Математическая уравнениям 3 i 4

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan(

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ

ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ

И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Учебное пособие для студентов

кандидат физико-математических наук, доцент

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета / сост.: – Воронежский госпедуниверситет, 2010. – 92 с.

Учебное пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме «Комплексные числа». Пособие делится на четыре части: комплексные числа в алгебраической форме, геометрическая интерпретация комплексных чисел, комплексные числа в тригонометрической форме, приложение теории комплексных чисел к решению кубических уравнений и уравнений 4-й степени. В заключение приводится краткий исторический обзор формирования понятия комплексного числа и действий над комплексными числами.

Предназначено для студентов физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

Теория комплексных чисел является составной частью курса «Высшая алгебра» в педагогических вузах и предполагает глубокое знание ее основ, а также методов и приемов, применяемых при решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания. Будущие учителя должны грамотно и непринужденно оперировать с основными понятиями, действиями и интерпретациями комплексных чисел, поскольку азы теории комплексных чисел являются частью учебной программы по математике для профильных классов. Это объясняется тем, что, будучи непосредственным обобщением понятия действительного числа, комплексное число является завершающим элементом в стройной и строгой логической
конструкции понятия числа.

Алгебраическая природа комплексного числа состоит в том, что комплексное число есть элемент алгебраического расширения С поля действительных чисел R , получаемого присоединением к полю R корня i многочлена f(x) = x2 + 1 . Получающееся таким путем поле С называется полем комплексных чисел.

Наиболее важное свойство комплексных чисел состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т. е. любой многочлен с коэффициентами из С разлагается на линейные множители. Иначе это свойство алгебраической замкнутости выражается в том, что любой многочлен степени n ≥ 1 с коэффициентами из С имеет в поле комплексных чисел по крайней мере один корень (теорема Даламбера – Гаусса).

Изучение теории комплексных чисел выполняет следующие образовательные функции.

1) Расширение математического кругозора и повышение математической культуры учащихся.

Наличие у комплексных чисел более тесной, нежели у других числовых множеств, связи с геометрией (в частности, с векторным исчислением) представляет широкие возможности, с одной стороны, применения алгебраических методов к решению геометрических
задач (задачи на построение ГМТ), а с другой стороны, наглядных геометрических интерпретаций различных алгебраических операций (действий с комплексными числами в тригонометрической форме).

2) Логическое завершения развития понятия числа.

3) Выделение из множества всех алгебраических уравнении лишь тех, которые решаются в радикалах, т. е. для которых существуют формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты.

Сюда относится решение уравнений 3-й степени (и сводящихся к ним уравнений 4-й степени), поскольку по теореме Абеля: «Ни для какого натурального числа нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения п-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов».

В первой главе пособия сначала вводится понятие комплексного числа в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, а также операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме; излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй главе изучается геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей главе рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Четвертая глава посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

Завершает пособие краткая историческая справка о возникновении понятия комплексного числа.

Особенностью изложения материала является форма в виде лекционных и практических занятий. Эта форма выбрана для удобства использования представленного материала как преподавателями, так и студентами. В конце каждой из первых трех глав приведены примерные варианты контрольных работ.

Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Занятие 1. Введение понятия комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Степени мнимой единицы

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для
решения линейных уравнений вида

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т. е. дробью.

Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

,

где а0, а1, . . . , аn — действительные числа. Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Обозначим этот корень через i. Таким образом, по определению

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов rее1 – действительный и imaginaire – мнимый, воображаемый). Название комплексное переводится как составное — по виду выражения z = a+bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ,
удовлетворяющий условию i= . Число а называется
действительной частью комплексного числа z=a+bi, а
число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

Комплексные числа вида z=a+0∙i=а являются
действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто
мнимыми.

Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. если выполняются равенства

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведение двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i можно найти, почленно умножая числа z1 и z2:

.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z1 ∙ z2 вида

.

Пример. Найдите сумму комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –3 – i.

Пример. Найдите произведение комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –1 – i .

Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел

Каковы бы ни были комплексные числа , справедливы следующие равенства.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

Проведем доказательство свойства 3 (остальные свойства доказываются аналогично).

Доказательство. Пусть , . Тогда поскольку а1 , b1 , a2 и b2 – действительные числа, для которых умножение коммутативно, получаем:

Кроме того, в множестве комплексных чисел есть «особые» элементы

0 = 0 + 0i и 1= l + 0i ,

которые обладают такими же свойствами, что и на множестве действительных чисел, а именно, для любого комплексного числа z = а + bi имеют место равенства:

8. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Доказательство. Пусть , и . Тогда по определению равенства и произведения двух комплексных чисел получаем систему уравнений :

Умножив уравнение (1) на а2 , а уравнение (2) на b2 и сложив полученные уравнения, приходим к системе :

Возможны два случая.

Тогда из уравнения (1)* следует, что b1b2 = 0.
a) Если b1 = 0 , а b2 ≠ 0, то z1 = a1 + b1i = 0.
б) Если b2 = 0 , а b1 ≠ 0 то из уравнения (2) следует, что a2b1 = 0 , значит, а2 = 0 , т. е. z2 = a2 + b2i = 0.

в) Если b1 = b2 = 0 , то z1 = 0 .

Тогда из уравнения (2)* следует, что, a22 + b22 = 0 , т. е. а2 = b2 = 0 , значит, z2 = 0.

10. Любому комплексному числу z=а+bi соответствует противоположное комплексное число (–z) такое, что z + (–z) = 0 .

11. Всякому комплексному числу z=а+bi, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z–1 такое, что z ∙ z–1 = 1 .

Доказательство. Условие z ≠ 0 равносильно условию а2 + b2 > 0 . Вычислим z–1.

.

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.

Для того чтобы найти разность двух комплексных чисел и , достаточно сложить число z1 с числом, противоположным числу z2 , т. е.

.

Пример. Вычислите z1 – z2 , если z1 = 5 – 2i ,

Для того чтобы разделить комплексное число на комплексное число , не равное нулю, достаточно умножить число z1 на число, обратное числу z2 , т. е.

Пример. Вычислите .

.

Степени мнимой единицы

Вычислим степени мнимой единицы i. Прежде всего, как и для действительных чисел, положим i0 = 1 . Тогда

i2 = –1 (по определению мнимой единицы);

Вообще, если натуральный показатель степени mпри делении на 4 дает в остатке r , т. е. если m = 4n+r , где n – натуральное число, то

;

Пример. Вычислите а) i233 ; b) i102; с) i67 ; d) i516.

Решение. а) i233 = i232 + 1 = i ;

Занятие 2. Операция сопряжения и ее свойства.

Модуль комплексного числа.

Извлечение корня квадратного из комплексного числа

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу, если

.

Пример. .

Свойства операции сопряжения

2. Для любого действительного числа а справедливо равенство .

3. Для любого действительного числа b справедливо равенство .

Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.

4. .

Доказательство. Пусть , . Тогда , . Поэтому

.

Доказательство. Пусть , . Тогда

С другой стороны,

.

Полученные одинаковые результаты доказывают справедливость свойства 5 .

Следствие из свойства 5. Для любого натурального числа n справедливо равенство

.

6. .

Справедливость данного равенства следует из равенства и свойства 5: .

7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

.

Модулем комплексного числа z = а + bi называется действительное число вида

.

Непосредственно из свойства 7 следует, что

.

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число является корнем уравнения

(1)

с действительными коэффициентами а0, a1 , . . . , аn , то число также является корнем уравнения (1) .

Доказательство. По определению корня имеем :

;

(2)

Применим к обеим частям равенства (2) операцию сопряжения. Из свойств операции сопряжения следует, что

так как все коэффициенты ai — действительные числа (по условию). Кроме того,

; .

.

Последнее равенство означает, что число z = а – bi является корнем уравнения (1) .

Пример. Зная, что корнем уравнения

является число z1 = 2 + i , найти все корни данного уравнения.

Решение. Поскольку все коэффициенты уравнения (3) – действительные числа, то на основании теоремы 8 делаем вывод, что число z2 = 2 – i также является корнем уравнения (3).

Пусть z3 – неизвестный корень уравнения (3), тогда

Разделив обе части последнего равенства на х2 – 4х + 5 , получим

Следовательно, z3 = 3 .

Найдем значение корня квадратного из числа z=а+bi . Пусть

,

где х и у — неизвестные действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:

.

Последнее уравнение равносильно системе уравнений

Возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим полученные равенства. Решим систему:

Из второго уравнения последней системы находим

,

где в правой части равенства следует иметь в виду арифметический корень, так как сумма х2+у2 неотрицательна. Учитывая, кроме того, что х2 –­­ у2 = а , получаем:

.

Так как , то оба полученные числа положительны. Извлекая из них квадратные корни, получим действительные значения для х и у :

.

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения и равносильны. Их корни совпадают: или

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену Тогда

С новой переменной уравнение стало проще:

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

Корни этого уравнения: или

Вернемся к переменной

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если , то Получим квадратное уравнение для :

У этого уравнения два корня: или Это ответ.

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки

Сделаем замену , тогда .

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

И еще одна замена: .

Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что

Если , то нет решений.

Если , то Тогда или

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение

Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

Получили квадратное уравнение:

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись читается как « или или ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

6. Решите уравнение

А если сделать замену ?

Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!

Если , то , нет решений.

7. Решите уравнение

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.