат. Пусть оси координат Ox и Oy повернуты против часовой стрелки на некоторый острый угол  , тогда координаты любой точки ( x ; y ) в первоначальной системе связаны с ее координатами ( x ₁ ; y ₁ ) в новой системе следующими уравнениями:

Возьмем первые три слагаемых левой части первоначального уравнения, которые будут являться однородным многочленом от переменных. Обозначим этот многочлен

После подстановки формул преобразования координат в последнее уравнение оно при любом  оно примет вид

и требуется подобрать такой угол  , при котором , т.е.

Известно, что таким требованиям удовлетворяют корни уравнения

Это уравнение всегда имеет два действительных корня, причем по теореме Виета , откуда . Достаточно взять положительный корень уравнения, т.е. угол в первой координатной четверти (другим корнем будет угол, ему перпендикулярный и находящийся в четвертой координатной четверти). Косинус и синус этого угла можно получить по формулам

Зная эти величины, можно подставить их в формулы преобразования координат, после проведения которого первоначальное уравнение гарантированно примет вид

Параллельный перенос осей координат производится при выполнении по крайней мере одного из неравенств . Необходимо рассмотреть следующие случаи.

а) Если , то можно параллельно перенести оси координат и перейдя к новым координатам ( x ₂ ; y ₂ ) так, чтобы уравнение приняло вид

Если при этом A ₁ и C ₁ имеют одинаковые знаки, то уравнение называется эллиптическим, в противном случае гиперболическим. Если при этом F ₂ =0, то канонический вид уравнения получен, иначе он получается делением всего последнего уравнения на | F ₂ |.

б) Если или , то такое уравнение называется параболическим. Тогда с помощью параллельного переноса осей координат оно может быть приведено к виду или . Далее по возможности остается выразить какую-нибудь переменную через другую – если такая возможность имеется, то уравнение определяет параболу, в противном случае – одну или две прямые.

Рассмотрим оба случая, поскольку алгоритмы решения задачи в этих случаях различаются.

а) Эллиптическое и гиперболическое уравнения

Пример решения задачи: дано уравнение

ВНИМАНИЕ! В качестве B , D и E задаются коэффициент ы при xy , x и y соответственно, делённые на 2!

Эта команда необходима для подключения расширенных средств графики.

Эта команда крайне необходима – напомним, что по умолчанию D является оператором дифференцирования.

> if K[1]>0 then k:=K[1] else k:=K[2] fi;

Найденные значения синуса и косинуса угла подставляются в формулы преобразования координат, которые, в свою очередь, подставляются в исходное уравнение, и затем оно упрощается.

ВНИМАНИЕ! В данном случае коэффициенты при квадратах обоих переменных оказались не равными нулю. В противном случае («б») дальнейшие действия, правомочные для данного примера, правомочными уже не будут, и уравнение окажется параболическим – см. этот случай ниже.

> A1:=coeff(le,x1,2); C1:=coeff(le,y1,2); D1:=coeff(le,x1,1); E1:=coeff(le,y1,1);

Производится параллельный перенос осей координат.

Переменная c есть свободное слагаемое левой части последнего уравнения. Дальнейшие шаги выполняются при условии .

Значение c переносится из левой части уравнения в правую. При необходимости уравнение делится на модуль c .

> if c<>0 then eq4:=lhs(eq4)/abs(c)=rhs(eq4)/abs(c) fi;

Наконец, получен канонический вид уравнения. Из теории известно, что такое уравнение в данном случае определяет гиперболу. Убедимся в этом, построив график этой линии. Масштаб по обеим переменным (от -10 до 10) взят, в общем-то, «на глазок», и при необходимости его впоследствии можно изменить и затем перерисовать график.

б) Параболическое уравнение

Пример решения задачи: дано уравнение

ВНИМАНИЕ! В качестве B , D и E задаются коэффициент ы при xy , x и y соответственно, делённые на 2!

Эта команда необходима для подключения расширенных средств графики.

Признаком того, что уравнение является параболическим, является возможность представить первые 3 слагаемые его левой части в виде полного квадрата, умноженного на некоторое число. Начальные действия аналогичны действиям в предыдущем случае.

> if K[1]>0 then k:=K[1] else k:=K[2] fi;

Итак, слагаемое, содержащее , отсутствует, и уравнение является параболическим. Если бы отсутствовало слагаемое, содержащее , то дальнейшие действия были бы аналогичными, только переменные поменялись бы местами.

В данном случае вначале параллельно переносится ось y ₁, затем параллельно переносится ось x ₁. Если бы C 1 было бы равно нулю, то параллельный перенос осей осуществлялся бы наоборот. Поэтому все нижеследующие команды необходимо ввести в одной исполняемой группе, а завершать ввод всех строк, кроме последней, необходимо комбинацией клавиш Shift + Enter (как в Word ).

Наконец, получен канонический вид уравнения. Из теории известно, что такое уравнение определяет параболу. Убедимся в этом, построив график этой линии. Масштаб по обеим переменным (от -10 до 10) взят, в общем-то, «на глазок», и при необходимости его впоследствии можно изменить и затем перерисовать график.

76. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

Y1 = a11x1 + a12x2

Y2 = a12x1 + a22x2

Где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется Каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 — l)(3 — l) – 25 = 0

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17×2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 — l)(8 — l) — 36 = 0

136 — 8l — 17l + l2 – 36 = 0

L2 — 25l + 100 = 0

Итого: — каноническое уравнение эллипса.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0

Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l1 = -1, l2 = 4.

Для l1 = -1 Для l2 = 4

M1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;

= (1; -0,5) = (1; 2)

Получаем: — каноническое уравнение гиперболы.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите коэффициенты квадратичной формы и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.