Математический анализ понятия квадратного уравнения

Методика введения определения понятия квадратного уравнения

Разделы: Математика

Предложенный урок разработан на основе системы развивающего обучения. Вашему вниманию на примере введения определения квадратного уравнения наглядно представлена реализация всех восьми основных этапов урока, направленного не только на усвоение нового материала, но и на его понимание и осознание.

После каждого вопроса или задания учителя в скобках представлены правильные ответы и решения, ожидаемые от учащихся.

Математический анализ определения понятия квадратного уравнения.

Определение.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах+вх+с=0, где х — неизвестное, а, в, с — действительные числа, где: а0.

Родовое понятие — уравнение.

Видовые отличия:

1) имеет вид ах+вх+с=0

(х — неизвестное; а, в, с — действительные числа);

2) а0.

Определение имеет конъюнктивную структуру, так как видовые отличия разделены запятой (что равносильно союзу «и»).

Смысл определения: знание определения квадратного уравнения необходимо при решении некоторых сюжетных задач, при решении квадратных неравенств и их систем, к тому же многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией, при исследовании которой нужно знание определения квадратного уравнения.

Происхождение: понятие квадратного уравнения связано с понятием квадрата числа и с понятием квадратного корня.

Ход урока

Этап актуализации знаний.

Учитель предлагает классу решить следующую задачу:

Конверт с новогодней открыткой стоит 17 рублей. Конверт дешевле открытки на 5 рублей. Найти стоимость открытки.

Решение:

Пусть х рублей — стоимость открытки, тогда (х-5) рублей — стоимость конверта. Составим и решим уравнение:

Ответ: открытка стоит 11 рублей.

— Как вы решали эту задачу?

(Исходя из условия задачи, мы составили и решили уравнение)

— А что называется уравнением?

(Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой)

— Как называется уравнение, которое вы составили при решении данной задачи?

(Это линейное уравнение).

Этап мотивации учащихся.

Учитель предлагает классу решить еще одну задачу:

Найдите два последовательных натуральных числа, квадрат суммы которых больше суммы их квадратов на 112.

Ребята решают указанную задачу в парах (в группах):

пусть х — одно из искомых натуральных чисел, тогда (х+1) — другое искомое натуральное число. Исходя из условий задачи, запишем уравнение

(х+(х+1)) — 112 = х+ (х+1).

Преобразовав полученное выражение, ученики придут к уравнению

х+ х — 56 = 0.

На этом этапе у детей возникает затруднение, поскольку с уравнениями подобного вида они еще не встречались.

Этап постановки учебной задачи.

— Итак, с подобными уравнениями мы еще не знакомы. Какая же перед нами возникает задача?

(Дать определение этому уравнению и в дальнейшем изучить его свойства).

Этап планирования изучения и преобразования условий поставленной задачи.

— Что значит дать определение понятия?

1) дать название этому объекту (или ввести новый термин),
2) указать ближайшее родовое понятие,
3) выделить его свойства,
4) составить модель понятия).

План записывается на доске.

Этап моделирования.

— Давайте ответим на поставленные вопросы. Как вы предлагаете назвать такое выражение (х + х — 56 = 0)?

(Дети, очевидно смогут определить данное выражение как квадратное уравнение, поскольку они уже знакомы с понятиями уравнения и линейного уравнения. Если же этого не произойдет, то новый термин должен ввести учитель).

— Ну а на второй вопрос мы с вами уже ответили. Какое же у данного объекта (в смысле у квадратного уравнения) ближайшее родовое понятие?

— А теперь попытайтесь в парах составить модель квадратного уравнения. Иными словами: запишите квадратное уравнение в общем виде.

Возможно, ученики предложат следующие модели:

х + х + с = 0 (1)
х + вх + с = 0 (2)
ах + вх + с = 0 (3)
. . .

Этап преобразования модели.

Все модели, полученные учениками, выписываются на доску.

— А теперь давайте обсудим результаты вашей работы. Обратимся к (1) модели. Пусть тот, кто составил эту модель, объяснит нам ход своих рассуждений.

(Ученик, скорее всего, сошлется на задачу, которую им предложил учитель на этапе мотивации: эта задача свелась к уравнению вида х + х — 56 = 0).

Тогда учитель запишет на доске: 5х — 4х — 56 = 0.

(Это квадратное уравнение).

— Подходит ли к нему предложенная модель?

Таким образом, ученики приходят к правильной модели (3): ах + вх + с = 0.

— Ответьте на вопрос: чем характеризуется любое уравнение?

(В любом уравнении есть неизвестное число, обозначенное буквой).

— Что в нашей модели играет роль неизвестного?

— А что такое а, в и с?

— Может ли быть такое: а=0?

(Нет, так как уравнение при а=0 не будет квадратным).

— Подведем итог. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

(Квадратным уравнением называется уравнение вида ах + вх + с = 0 , где а, в и с — заданные числа, а0, х — неизвестное)

На доске и у учеников в тетрадях появляются следующие записи:

1. ах + вх + с = 0
УРАВНЕНИЕ	(х — неизвестное)	— КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.
2. а0

— Теперь давайте запишем тему урока.

Учитель на доске, а ученики в тетрадях записывают тему урока «Понятие квадратного уравнения».

№1. Какие из следующих уравнений являются квадратными:

а) 17 — 4х + 5х = 0,
б) 17х + 24 = 0,
в) 3х + 4 = 0,
г) х — х = 0,
д) 26 — 13х = 0.

№2. Сможете ли вы записать квадратное уравнение, если его коэффициенты таковы:

Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель подводит итоги урока, выслушав ответы учащихся на следующие вопросы.

— Повторите определение квадратного уравнения.

— Зачем мы ввели понятие квадратного уравнения?

— Что бы вы хотели еще узнать о квадратном уравнении?

Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения»
консультация по алгебре (8 класс) на тему

Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Логико-дидактический анализ содержания темы

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Тема «Квадратные уравнения» изучается во втором полугодии 8 класса. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач. Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, терему Виета и обратную ей; какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение – это математический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных областей знаний, практики.

В изучение этой темы включены:

1. Основные понятия (определение квадратного уравнения полного (приведённого), неполного квадратного уравнения).
2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений
3. Формула корней квадратного уравнения
4. Решение задач с помощью квадратных уравнений
5. Теорема Виета
6. Решение дробных рациональных уравнений
7. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Весь курс по теме «Квадратные уравнения» строится в систематическом порядке. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным решением, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каждой теме для запоминания и материал, который важно знать.

Ожидаемые результаты – ученики должны уметь распознавать квадратные уравнения и виды квадратных уравнений, проводить исследование на предмет количества корней квадратного уравнения по дискриминанту и коэффициентам, применять формулы корней для решения квадратных уравнений. Проводить доказательные рассуждения о корнях уравнения с опорой на определение корня, функциональные свойства выражений.

Решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним; решать дробно-рациональные уравнения. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

2. Логико-дидактический анализ материала темы

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Квадратные уравнения»

Компоненты анализа учебника

Алгебра 8 (часть 1 учебник, часть 2 задачник)

материал в учебнике по данной теме представлен в четвертой главе в § 24, 25, 26, 27.

упражнения в задачнике по данной теме представлены в четвертой главе в § 24, 25, 26, 27.

структура наименьшей части

Представление задачного материала

Задачный материал разбит на следующие основные блоки в соответствии с теоретическим материалом

1. Отработка основных понятий связанных с квадратными уравнениями;
2. Неполные квадратные уравнения
3. Полные квадратные уравнения (Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле)
4. Рациональные уравнения (Алгоритм решения рационального уравнения; решение рациональных уравнений методом введения новой переменной; биквадратные уравнения)
5. Текстовые задачи решаемые с помощь рациональных уравнений.

представление текста задачи

Во всех параграфах упражнения сгруппированы по двум блокам. Первый – до черты – содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания среднего уровня сложности (слева от номеров таких заданий поставлен значок «○»). Второй блок – после черты – содержит задания уровнем выше среднего и задания повышенной сложности (слева от номеров таких заданий поставлен значок «●»).

Другие структурные особенности

При изложении материала используются: Определения, теоремы, подробно разобраны примеры, замечания по решению примеров и задач, алгоритмы решения уравнений, вопросы для самопроверки, в конце каждой главы прописаны основные результаты и темы исследовательских работ.

Теоретический материал рассматривается в первой части комплекта учебнике. Стиль изложения доступный, во многом расцвеченный непривычными для математической лексики оборотами. В то же время выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на них. Практические задания представлены во второй части комплекта задачнике. В конце каждой главы домашняя контрольная работы.

использование цвета, особых выделений главного

В учебнике используются на полях значки-символы. Цель введения символов состоит в том, чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал, побудить учителей к воспитанию у школьников навыков быстрой ориентации в изучаемом материале, помочь родителям правильно проконтролировать знания детей. Материал для запоминания выделен жирным шрифтом.

Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического и задачного материала.

Задачи на повторение расположены только в конце учебника. Хорошая подборка задач на повторение.

Доступно излагается теоретический материал. Много заданий на отработку материала.

Материал представлен в двух книгах.

Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

– в теме представлены понятия: Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

В начале темы приводятся примеры решения неполных квадратных уравнений. Этот материал систематизируется. Рассматриваются алгоритмы решения неполных квадратных уравнений различного вида.

Основное внимание следует уделить решению уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.

Учащиеся овладевают способом решения дробных рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких уравнений сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

Изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

– алгоритмов в теме «Квадратные уравнения»:

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений;
2. Алгоритм решения уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней ;
3. Алгоритм решения рациональных уравнений.

Обязательные результаты обучения теме:

– Знать : Определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Зависимость количества корней от знака дискриминанта. Формула корней квадратного уравнения. Формула коней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

– Уметь : Умение решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

3. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Результаты анализа задачного материала темы

Методика введения понятия «Квадратное уравнение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Домашняя контрольная работа №1 по методике обучению математике. Выполнил студент группы ПОМО132 Куликов Александр. Вариант – 9

Цель данной работы: разработать методику работы с таким математическим понятием как квадратное уравнение.

Для написания данной работы мною был выбран учебник Алгебра – 8. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова. Год издания – 2010.

В данном учебнике определение выглядит следующим образом:

Проведём логико – математический анализ. Определение выглядит следующим образом:

– объект x является квадратным уравнением

– тогда и только тогда, когда

– объект x принадлежит множеству уравнений

Термин – квадратное уравнение

Видовые отличия — имеет вид вида выполняется условие .

Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение», нужно знать, что такое уравнение, что означает решить уравнение, что такое одночлен и многочлен.

Уравнением называется равенство, содержащую неизвестную переменную. Решить уравнение – значит найти такие значения переменной, при которой равенство обращается в верное выражение. Одночленом называется произведение, состоящее из чисел, переменных и их степеней. Многочленом называется сумма одночленов.

Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение» нужно уметь вычислять арифметические квадратные корни, квадратные корни из произведения и дроби, выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня, решать линейные уравнения.

Найти значение выражения

Этап введения определения

Рассмотрим с вами уравнения . Каждое из этих уравнений имеет вид , . В первом уравнение ; во втором уравнении ; в третьем .

Зададимся вопросом: а может ли быть равным 0? Рассмотрим вид уравнений . Если , то получим уравнение вида , а из курса 7-ого класса мы знаем, что уравнение полученного вида называется линейным. Следовательно, не может быть равным 0.

Рассмотрев примеры и получив ответ на наш вопрос, мы можем составить определение квадратного уравнения:

Поработаем с нашим определением. Числа называются коэффициентами квадратного уравнениями, где

– первый коэффициент (чисто, стоящее перед )

– второй коэффициент (число, стоящее перед )

– свободный член (число, не имеющее переменных).

Почему уравнение называется квадратным? Потому что в каждом уравнении вида , где наибольшая степень переменной – квадрат.

Заметим, что квадратным назовём уравнение второй степени, если одна из частей уравнений есть многочлен второй степени.

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого .

Неполным называется квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов равен нулю. Неполные квадратые уравнения бывают трёх видов:

Этап усвоения определения

На этом этапе закрепим полученные знаний. Выполним следующие задания

Являются ли квадратным следующие уравнения? Если являются таковыми, то определите коэффициенты .

Какие из данных уравнений являются неполными?

Составьте квадратные уравнения, если известны коэффициенты

Какие из данных уравнений являются неполными? приведёнными?

Этап закрепления понятия

Данное понятие имеет широкий спектр применения:

решение квадратных уравнений и задач и помощью квадратных уравнений

решение дробно-рациональных уравнений

определение квадратичной функции, её свойства и график

разложение квадратного трёхчлена

решение квадратных неравенств, биквадратных уравнений и т.д.

Задание №1. Вывести формулы корней неполного квадратного уравнения

Задание №2. Решите уравнения

Задание №3. Найдите корни уравнений

Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле , где t (с) – время, , s (м) – пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 метров?

Из условия задачи получаем → → → . По смыслу задачи → .

Ответ: 4 секунды.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 521 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 12.06.2016
• 626
• 0

• 12.06.2016
• 6689
• 48

• 12.06.2016
• 8690
• 83

• 12.06.2016
• 3735
• 11

• 12.06.2016
• 1015
• 2

• 12.06.2016
• 1163
• 5

• 12.06.2016
• 1532
• 13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.06.2016 2446
• DOCX 37.8 кбайт
• 31 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Куликов Александр Юрьевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 25
• Всего просмотров: 84001
• Всего материалов: 41

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.