Математическая модель это совокупность уравнений неравенств

Математические модели и математическое моделирование

Математическая модель представляет собой совокуп­ность уравнений, неравенств, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и взаимозависи­мости основных характеристик моделируемой системы.

По используемому математическому аппарату матема­тические модели подразделяются на:

1) аналитические (описываемые с помощью систем уравнений, неравенств и т.д.);

2) статистические (реализующие выбор решения пу­тем статистической обработки имеющихся решений).

Математическое моделирование — это изучение по­ведения объекта в тех или иных условиях путем реше­ния уравнений его математичекой модели. У математи­чески подобных объектов процессы обладают различной физической природой, но описываются идентичными уравнениями.

На первых порах своего развития математическое мо­делирование называлось аналоговым. Более того, исполь­зование метода аналогии привело к появлению аналоговых вычислительных машин — АВМ.

Общих методов построения математических моделей не существует. Работа над любой математической моделью начинается со сбора и анализа фактического материала. Определяются цели моделирования. Выделяются главные черты изучаемого объекта или явления. Вводятся форма­лизованные характеристики. Принимаются правила ра­боты с ними. В результате возникает математический объект, который и называется математической моделью.

Разрабатываются методы математического анализа модели, которыми она исследуется. Полученные резуль­таты математического моделирования интерпретируются в рамках исходного фактического материала, что позво­ляет оценить степень адекватности модели. Результаты моделирования не должны противоречить выделенным

ранее ключевым экспериментальным фактам. Одновремен­но модель не может объяснить все стороны изучаемого объекта или явления.

Предпочтение отдается более простым моделям. Отме­тим, что «простота» (иногда в ущерб точности) — один из принципов, о котором всегда нужно помнить при разра­ботке математической модели.

Поскольку математическая модель не вытекает непо­средственно из описания задачи, то одна и та же задача (одно и тоже явление) может иметь несколько моделей.

Построение модели в общем случае включает:

— составление математического описания;

— решение уравнений математического описания (аналити­ческое либо путем создания моделирующего алгоритма);

— проверку адекватности модели (это оценка достоверно­сти построенной математической модели, исследование ее соответствия изучаемому объекту);

— окончательный выбор модели (при наличии несколь­ких моделей).

Требования к модели:

1. Затраты на создание и исследование модели должны быть значительно меньше затрат на создание и проведе­ние эксперимента над оригиналом.

2. Модель должна отражать важнейшие черты явле­ния (оригинала).

3. Модель должна быть, по возможности, простой, не «засоренной» массой мелких второстепенных деталей.

Компьютерное моделирование

Исторически случилось так, что первые работы по ком­пьютерному моделированию, или, как говорили раньше, моделированию на ЭВМ, были связаны с физикой, где с помощью моделирования решался целый ряд задач гид­равлики, фильтрации, теплопереноса и теплообмена, ме­ханики твердого тела и т. д. Моделирование, в основном, представляло собой решение сложных нелинейных задач математической физики с помощью итерационных схем, и по существу было оно моделированием математическим. Успехи математического моделирования в физике способ­ствовали распространению его на задачи химии, элект-

роэнергетики, биологии и некоторые другие дисциплины, причем схемы моделирования не слишком отличались друг от друга. Сложность решаемых на основе моделирования задач всегда ограничивалась лишь мощностью имеющих­ся ЭВМ.

В настоящее время понятие «компьютерное моделиро­вание» обычно связывают с системным анализом — на­правлением кибернетики, впервые заявившим о себе в начале 50-х годов при исследовании сложных систем в биологии, макроэкономике, при создании автоматизиро­ванных экономико-организационных систем управления. Основные методы и процедуры, используемые обычно при системном анализе, заимствованы из других дисциплин, в большей степени из исследования операций.

В настоящее время под компьютерной модельючаще всего понимают:

— условный образ объекта или некоторой системы объек­
тов (или процессов), описанный с помощью взаимосвя­
занных компьютерных таблиц, блоков-схем, диаграмм,
графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипер­
текстов и т. д. и отображающий структуру и взаимо­
связи между элементами объекта. Компьютерные мо­
дели такого вида мы будем называть структурно-функ­
циональными;

— отдельную программу, совокупность программ, про­
граммный комплекс, позволяющий с помощью после­
довательности вычислений и графического отображе­
ния их результатов воспроизводить (имитировать) про­
цессы функционирования объекта, системы объектов
при условии воздействия на объект различных, как
правило, случайных факторов. Такие модели мы бу­
дем далее называть имитационными моделями.
Компьютерное моделирование — метод решения за­
дачи анализа или синтеза сложной системы на основе
использования ее компьютерной модели. Суть компьютер­
ного моделирования заключена в получении количествен­
ных и качественных результатов по имеющейся модели.
Качественные выводы, получаемые по результатам ана­
лиза, позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства

сложной системы: ее структуру, динамику развития, ус­тойчивость, целостность и др. Количественные выводы в основном носят характер прогноза некоторых будущих или объяснения прошлых значений переменных, характери-зирующих систему.

Предметом компьютерного моделирования могут быть: экономическая деятельность фирмы или банка, промыш­ленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический процесс, любой реальный объект или процесс, например, процесс инфляции, и вообще лю­бая сложная система.

Компьютерная модель сложной системы должна, по возможности, отображать все основные факторы и взаи­мосвязи, характеризующие реальные ситуации, критерии и ограничения. Модель должна быть достаточно универ­сальной, чтобы по возможности описывать близкие по назначению объекты, и в то же время достаточно про­стой, чтобы позволить выполнить необходимые исследо­вания с разумными затратами.

Исследование на компьютере

Статья «Уравнения и неравенства как математические модели»

Математическая статистика − наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании). Любой творчески работающий специалист физического воспитания в ходе своей работы получают фактический экспериментальный материал (первичный цифровой массив). Если эти данные не будут корректно обработаны с помощью методов математической статистики, то их работа теряет всякий теоретический и практический смысл.

Просмотр содержимого документа
«Статья «Уравнения и неравенства как математические модели»»

уравнения и неравенства как математические модели

1.Примеры решения уравнений с параметрами как математической модели………………………………………………………………………..

1.1.Вид соотношений с выделенными параметрами……………………

1.2. Пример решения неравенства с параметром…………………….

Математическая статистика − наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании). Любой творчески работающий специалист физического воспитания в ходе своей работы получают фактический экспериментальный материал (первичный цифровой массив). Если эти данные не будут корректно обработаны с помощью методов математической статистики, то их работа теряет всякий теоретический и практический смысл.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

Цель: проанализировать уравнения и неравенства как математические модели.

Провести теоретический анализ литературы по теме исследования.

примеры решения уравнений с параметрами как математической модели;

вид соотношений с выделенными параметрами;

пример решения неравенства с параметром.

1.Примеры решения уравнений с параметрами как математической модели

Ряд проблем в различных отраслях человеческой деятельности может быть изучен математическими методами. На этом пути, применяя язык математики, изучаемым явлениям ставят в соответствие модельные явления. Если они описаны с помощью математических правил, то такие модели называются математическими. Примером такого процесса является процесс решения простейших так называемых «текстовых» задач с помощью сведения их к уравнениям или неравенствам [7].

Любая предметная область характеризуется своим набором понятий связей между ними. Каждая предметная область имеет свои специфические методы решения задач. Необходимость в формализованном представлении знаний возникла в связи с их обработкой средствами компьютерной техники. Методология моделирования и формализации концептуальных знаний, ориентированная на их компьютерную обработку, является одной из основных тем развития искусственного интеллекта [7].

Под моделью мы будем понимать «систему произвольной природы, отражающую свойства, характеристики и связи моделируемого объекта (объекта-оригинала), которые считаются существенными для решения данной задачи» [5, с. 46]. При этом отсутствие в модели несущественных элементов не менее важно, чем присутствие в ней существенных.

Главное назначение модели состоит в упрощении получения информации о свойствах объекта-оригинала. Полное соответствие модели оригиналу невозможно по определению.

Пример. Рассмотрим уравнение . Его можно понимать как квадратное уравнение относительно неизвестного х , а можно понимать как квадратное уравнение относительно неизвестного а с параметром х. Следует же понимать это уравнение как уравнение с двумя неизвестными х и а. В левой части уравнения стоит математическое выражение от двух аргументов х и а.

Множество решений такого уравнения – это множество пар чисел, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство.

Взгляд относительно х говорит о решении уравнения относительно х. В этом случае аргументы х и а считают неравноправными. Поэтому необходимо выразить при решении х через а, которое называют «параметром».

Можно рассмотреть это уравнение по-другому, взгляд относительно а: необходимо иметь ответ в таком виде, чтобы для каждого значения а было указано, какие числа х в паре с этом а дают решения данного уравнения.

На этом пути, если брать разные основания для классификаций (например, от вида математического выражения, задающего уравнение) и учитывая разные взгляды на аргументы, входящие в это математическое выражение, получим спектр разных типов уравнений (неравенств).

1.1.Вид соотношений с выделенными параметрами

В реальных задачах (например, с физическим содержанием) естественно вводится неравноправие аргументов, входящих в уравнение. Они делятся на «неизвестные», обозначаемые, как правило, последними буквами латинского алфавита (…, x, y, z), и «параметры» – обозначаемые первыми буквами (a, b, c,…) [7].

Рассмотрим один из способов решения задачи с параметрами:

значение параметра (или параметров, если их несколько) считается произвольно фиксированным, и затем ищется решение задачи так, как обычно обращаются с уравнениями и неравенствами с одним неизвестным.

Ответом должно быть перечисление решений для каждого допустимого значения параметра.

Например, ответ при решении неравенства лучше всего записывать в виде:

при решений нет;

при имеем любое х из [7].

Отметим, что выяснение зависимости решений от значений параметра есть часть процесса решения задачи. Иногда это называют исследованием и отделяют от непосредственного решения. Необходимо запомнить и уяснить, что решение задачи с параметрами без такого этапа не дает решение. Задача нерешена!

1.2.Пример решения неравенства с параметром

.

Решение. 1) Находим естественную область определения. Это множество пар , при которых выражение, задающее задачу определено. Имеем, что .

2) Так как рассмотрим сначала случай . Тогда все пары , входящие в область определения, являются решениями.

3) Рассмотрим случай . Тогда . Исследуем дискриминант получившегося трехчлена. Он равен .

3.1. При действительных решений нет.

3.2. При , решая квадратное неравенство, имеем, что . Однако теперь надо согласовать полученное условие с условиями: и . Это при водит к системе неравенств: Получаем, что х должен быть больше (или равен) каждого из трёх чисел 0, . Поэтому надо знать, как они расположены на числовой оси в зависимости от параметра а. Рассмотрим варианты: а) первое число больше третьего .

б) первое число больше второго .

Получаем два случая: и .

3.2.1) Пусть . В этом случае из трех исходных чисел самым большим является первое – число 0. Остаются условия и .

3.2.2) Пусть . Теперь первое число меньше второго и третьего. Сравним второе и третье: .

Это не выполняется ни при каких а. Итак, в этом случае третье число наибольшее. Получили, что . Объединив все случаи, получим

Ответ. 1) если , то решений нет;

2) если , то ;

Как уже отмечалось, задачи с параметрами могут бать по-разному классифицированы:

по виду математического выражения (линейные, квадратные и т.д.);

по количеству неизвестных и выражений (системы и т.д.);

по количеству параметров [7].

Выделены и классы методов их решения (формальный, геометрический и др.).

Пример математической модели.

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы [8].

Введем переменные: xij-количество станков, которое будет изготавливать i-й завод для j-й фабрики.

По условию задачи:

Кроме того, должны выполняться условия:

Получаем систему ограничений в форме неравенств и уравнений:

Мы составили математическую модель нашей задачи. Решая систему мы найдем множество различных решений. Вот одно из них:

Оптимальное решение будет зависеть от других параметров, отдаленности заводов, цены на станки и т.д.

Электронная библиотека

Основным понятием курса является понятие математической модели. В общем случае слово «модель» – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков, таблиц и т.д.

Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Другими словами, математической моделью экономического объекта или процесса в общем случае называют совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий и др.), определяющих выходные данные в зависимости от входных (параметров объекта, начальных условий, времени и пр.).

Математическая модель задачи представляет собой формальное описание основного содержания задачи. Процесс отображения основного содержания задачи (например, количественная связь между расходом ресурсов и имеющимися запасами их на складе предприятия через параметры управления) в виде математических формул, линейных уравнений, неравенств называется формализацией задачи.

Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Естественно, моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:

ü выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;

ü информационную базу данных объекта;

ü выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;

ü выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения – целевой функции.

Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00