Математическая модель представляет собой следующую систему уравнений

Лекция № 1 Введение. Понятие математических моделей и методов

Введение. Понятие математических моделей и методов

Раздел 1. Введение

1. Содержание, цели и задачи дисциплины «Методы моделирования». 1

2. Методы построения математических моделей. Понятие о системном подходе. 1

3. Основные понятия математического моделирования экономических систем.. 4

4. Методы аналитического, имитационного и натурного моделирования. 5

Контрольные вопросы.. 6

1. Содержание, цели и задачи дисциплины «Методы моделирования»

Настоящая дисциплина посвящена изучению методов моделирования и практическому применению полученных знаний. Целью дисциплины является обучение студентов общим вопросам теории моделирования, методам построения математических моделей и формального описания процессов и объектов, применению математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач, с использованием современных вычислительных средств.

В задачи дисциплины входит:

-ознакомить студентов с основными понятиями теории математического моделирования, теории систем, теории подобия, теории планирования эксперимента и обработки экспериментальных данных, используемых для построения математических моделей,

-дать студентам навыки в области постановки задачи моделирования, математического описания объектов /процессов/, численных методов реализации математических моделей на ЭВМ и решения оптимизационных задач.

В результате изучения дисциплины студент должен освоить методы математического моделирования процессов и объектов от постановки задачи до реализации математических моделей на ЭВМ и оформления результатов исследования моделей.

Курс дисциплины рассчитан на 12 лекций и 12 практических работ. В результате изучения дисциплины студент должен освоить методы математического моделирования от постановки задачи до реализации математических моделей на ЭВМ

2. Методы построения математических моделей. Понятие о системном подходе

Модель — абстракция, отражающая свойства и функции реального объекта. Целью моделирования является исследование свойств и характеристик существующего или планируемого (проектируемого) объекта в тех условиях, когда такое исследование реального объекта невозможно или связано с большими затратами (денег, ресурсов, времени). При проектировании новых объектов их моделирование позволяет выбрать оптимальный вариант конструкции при учете самых разных факторов (условий эксплуатации, технического обслуживания, ремонта и т. д.).

Моделирование бывает натурным или мысленным.

К натурному моделированию относятся:

— испытания уменьшенных (геометрически подобных) копий реального

— испытания моделей, отражающих физические свойства реальных объектов (физическое подобие), например, испытания на разрыв образца нового материала;

— макетирование (уменьшенная копия не отражает всех свойств реального объекта, а передает, например, только внешний вид);

— аналоговое моделирование (реальные процессы поведения объекта заменяются на аналогичные процессы другой физической природы, например, электрическая аналогия при исследовании гидравлических систем).

Мысленное моделирование отличается тем, что испытания модели ведется либо мысленно, либо с использованием вычислительных средств (ЭВМ).

К мысленному моделированию относятся:

— аналоговое (аналитически или численно исследуются процессы другой физической природы);

— символическое или языковое, знаковое (каждому процессу ставится в соответствие только одно слово или знак, наборы слов или знаков составляют зависимости, которые можно исследовать лингвистически или с помощью алгебры-логики);

— математическое (к исследованию мысленной модели привлекается математический аппарат).

Математическая модель — совокупность математических объектов (чисел, переменных, векторов, матриц) и отношений между ними (функций, функционалов, алгоритмов), которая адекватно отражает некоторые свойства реального объекта.

Аналитическое моделирование проводится, когда поведение реального объекта описывается известной системой уравнений, точно отражающих его свойства и допускающих аналитическое решение. Аналитические преобразования уравнений могут выполняться на ЭВМ, например с помощью средств Mathcad.

Имитационное моделирование проводится, когда вид уравнений, описывающих свойства реального объекта, неизвестен. Тогда уравнения подбираются более или менее произвольно (принцип черного ящика). Частный случай имитационного моделирования – приближенное решение сложной системы уравнений при упрощающих допущениях (например, применение гипотез турбулентности при решении уравнений Навье-Стокса).

Другой частный случай – выбор уравнений для описания процессов поведения объекта на основе аналоговой модели (например, в прочностных расчетах реальный объект заменяется моделью, состоящей из набора стержней и пластин).

Комбинированное моделирование проводится, когда часть процессов поведения реального объекта описывается точными аналитическими выражениями, а другая часть – приближенными уравнениями, имитирующими реальные процессы.

С точки зрения адекватности модели своему реальному объекту предпочтительнее применять аналитическое моделирование. Однако, преимуществом имитационного моделирования является возможность решения таких задач, когда точных аналитических решений не существует или они не известны. Имитационные модели достаточно просто учитывают такие факторы, как наличие дискретных элементов, нелинейных характеристик, случайных воздействий. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный, а часто и единственно возможный метод исследования сложных объектов.

Для построения математических моделей наиболее рациональным способом является системный метод (системный подход), который отличается от классического метода (индуктивного подхода).

В обоих методах объект понимается как система, состоящая из нескольких элементов (подсистем). Индуктивный подход к исследованию системы заключается в предварительном (априорном) разбиении ее на ряд элементов (подсистем).

Для каждого элемента определяются исходные данные для моделирования, ставятся цели моделирования свойств элемента, в соответствии с исходными данными и целями находится математическое описание данного компонента системы. Совокупность таких компонентов составляет математическую модель. В основу такого подхода положен принцип логической индукции – от частного к общему. При этом подходе подразумевается, что компоненты математической модели независимы друг от друга и выполняют каждый свою функцию. На практике отдельные элементы испытывают влияние друг на друга, изменяющее их поведение и свойства. Поэтому лишь простейшие системы допускают при исследовании классический подход.

Системный подход при составлении математических моделей (рис. 1.1) начинается с формулировки главной цели моделирования (главной цели функционирования системы). Затем на основе исходных данных формулируются требования, которым должна удовлетворять математическая модель. На основе этих требований из модели вычленяются ее отдельные элементы и описываются уравнениями. Как правило, элементы модели представляют собой реальные элементы реального объекта.

Совокупность всех уравнений представляет собой математическую модель, которая испытывается на соответствие главной цели моделирования (обратная связь — соответствие расчетов с опытными данными).

Если цель моделирования не достигнута (большое расхождение расчетов и эксперимента), то производится корректировка требований к элементам модели и изменение самих элементов. Эти изменения производятся на основе критериев выбора (второй контур обратной связи, включающий память о сделанных изменениях и реакций на них математических моделей).

Рис. 1.1. Схематическое изображение системного подхода (Ц – главная цель; Д – исходные данные; Т – требования к модели; Э – элементы модели; М – математическая модель; О. С. – обратная связь (1-й контур); К. В. – критерий выбора (2-й контур обратной связи).

При системном подходе принцип разбиения системы на элементы совершенно иной, чем при индуктивном подходе. Элемент выбирается не априорно, а на основе требований ко всей математической модели, составленных для удовлетворения одной главной цели моделирования. Поэтому элемент учитывает взаимодействия с другими элементами (если это отражено в требованиях). Элемент системы в данном случае уже не представляет собой реальный элемент реального объекта, а включает в себя то влияние (реакцию), которое оказывают на него другие элементы. Наличие в модели двух контуров обратной связи позволяют получить системе следующие свойства:

1. Саморегуляция — возможность проверки математической модели на соответствие исходной цели (обеспечивается первым контуром ОС).

2. Самоорганизация — целенаправленное изменение математической модели до возможно более полного совпадения расчета с экспериментом (обеспечивается вторым контуром ОС, включающей память о реакциях модели на сделанные изменения).

3. Основные понятия математического моделирования экономических систем

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это — этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т. п. Это — этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это — этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

1. Содержательная постановка задачи.

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

4. Методы аналитического, имитационного и натурного моделирования

Моделирование представляет собой мощный метод научного познания, при использовании которого исследуемый объект заменяется более простым объектом, называемым моделью. Основными разновидностями процесса моделирования можно считать два его вида — математическое и физическое моделирование. При физическом (натурном) моделировании исследуемая система заменяется соответствующей ей другой материальной системой, которая воспроизводит свойства изучаемой системы с сохранением их физической природы. Примером этого вида моделирования может служить пилотная сеть, с помощью которой изучается принципиальная возможность построения сети на основе тех или иных компьютеров, коммуникационных устройств, операционных систем и приложений.

Возможности физического моделирования довольно ограничены. Оно позволяет решать отдельные задачи при задании небольшого количества сочетаний исследуемых параметров системы. Действительно, при натурном моделировании вычислительной сети практически невозможно проверить ее работу для вариантов с использованием различных типов коммуникационных устройств — маршрутизаторов, коммутаторов и т. п. Проверка на практике около десятка разных типов маршрутизатров связана не только с большими усилиями и временными затратами, но и с немалыми материальными затратами.

Но даже и в тех случаях, когда при оптимизации сети изменяются не типы устройств и операционных систем, а только их параметры, проведение экспериментов в реальном масштабе времени для огромного количества всевозможных сочетаний этих параметров практичеки невозможно за обозримое время. Даже простое изменение максимального размера пакета в каком-либо протоколе требует переконфигурирования операционной системы в сотнях компьютеров сети, что требует от администратора сети проведения очень большой работы.

Поэтому, при оптимизации сетей во многих случаях предпочтительным оказывается использование математического моделирования. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий), определяющих процесс изменения состояния системы в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени.

Особым классом математических моделей являются имитационные модели. Такие модели представляют собой компьютерную программу, которая шаг за шагом воспроизводит события, происходящие в реальной системе. Применительно к вычислительным сетям их имитационные модели воспроизводят процессы генерации сообщений приложениями, разбиение сообщений на пакеты и кадры определенных протоколов, задержки, связанные с обработкой сообщений, пакетов и кадров внутри операционной системы, процесс получения доступа компьютером к разделяемой сетевой среде, процесс обработки поступающих пакетов маршрутизатором и т. д. При имитационном моделировании сети не требуется приобретать дорогостоящее оборудование — его работы имитируется программами, достаточно точно воспроизводящими все основные особенности и параметры такого оборудования.

Преимуществом имитационных моделей является возможность подмены процесса смены событий в исследуемой системе в реальном масштабе времени на ускоренный процесс смены событий в темпе работы программы. В результате за несколько минут можно воспроизвести работу сети в течение нескольких дней, что дает возможность оценить работу сети в широком диапазоне варьируемых параметров.

Результатом работы имитационной модели являются собранные в ходе наблюдения за протекающими событиями статистические данные о наиболее важных характеристиках сети: временах реакции, коэффициентах использования каналов и узлов, вероятности потерь пакетов и т. п.

Существуют специальные языки имитационного моделирования, которые облегчают процесс создания программной модели по сравнению с использованием универсальных языков программирования. Примерами языков имитационного моделирования могут служить такие языки, как SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Существуют также системы имитационного моделирования, которые ориентируются на узкий класс изучаемых систем и позволяют строить модели без программирования.

Математическая модель

Что такое математическая модель

Математическая модель — концепция представления реальности математическим способом, вариант схемы как комплекса, изучение которого позволяет человеку обрести знания о некой другой системе.

Простой пример: график зависимости среднесуточной температуры от времени.

Математическая модель также была создана для того, чтобы проанализировать и предугадать поведение материального объекта. Однако у математической модели есть проблема, от которой не избавиться — идеализация.

Математическое моделирование — процесс создания, а также приемы построения и исследования математических моделей.

Все науки, которые используют для решения своих задач математический аппарат, практикуют математическое моделирование. То есть, заменяют объект своего исследования математической моделью и занимаются исследованием последней.

При помощи совокупности математических методов можно описать образцовый объект или процесс, который построен на стадии содержательного моделирования.

Как осуществляется связь математической модели и реальности?

1. Эмпирические законы.
2. Гипотезы.
3. Идеализация.
4. Упрощения.

Самые важные математические модели всегда обладают качеством универсальности. То есть, совершенно разные феномены могут быть описаны одной математической моделью.

Однако стоит помнить, что модель — объект, она может иметь собственные качества и свойства, которые могут не относиться к реальному моделируемому объекту.

Часто математические модели представляют в виде:

1. Графика. Получить данные для решения задачи мы можем, посмотрев на данные графика.
2. Уравнения. Данные для решения задачи зашифрованы в виде уравнения, под буквами x и y.

Представим основные понятия, которые важны для изучения данной темы:

1. Реальный объект — исследуемый объект. Им может быть явление, система, либо процесс.
2. Модель — нематериальный или материальный объект исследования, который является заменителем настоящего процесса\явления\системы.
3. Моделирование — способ исследования предметов с помощью прототипов.

Виды математических моделей, классификация

Существует несколько классификаций математических моделей. Рассмотрим некоторые из них.

Формальная типология

Основа данной классификации — какие математические средства используются для создания модели. Для создания схем в формальной классификации часто используется прием дихотомии.

Дихотомия — раздвоение, разделение чего-то на две части. Например, графиков.

К известным типам дихотомии относятся:

Типология по методу представления объекта

В рамках данной классификации выделяют структурные и функциональные модели.

• Структурная модель показывает объект как комплекс с механизмом и устройством функционирования.
• Функциональные модели могут отражать поведение объекта, которое мы можем воспринимать внешне.

Эти парадигмы также имеют название «черные ящики».

Содержательные, а также формальные модели

Многие авторы, которые описывают процесс моделирования в математике, отмечают, что для начала нужно построить специальную образцовую конструкцию, так называемую содержательную модель.

В разных учебных изданиях идеальный объект называется по-разному. Встречаются такие примеры как умозрительная модель, концептуальная модель, а также предмодель.

Конечная математическая схема будет назваться формальной моделью (математическая модель). Она получается в результате представления предмодели с помощью формального языка.

Построить умозрительную модель можно с помощью уже готового набора идеализаций. Например, в механике существуют идеальные пружины, маятники, твердые тела и тд, которые представляют собой готовые заготовки для построения содержательной модели.

Однако есть научные области, в которых сложно построить содержательные модели, потому что в них нет полноценных формализованных доктрин. К таким дисциплинам относятся биология, физика, психология, экономика и многие другие).

Содержательная типология

В работах английского физика Рудольфа Эрнста Пайерлса можно найти некоторые типологии математических моделей, которые используются в физике и других естественных науках. Советские ученые Александр Горбань и Рэм Хлебопрос расширили классификацию Пайерлса. Данная типология акцентирует свое внимание на процессе выстраивания содержательной модели. Итак, существуют следующие типы математических моделей:

• Гипотеза. Это пробное описание феноменов, автор которых либо верит в возможность их существования, либо считает это явление истинным. Такой, по мнению Пайерлса, является макет Солнечной системы от Птолемея, атомная модель Резерфорда, прототип Большого взрыва.
• Феноменологическая модель. Этот тип содержит систему для описания феномена. Эта система обычно не особенно убедительна, не имеет достаточную аргументационную базу, плохо соотносится с существующими теориями. У феноменологических моделей временный статус. Ответ на вопрос феноменологической модели неизвестен, поэтому продолжается поиск истинных решений проблемы. К этому типу относятся макет теплорода.
• Приближение. Если возможно построение уравнения, которое могло бы описать систему, это не значит, что его можно найти решения уравнения с помощью компьютерных программ. К таким уравнения относятся модели линейного отклика. Просто пример приближения — закон Ома.
• Упрощение. В рамках данной модели убираются детали, которые могли бы повлиять на результат исследования (заметно и не контролируемо). Примером данного типа являются уравнения состояния Вандер-Ваальса, а также модели из физики жидкостей, твердого тела и т.д.
• Эвристическая модель. Данная модель сохраняет подобие реальности, метод «слепого поиска» (через ошибки и пробы). Примером данной модели может быть измерение средней длины свободного пробега в кинетической теории.
• Аналогия. Этот тип учитывает лишь некоторые особенности систем. Примером аналогии может быть исследование Гейзенберга о происхождении ядерных сил.
• Мысленный эксперимент. Основа данного типа — предположение не на практике, не в результате реального эксперимента, а в опровержении какой-либо возможности в теории. Мысленный эксперимент часто использовал в своей работе Эйнштейн. В результате одного из мысленных экспериментов была выведена специальная теория относительности.
• Демонстрация возможности. Основа данного типа — показать непротиворечивость возможности. Это своеобразные мысленные эксперименты, которые демонстрируют, что явление может согласоваться с базовыми теориями и непротиворечиво само по себе. Модель демонстрации возможности был использован для эксперимента геометрии Лобачевского.

Сложность моделируемой системы

Выделяются три уровня систем по сложности:

• простые физические;
• сложные физические;
• биологические системы.

Советский академик Александр Андронов выделил три типа неустойчивых моделей:

1. Неустойчивые к преобразованию начальных требований.
2. Неустойчивые к небольшим преобразованиям условий, которые не вызывают никаких изменений в числе степеней свободы системы.
3. Неустойчивые к небольшим преобразованиям условий, которые вызывают изменения в числе степеней свободы системы.

Неустойчивые модели называют негрубыми. Устойчивые модели — мягкие.

Какие еще бывают модели?

1. Игровые (игры).
2. Учебные (тренажеры).
3. Опытные (уменьшенные копии чего-то).
4. Исследовательские (для исследования процессов).
5. Имитационные (представляют явления реальности).

Это ряд прототипов, которые выделяются по принципу применения.

Также выделяют материальные и информационные модели. Натуральные — муляжи, макеты. А информационные — прототипы, которые заменяют реальность формально (то есть словесно, графически и т.д.).

Какие параметры нужны для построения математической модели

Рассмотрим принципы построения математических моделей:

1. Информационная достаточность. Невозможно построить схему без исследуемой информации. А при полноценном информационном обеспечении (когда все известно), построение не имеет никакого смысла. Поэтому для разработки математической модели важно иметь достаточное количество информации (не избыточное или недостаточное).
2. Осуществимость проекта. Схема обязана гарантировать достижение определенной цели исследования.
3. Множественность модели. Модель обязана отражать свойства реальных явлений, которые сказываются на эффективности исследования. Должны исследоваться лишь некоторые части реального объекта. Для полноценного исследования необходимо проанализировать некоторое множество (ряд) моделей.
4. Агрегирование. Создание в рамках большой и сложной системы несколько подсистем, которые могут помочь решить задачу, поставленную в исследовании.
5. Параметризация. Подсистема с определенным параметром выражается в числовой величине. Они не описывают процесс функционирования. Зависимость величины может быть задано таблицей, формулой, графиком. Служит для сокращения объема.

Также все математические модели должны отличаться следующими признаками адекватностью, конечностью, полнотой, упрощенностью, гибкостью.

Алгоритм составления, основные моменты

Для того чтобы составить математическую модель необходимо перевести данные задачи в вид математической формы. То есть переделать слова в формулу, уравнение и т.д. Необходимо установить математические связи между всеми условиями задачи.

Стоит помнить, что формула, уравнение математической модели должно полностью соответствовать тексту задачи, потому что иначе цель исследования изменится, а значит и задачу мы будем решать другую.

Представим алгоритм решения математической модели:

1. Определяем цель исследования.
2. Выделяем свойства системы.
3. Выбираем средства, с помощью которых будем исследовать систему.
4. Проводим исследование.
5. Анализируем получившиеся результаты.
6. Корректируем прототип.

Попробуем составить математическую модель на примере простой задачи:

Иван Федорович вернулся с охоты и показал своей семье добычу. Оказалось, что он принес 10 тушек зайцев, которые живут в тайге, 50 % всей добычи — из тундры, а из местного леса, где охотился Иван Федорович нет ни одного животного. Сколько всего дичи купил Иван Федорович в магазине «Мясо диких животных?».

Данный текст нужно представить в виде уравнения. Для этого необходимо установить математические связи между всеми условиями задачи.

1. Обращаем внимание на главные математические данные. 10 тушек и 50%.
2. Найдем скрытую информацию. Под 50% имеется в виду 50% от всего количества дичи.
3. Представим главный вопрос — сколько дичи — в виде X. То есть, X — количество всей дичи, что есть у Ивана Федоровича.
4. Процентное соотношение дичи из тундры нужно перевести в штуки, потому что в математических задачах важно все составлять в одинаковых значениях.
5. Число дичи из тундры невозможно посчитать в штуках, поэтому переводим в уравнение 50% = 0,5*X. Данное уравнение верно для вычисления количества дичи из тундры.
6. Какие данные у нас есть? 10 штук тушек зайцев из тайги, 0,5*X — дичи из тундры, а также X общее количество дичи.
7. То есть, общее количество дичи будет равно сумме дичи из тайги и дичи из тундры. То есть, уравнение X = 10 + 0,5X.
8. X = 10 + 0,5X — математическая модель.
9. Далее решаем линейное уравнение и получаем, что дичи всего 20 штук.
10. Ответ: 20.

Обобщение — для того, чтобы построить математическую модель, нужно выбросить всю ненужную информацию из задачи, оставить только нужное и заменяем на математический объект.

Общая характеристика математических моделей

Введем понятие математической модели технического объекта. Математическая модель представляет собой идеализированную схему технического объекта (или его составных частей), построенную путем отображения в ней наиболее существенных свойств и «элементарных» процессов с помощью комплекса математических зависимостей и логических соотношений.

Такая модель позволяет решать поставленные задачи обобщенно, обеспечивает краткость и четкость фиксации свойств и отношений объекта — оригинала, дает его знаковую интерпретацию.

Формирование математической модели осуществляется на основе выделенного комплекса параметров, а также различных уровней абстрагирования и упрощения реального технического объекта. Тем не менее, такая идеализированная модель позволяет получать довольно точные результаты. Это объясняется тем, что для определения основных характеристик исследуемого объекта при моделировании достаточно учесть относительно небольшое число определяющих параметров. Сложность, однако, состоит в том, что они должны быть правильно выбраны и между ними должны быть установлены объективные связи; необходимо также решать вопрос о полноте модели. При этом важно не столько знание математики, сколько глубокое понимание сущности поведения объекта-оригинала, где тесно переплетаются и знание теории, и опыт, и интуиция.

К настоящему времени установится общий порядок построения математических моделей, при котором сначала исходят из простых условий, а затем шаг за шагом по мере увеличения глубины анализа и накопления необходимой информации поднимаются по ступеням иерархической градации, переходя к постепенному усложнению моделей [18].

Качество получаемых моделей нельзя оценить ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов поведения реального объекта.

Любая математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее сторон — смысловой, аналитической и вычислительной.

Смысловая сторона модели или содержательное описание — представляет собой начальную стадию математической формализации. При этом производится определение границ исследуемого объекта, обобщаются сведения о физической природе протекающих в нем процессов и соответствующих количественных характеристиках, выделяется степень взаимодействия его элементов, выбираются управляемые переменные и критерии оптимальности, учитываются необходимые ограничения и принятые допущения.

Аналитическая сторона модели или математическое описание — является выражением содержательного описания на языке математики в виде некоторой системы уравнений связи. При этом вся совокупность используемых параметров представляется в абстрактных терминах, все качественные зависимости между ними переводятся в функциональные или иные соотношения, устанавливаются граничные и начальные условия.

Применяемый математический аппарат должен «вписываться» в моделируемый объект и достоверно отражать специфику его структурных и динамических особенностей. По своей форме математическое описание модели обычно состоит из зависимостей, отражающих общие физические законы: уравнений, описывающих «элементарные» процессы (например, движение материальной точки по поверхности рабочего органа машины); различных эмпирических и полуэмпирических соотношений, полученных в результате статистической обработки экспериментальных данных.

Примерный состав математического описания модели представлен на рис. 1.4.

Рисунок 1.4 — Состав математического описания модели

Вычислительный аспект математической модели — алгоритм решения с использованием компьютера — определяется как упорядоченная последовательность операций, которые надо выполнить над уравнениями связи, чтобы получить искомые результаты самым эффективным путем.

При разработке алгоритма должны быть

· установлены размерности всех используемых величин,

· определены допустимые границы, в которых будут изменяться параметры,

· и задана предельная ошибка вычислений.

Основными требованиями к математическим моделям являются универсальность, математическая строгость, точность и экономичность.

Универсальность математической модели определяется возможностью ее использования для различных технических объектов. В настоящее время получили широкое распространение так называемые модульные (блочные) модели, которые описываются известными физическими закономерностями. При разработке математической модели какого-либо конкретного технического объекта модульные модели соединяются между собой по принципу подчинения. Образующаяся многоуровневая цепочка моделей обладает рядом преимуществ, т.к. на каждом уровне решаются свои задачи, а на вышестоящие и нижестоящие уровни по уравнениям связи (каналам связи) передается минимальный объем информации.

Использование модульных моделей существенно сокращает затраты труда при моделировании технических объектов, позволяет применять унифицированные формы ввода в ЭВМ данных об их свойствах и систематизированные процедуры обработки полученных результатов.

Математическая строгость связана с качеством идеализации объекта оригинала. Под идеализацией понимается выделение основных и отбрасывание второстепенных (в условиях поставленной задачи) свойств и характеристик указанного объекта.

На практике идеализация осуществляется различными путями:

— переходом от распределенных параметров к сосредоточенным:

— сокращением числа независимых переменных;

— снижением размерности решаемой задачи (от трехмерной к двухмерной и одномерной):

— заменой переменных константами:

— изменением принимаемых ограничений;

— усреднением свойств по объему и направлению (идеальное перемешивание; гипотезы плоских сечений и т.п.).

В любом случае математическая строгость соответствует принятой степени идеализации.

Точность математической модели оценивается ее способностью отображать значения искомых параметров моделируемого объекта с ошибкой, не более заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов ЭВМ (машинного времени и памяти) на ее реализацию, а также количеством параметров, используемых в модели.

Требования по универсальности, математической строгости и экономичности моделей противоречивы. Необходимо иметь удачное компромиссное решение. По этой причине в каждом случае следует располагать не одной, а несколькими математическими моделями.

Математические модели отличаются одна от другой по назначению, структуре, степени детализации свойств моделируемого объекта, по способу получения. Поэтому их можно классифицировать по целому ряду признаков.

Так, по назначению выделяют модели функционирования и оптимизационные модели. В первом случае модели предназначены для выявления характерных зависимостей между параметрами технического объекта в процессе его функционирования. Во втором случае модели служат для определения наилучших, оптимальных значений регулируемых параметров.

Разделение моделей по признаку предсказуемости на вероятностные и детерминированные является наиболее фундаментальным элементом классификации.

Если в модели внешние воздействия и внутренние возмущения приниматься случайными, т.е. являются непредсказуемыми, то модель называют вероятностной. Ее решение формируется в виде распределения вероятностей.

Если же указанные воздействия и возмущения носят закономерный характер — а реакция на них предсказуема, то модель называют детерминированной. Ее решение формируется в виде числа.

В зависимости от того, входит время в качестве независимой переменной в математическое описание модели или нет. все модели принято разделять на динамические и статические.

В динамических моделях отображается инерционность исследуемых объектов. При этом значения выходных параметров в определенный момент времени зависят не только от значений остальных параметров, но и от предшествующих воздействий, т.е. от предыстории. Обычно интервал времени, относящийся к предыстории, является небольшим. Он называется «памятью» объекта и характеризует его запаздывание, т.е. последействие.

Если в модели последействие и текущее время не учитываются, то она называется статической.

Весьма существенно деление математических моделей на линейные и нелинейные. Модель называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции (наложения). При этом каждый выходной параметр связан линейной зависимостью с другими параметрами.

Модель является нелинейной, если реакция на два различных входных возмущения не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности, т.е. когда нарушается принцип суперпозиции.

Линейные модели значительно проще нелинейных. Поэтому их широко используют при моделировании. И хотя большинство процессов в технических объектах являются нелинейными, при моделировании их стремятся линеаризовать даже за счет некоторого снижения точности.

По способу получения математические модели подразделяются на 4 большие группы:

Аналитическая модель предполагает запись в виде результата аналитического решения исходных уравнений.

При разработке эмпирической математической модели предполагается использование экспериментальных данных, полученных при испытаниях объектов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта или системы при различных сочетаниях управляющих параметров. Переход к эмпирическим моделям предполагает заведомый отказ от аналитических методов исследования. Поэтому эмпирические модели более разнообразны и включают в себя различные по форме математические зависимости.

Стохастическим модели создаются с помощью понятий и методов теории случайных процессов. Модели временных рядов, необходимые для получения оптимального прогнозирования и регулирования, являются стохастическими.

Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитационной моделью.

К имитационному моделированию прибегают, когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. При этом временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.

Дата добавления: 2014-11-13 ; просмотров: 18 ; Нарушение авторских прав