Математический маятник уравнение движения маятника

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=\frac<2g>$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87\ \frac<м><с^2>$

Математический маятник — определение, формулы и принцип действия

Простая гравитация

Так называемый простой маятник — это всего лишь идеализированная математическая модель. Это груз на конце безмассового шнура, подвешенного на оси без трения. Если его толкнуть, он будет раскачиваться с постоянной амплитудой, но с некоторыми условиями:

1. Стержень или нить, на котором качается отвес, не имеет массы и не может растягиваться.
2. Груз — это точечная масса.
3. Движение происходит только в двух измерениях, то есть отвес не может очертить эллипс, а только дугу.
4. Энергия движения не расходуется на трение или сопротивление воздуха.
5. Гравитационное поле однородно.
6. Поддержка всей конструкции не двигается.

Дифференциальное уравнение, которое представляет движение простого маятника, выглядит следующим образом (где g — ускорение силы тяжести, ℓ — длина маятника, θ — угловое смещение): d² / dt² + g / ℓ sin θ = 0.

На графике 1 показаны силы, действующие на отвес. Стоит обратить внимание, что груз описывает дугу. Угол θ измеряется в радианах, и это имеет решающее значение для этой формулы. Синяя стрелка — гравитационная сила, которая действует на маятник, а фиолетовые векторы — это та же самая сила, только разложенная на компоненты, параллельные и перпендикулярные мгновенному движению груза.

Направление мгновенной скорости всегда указывается вдоль красной оси, которая считается тангенциальной, поскольку её направление всегда касается окружности. И прежде чем вывести уравнение силы деривации, стоит вспомнить второй закон Ньютона: F = ma. За F принимают сумму сил, действующих на объект, m — масса, a — ускорение.

Поскольку интерес составляет только измерение скорости, а груз вынужден оставаться на круговой траектории, уравнение Ньютона применяется только к тангенциальной оси. Короткая фиолетовая стрелка представляет компонент гравитационной силы, используя тригонометрию можно определить её величину. Таким образом, получается (g — ускорение силы тяжести вблизи поверхности земли): F = — mg sin θ = ma; a = — g sin θ.

Отрицательный знак на правой стороне означает, что θ и отвес всегда указываются в противоположных направлениях. Это вполне логично, поскольку когда маятник качается сильнее влево, ожидается, что он ускорится при движении назад — вправо. Это линейное ускорение, a вдоль красной оси может быть связано с изменением угла θ по формулам длины дуги (s): s = ℓθ; v = ds / dt = ℓdθ / dt; a = d²s / dt² = ℓd²θ / dt². Из этого следует: ℓd²θ/dt² = — gsin θ, d²θ / dt² + d / ℓ sin θ = 0.

Крутящий момент

Для начала нужно определить этот показатель на маятниковом шарнире, используя силу, вызванную гравитацией (Fg): T = ℓ x Fg, где ℓ — векторы длины маятника.

Здесь самое время рассмотреть величину крутящего момента на маятнике: |T| = — mgℓ sinθ, где m — масса, g — ускорение силы тяжести, ℓ — длина, а θ — угол между вектором длины и гравитацией. Далее, самое время переписать момент импульса: L = r x p = mr x (ꞷ x r).

Просто величина углового момента и его производная по времени: |L| = mr² w = mℓ² d²θ / dt². ​Формула крутящего момента после всех вычислений будет выглядеть следующим образом: T = r x F = dL / dt.

Сохранение механической энергии

Такое уравнение можно получить с помощью одноимённого принципа. Формулируется он так: любой объект, падающий на вертикальное расстояние h, получит кинетическую энергию, равную той, которую потерял при падении. Изменение потенциальной энергии выражается: Δ U = mgh, тогда как кинетическая (отвес начал движение с покоя) представлена формулой: Δ K = 1/2 mu².

Поскольку, как известно, никакая энергия не теряется, выигрыш в одном должен быть равен потере в другом: 1/2 mu² = mgh.

Колебательные движения

Период колебаний математического маятника (простого гравитационного) зависит от его длины, локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла, от которого отвес отклоняется от вертикали θ 0, называемого амплитудой.

Он не зависит от массы груза. Если амплитуда ограничена малыми колебаниями, то на период T, время, необходимое для полного цикла является: T≈ 2 π √ L/g. При этом L — длина маятника, а g — местное ускорение гравитации.

Нужно сказать, что для небольших колебаний период не зависит от амплитуды. Такое свойство называется изохронизмом, именно оно стало причиной того, что маятники используются для хронометража. Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое количество времени. Для большого размаха свойственно увеличение периода с каждым раскачиванием, поэтому он длиннее, чем задано уравнением, отражающим частоту колебаний математического маятника.

Период возрастает до бесконечности как только θ 0 приближается к 180°, так как это значение является нестабильной точкой равновесия для маятника. Истинный период может быть записан в нескольких различных формах, например, бесконечный ряд: T = 2 π √ L/g )1+ 1/16 θ²/º + 11/3072 θ ⁴/º + . ). Разница между истинным и периодом небольших колебаний называется круговой ошибкой. В случае с типичными напольными часами, у которых маятник имеет размах 6° и, следовательно, амплитуду 3° (0,05 радиана), разница составит около 15 секунд в день.

Формула математического маятника, при малых колебаниях, когда он приближается к гармоническому осциллятору, и его движение, как функция времени t, находит выражение следующим образом: θ(t) = θₒ cos (2 π / T * t + ⱷ). Где фи (ⱷ) — постоянная величина, зависящая от начальных условий. Для маятников этот период незначительно меняется в зависимости от некоторых факторов, например:

• плавучесть и вязкостное сопротивление воздуха;
• масса нити или стержня;
• размер и форма отвеса и способы его прикрепления к шнуру;
• гибкость и растяжение нити.

Если необходимы точные расчёты, конечно, все эти поправки должны учитываться.

Составной маятник

Другое название — физический, представляет собой любое качающееся твёрдое тело, свободно вращающееся вокруг фиксированной горизонтальной оси. Соответствующая эквивалентная длина — L, а для расчёта времени используется расстояние от оси до центра колебаний. Эта точка расположена над центром массы на расстоянии от оси, традиционно называемым радиусом колебаний, который зависит от распределения веса груза.

Христиан Гюйгенс в 1673 году доказал, что точка вращения и центр колебаний взаимозаменяемы. Это означает, если какой-либо маятник перевёрнут и ротирован от оси, расположенной в его предыдущем центре колебаний, он будет иметь тот же период, что и раньше, и новый центр будет находиться в старой точке вращения.

В 1817 году Генри Кэтер использовал эту идею для создания обратимого маятника, теперь известного под именем создателя, для улучшения измерений ускорения под действием силы тяжести.

Историческая хроника

Одним из самых ранних известных применений маятника было устройство сейсмометра (I века) китайского учёного династии Хань Чжан Хэна. Его функция состояла в том, чтобы раскачивать и активировать один из серии рычагов после того, как он был нарушен тремором землетрясения, которое происходило далеко от места измерения. Освобождённый рычагом, маленький шарик выпадал из устройства в форме урны в одну из восьми горловин металлической жабы внизу, в восьми точках компаса, что указывало направление землетрясения.

Многие источники утверждают, что египетский астроном X века Ибн Юнус использовал маятник для измерения времени, но это была ошибка, возникшая в 1684 году с британским историком Эдвардом Бернардом.

В эпоху Возрождения большие маятники с ручной накачкой использовались в качестве источников энергии для ручных поршневых машин, таких как пилы, сильфоны и насосы. Леонардо Давинчи сделал много рисунков движения маятников, хотя и не осознавал его значения для хронометража.

Исследования Галилея

Итальянский учёный Галилео Галилей был первым, кто начал изучать свойства маятников, начиная примерно с 1602 года. Самый ранний существующий отчёт о его исследованиях содержится в письме Гвидо Убальдо дель Монте из Падуи от 29 ноября 1602 года. Его биограф и ученик, Винченцо Вивиани, утверждал, что его интерес был вызван около 1582 года, когда физик раскачивал люстры в соборе Пизы.

Галилей обнаружил важнейшее свойство, которое делает маятники полезными в качестве хронометриста, называемое изохронизмом; период маятника приблизительно не зависит от амплитуды или ширины качания. Он также обнаружил, что период не зависит от массы отвеса и пропорционален квадратному корню из длины всей конструкции. Сначала он использовал маятники свободного вращения в простых приложениях синхронизации.

Его друг — врач Санторио Санторий, используя наработки Галилея, изобрёл прибор, который измерял пульс пациента. В 1641 году Галилео задумал и продиктовал своему сыну Винченцо конструкцию маятниковых часов. Тот начал строительство, но не завершил его, поскольку умер в 1649 году. Так, появился первый гармонический осциллятор, использованный человеком.

Маятниковые часы

Первый образец построил в 1656 году голландский учёный Христиан Гюйгенс. Это было значительное улучшение по сравнению с существующими механическими часами. Их точность была улучшена с отклонений от 15 минут до 15 секунд в день. Маятники распространились по Европе, так как все существующие часы стали модифицироваться.

Английский учёный Роберт Гук изучил конический маятник (около 1666), который мог свободно колебаться в двух измерениях, а груз вращаться по кругу или эллипсу. Он использовал движение этого устройства в качестве модели для анализа орбитального движения планет. Гук предложил Исааку Ньютону в 1679 году свои наработки.

Он утверждал, что составляющие орбитального движения состояли из инерционного движения по касательному направлению и привлекательного движения в радиальном направлении. Это сыграло свою роль в формулировке Ньютоном закона всемирного тяготения. Роберт Гук также был ответственным за то, что ещё в 1666 году предположил, что маятник можно использовать для измерения силы тяжести.

Во время своей экспедиции в Кайенна (Французская Гвиана) в 1671, Жан Рише обнаружил, что там часы с маятником шли на 2,5 минуты медленнее, чем в Париже. Из этого он сделал вывод, что сила гравитации была ниже в Кайенне. В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это произошло потому, что Земля была не настоящей сферой, а слегка сплюснутой (сплющенной на полюсах) от действия центробежной силы из-за её вращения, это и вызывает увеличение силы гравитации.

Портативные маятники стали совершать рейсы в дальние страны, в качестве прецизионных гравиметров для измерения ускорения свободного падения в разных точках Земли, что в итоге привело к определению точной модели формы планеты. Затем последовало превращение исследований и выводов учёных в новые классы приборов, с дополнительными параметрами. Например:

• 1721 г. — маятник с температурной компенсацией;
• 1851 г. — маятник Фуко.

В 1930 году решение задачи по точному хронометражу было найдено, в 1921 был изобретён кварцевый генератор.

Период колебаний математического маятника

Математический маятник — что это такое

Маятник — твердое тело, которое совершает под действием приложенных сил механические колебания около неподвижной точки или оси.

Простейший маятник состоит из небольшого груза массой m, подвешенного на невесомой нити или тонком стержне длиной l и совершающего колебания под воздействием земного притяжения. Если нить считать нерастяжимой, размер груза незначительным по сравнению с длиной нити, а массу нити незначительной по сравнению с массой груза, то груз можно считать материальной точкой массой m, находящейся на постоянном расстоянии l от точки подвеса. Такой маятник называют математическим.

Определение модели системы

Математические модели динамических систем часто используют для анализа самых разных технических, социально-экономических, естественнонаучных систем, в которых происходят циклические процессы.
Существуют различные классификации динамических процессов. Одна из них изображена на схеме:

Маятник Фуко

Маятник Фуко — подвес, плоскость колебаний которого со временем изменяется. Он был создан для экспериментальной демонстрации суточного вращения Земли. Впервые опыт, доказывающий, что Земля вращается, был проведен французским ученым Жаном Фуко в 1851 году в Парижской обсерватории. Маятник имел вид металлического шара массой 28 кг, подвешенного на нити длиной 67 м. Период его колебаний составлял 16,4 с.
Наблюдая за его колебаниями, можно было заметить, что плоскость, в которой они происходят, медленно поворачивается, причем в разных местах земного шара с различной скоростью. Она минимальна, т. е. равна нулю, на экваторе планеты, а максимальна — на ее полюсах.
Если мы обозначим период вращения Земли вокруг ее оси Т, а географическую широту местности — φ , тогда время t, за которое плоскость колебаний маятника совершает полный оборот, окажется равно

Отсюда следует, что если бы Земля не вращалась, данного эффекта просто не существовало бы. Это обстоятельство указывает на то, что причиной неинерциальности земной системы отсчета является вращение планеты.

Центробежное ускорение на экваторе равно 0 , 034 м / с 2 . По сравнению с экваториальным ускорением свободного падения g = 9 , 78 м / с 2 это величина малая, но она заметно влияет на изменение веса тела на экваторе по сравнению с его весом на полюсе. Если, например, взвешивать на пружинных весах тело массой 10 кг, то уменьшение веса на экваторе за счет действия центробежной силы составит около 35 г.

Период колебаний математического маятника

Период колебаний — время, за которое происходит одно полное колебание. В СИ измеряется в секундах.

Чему равен, от чего зависит частота

Если за время t совершается N колебаний, то период, обозначаемый буквой T, равен

где v — частота колебаний. Она обратно пропорциональна периоду.
Колебания можно изобразить в виде графика:

Источник: physik.ucoz.ru.
Период колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле

g — ускорение свободного падения. Не зависит от амплитуды колебаний и массы груза.

Циклическая частота — число колебаний, которые система совершает за 2 π секунды. Также циклическую частоту называют угловой, круговой или радиальной. Кратко ее записывают греческой буквой ω . Она позволяет упростить расчеты с использованием радианов, так как при ее введении сокращаются множители 2 π .

В случае математического маятника она определяется длиной подвеса и ускорением свободного падения:

Для физического маятника в уравнение добавляются инерция и масса подвеса:

Для пружинного маятника частоту определяет жесткость пружины k:

Уравнения движения и их решение, формулы с примерами

Математический маятник — это материальная точка, имеющая массу m и подвешенная на нити с неизменяемой длиной l. Покидая положение равновесия, подвес совершает колебательные движения по дуге.

Источник: osu.ru.
Угловое ускорение ε — вторая производная от угла поворота α , вращающий момент относительно точки А создает только сила тяжести:

M = — m g × l sin α .

Угол отклонения мал, поэтому мы учитываем только то, что он отрицателен. Синус угла α считаем приблизительно равным α . Тогда:

m l 2 × α ‘ ‘ = — m g l α ;

Это дает нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Из уравнения следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия маятник будет колебаться с периодом

T = 2 π ω = 2 π l g .

Все кинематические характеристики движения меняются по гармоническим законам, т. е. по закону синуса или косинуса. Рассмотрим, от чего зависят константы амплитуды А и начальной фазы движения φ 0 .
Амплитуда колебаний определяется энергией, переданной маятнику при отклонении от положения равновесия. В случае пружинного маятника в крайнем положении скорость груза и кинетическая энергия равны нулю, полная энергия состоит только из потенциальной энергии:

E п о л н а я = k A 2 2 .

Из этого следует, что

А = 2 E п о л н а я k .

Начальная фаза зависит от того, как маятник вывели из положения равновесия. Рассмотрим ситуацию, в которой маятник отклонили от положения равновесия на расстояние А и отпустили без начальной скорости. Запишем уравнение движения колеблющегося тела с учетом того факта, что в начальный момент координата тела будет равна А:

x = A × cos ω t + φ 0 ;

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = А ⇒ cos φ 0 = 1 ⇒ φ 0 = 1 .

Уравнение движения маятника:

Если маятник толкнули, когда он находился в положении равновесия, начальная координата колеблющейся точки будет равна нулю:

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = 0 ⇒ cos φ 0 = 0 ⇒ φ 0 = ± π 2 .

Будет ли начальная координата положительной или отрицательной, определяет выбор положительного направления оси. Если направление оси совпадет с направлением начальной скорости, то в уравнении движения будет знак «плюс», если не совпадет — знак «минус».

Уравнение движения маятника:

x ( 0 ) = A × cos ω t ± π 2 = ± A × sin ω t .

Рассмотрим задачи, для которых требуется составлять и решать уравнения движения.

Необходимо определить амплитуду и частоту колебаний точки, если известно, что при смещении точки от положения равновесия на 5 см ее скорость равна 6 см/с, а при смещении на 3 см — 10 см/с.

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ‘ = — A ω × sin ω t + φ 0

Исключаем время из системы:

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ‘ = — A ω × sin ω t + φ 0 ⇒ x = A × cos ω t + φ 0 v x ω = — A × sin ω t + φ 0 ⇒ x 2 = A 2 × cos 2 ω t + φ 0 v 2 ω 2 = A 2 × sin 2 ω t + φ 0

x 2 + v 2 ω 2 = А 2 .

x 2 А 2 + v 2 v 2 m a x = 1 .

x 1 2 + v 1 2 ω 2 = А 2 x 2 2 + v 2 2 ω 2 = А 2

Преобразовав выражения и подставив значения, данные в условиях задачи, получаем:

ω = v 2 2 — v 1 2 x 1 2 — x 2 2 = 2 c — 1 ;

A = x 1 2 v 2 2 — x 2 2 v 1 2 v 1 2 — v 2 2 ≈ 5 , 57 с м ;

v = ω 2 π ≈ 0 , 32 Г ц .

Необходимо вычислить циклическую частоту колебаний точки, если известно, что при скорости 13 см/с ускорение равнялось 6 с м / с 2 , а при уменьшении скорости до 12 см/с произошло увеличение ускорения до 10 с м / с 2 .

Решение:
Координата точки меняется по закону

Запишем уравнения скорости и ускорения точки:

v x = — A × ω × sin ω t a x = — A × ω 2 × cos ω t ⇒ v x A ω = — sin ω t a x A ω 2 = — cos ω t ⇒ v 2 ω 2 + a 2 ω 4 = A 2 .

Преобразуем уравнение, исключив из него А, и подставим значения, данные в условиях задачи:

ω = a 2 2 — a 1 2 v 1 2 — v 2 2 = 1 , 6 c — 1 .

Практическое применение математического маятника

С помощью математического моделирования динамических систем можно обнаружить схожесть динамических процессов в реальных физических, технических, биологических, химических и социально-экономических системах. Разработка моделей, позволяющих предсказывать время и другие характеристики периодических процессов в этих системах, является эффективным способом анализировать, например, сельскохозяйственные или производственно-экономические процессы.