Математическое моделирование при решении квадратных уравнений

урок по теме «Квадратное уравнение как математическая модель текстовой задачи»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Урок обобщение по теме «Квадратное уравнение как математическая модель текстовой задачи» 8 класс

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Квадратное уравнение как математическая
модель текстовой задачи

Учитель Худолеева Елена Владимировна

• Закрепить навыки решения квадратных уравнений
• Совершенствовать навыки составления уравнения по условию задачи

• развитие логического мышления, творческой деятельности учащихся;
• развивать умения применять теоретический материал при решении задач.
• развивать внимание и память, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
• прививать интерес к геометрии.
• способствовать развитию инициативы и самостоятельности в деятельности

• формировать навык анализа и оценки своей деятельности и деятельности своего товарища.
• способствовать приобретению учащимися навыков общения при совместной работе;
• активизировать их творческое мышление;
• воспитание познавательной активности учащихся.

Оборудование: интерактивная доска, ноутбуки, документ камера

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

• Актуализация опорных знаний;
• Индивидуальные опрос;
• Тренировочные упражнения;
• Тест;
• Решение задач;
• Тренировочные упражнения;
• Итог урока.

Здравствуйте ребята! Великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе:

«Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Мы с вами продолжаем решать квадратные уравнения.

Тема нашего сегодняшнего урока: Квадратное уравнение как математическая модель текстовой задачи.

1. Актуализация опорных знаний

— ответьте на вопросы (фронтально)

• Квадратным уравнением называют уравнение вида…
• Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
• Квадратное уравнение называют приведенным, если…
• Неполное квадратное уравнение – это уравнение…
• Решить квадратное уравнение – значит…

— задания к вопросам:

1. Какое из данных уравнений является квадратным?

а) 2х 2 — 3= 2х 2 -1х,

б) х 2 — 7х = 3х 2 +6,

2. Запишите коэффициенты квадратного уравнения:
7х – 6 — х 2 = 0

3.Запишите неприведенные квадратные уравнения

4. Запишите неполное квадратное уравнение, в котором только с=0

5. Решите выбранное квадратное уравнение.

Учащимся предлагаются задания трех уровней сложности

Решите неполное квадратное уравнение

Решите квадратное уравнение

Решите квадратное уравнение

х 2 -4х+3=0 д=4 х=1, х=3

4х 2 –4х+1 = 0. Д=0 х=0,5

Решите квадратное уравнение

1 способ: по формулам решения

квадратного уравнения (1 ученик у доски)

2 способ: графический у = х 2 -2х-3 (1 ученик на интерактивной доске)

3 способ: графический х 2 =2х+3 (1 ряд)

4 способ: графический х 2 -3= 2х (2 ряд)

5 способ: графический х-2= 3/х (3 ряд)

Проверка чертежей 1-3 ряда через документ камеру. Ответы: -1 и 3

1. Физкультминутка для глаз.
2. Проверка знаний.

Выполнение теста на ноутбуках в программе XL/

1. Решение задач

1. Найдите натуральное число, квадрат которого на 56 больше самого числа.

Решение: Пусть х – натуральное число, тогда х 2 – квадрат этого числа.

Д=(-1) 2 -4*(-56)=1+224=225=15 2

По смыслу задачи натуральное число равно 8

1. Длина прямоугольника на 8 см больше его ширины. Найдите стороны

прямоугольника, если его площадь равна 65 см 2 .

Решение: Пусть х см. – ширина прямоугольника, тогда х+8 длина.

По смыслу задачи ширина прямоугольника равна 5, тогда длина равна 13.

Ответ: 5 и 13 см.

1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел.

Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.

2 . Составьте уравнение к задаче, приняв за х большее из чисел.

Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа.

3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел.

Произведение двух последовательныхнатуральных нечетных чисел равно 575.

Найдите эти числа.

9. Итог урока. Рефлексивная минутка.

Человек … родился быть господином, повелителем, царем природы, но мудрость, с которой он должен править …, не дана ему от

рождения: она приобретается учением. Н.И.Лобачевский.

10. Домашнее задание № 24.29 №24.30

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок по теме «Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций» в 7 классе

Подобный урок может быть проведён с целью закрепления пройденного материала.

Урок алгебры в 9 классе по теме: «Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций»

Урок комплексного применения знаний и формирования обобщённых умений средствами системы интегративных познавательных задач по алгебре в 9 классе.

Урок «Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций»

План-конспект урока-практикума по теме «Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций».

Технологическая карта урока по алгебре 8 класс ««Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций»»

Научиться составлять математические модели реальных ситуаций, совершенствовать навыки решения задач, развивать логическое мышление, умение рассуждать и обобщать.

Интегрированный урок по алгебре в 9 классе Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Интегрированный урок в 9 классе по алгебре (и литературе) «Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций&quot.

Конспект урока: « Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций»

Цель урока: совершенствовать и систематизировать знания о математической модели, полученные обучающимися в 7 классе. В ходе урока ученики поделятся своими ассоциациями со словосочетанием «рациона.

Методическая разработка дистанционного урока в 7 классе на тему «Решение текстовых задач алгебраическим способом с помощью уравнения с двумя переменными.

Тип урока: урок открытия новых знанийЦель: пополнение знаний учащихся о решении задач с помощью уравнений, научить подбирать арифметическое или алгебраическое решение задачи.Задачи:Отрабатывать знания.

Курсовая работа: Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»

Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

Курсовая работа

по методике математики

Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе

1.1. Из истории возникновения квадратных уравнений 6

1.2. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры 12

1.3. Методика изучения квадратных уравнений 15

Глава 2. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений

2.1. Урок – лекция по теме «Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом» 23

2.2. Урок – практикум по теме «Квадратные уравнения» 28

2.3. Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения» в форме игры «Звездный час» 32

Список литературы 38

Сухие строки уравнений –

В них сила разума влилась.

В них объяснение явлений,

Вещей разгаданная связь.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.[10,241].

Автором данной работы выбрана тема «Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе», так как она актуальна в современном мире; это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений. К изучению темы «Квадратные уравнения» учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале данной темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Исходя из вышесказанного, автор, выбирая тему курсовой работы, руководствовался ее значимостью и сложностью при обучении учащихся решению квадратных уравнений разного вида.

Цель работы: формирование представлений о работе над квадратными уравнениями на уроках математики. Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

· изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению уравнений;

· проанализировать школьные учебники и выделить в них место уравнений.

· разработать уроки по данной теме.

Для решения вышеуказанных задач были изучены следующие литературные источники:

1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 287 с.

2) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.

3) Мордкович А.Г.. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.

4) Бекаревич А.Б. Уравнения в школьном курсе математики. – М., 2000. – 241с.

5) Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы. – М., 1982.

6) Колягин Ю.М. Методика преподавания математике в средней школе. Частные методики. – М.: Просвещение, 2002.

7) Маркушевич Л.А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. – 2001. — №1. – с.15

8) Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под ред. Н.Л.Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

9) Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. – М.,1999.- 398с.

10) Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение, 2003. – 368 с.

Проанализировав некоторые источники, можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе.

Объект исследования работы: процесс обучения математике.

Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса.

Контингент: учащиеся 8-го класса.

Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе

1.1. Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax 2 + bх = с, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

,

Бхаскара пишет под видом:

x 2 — 64x = — 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

x 2 — б4х + 32 2 = -768 + 1024,

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2 .

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]

Квадратные уравнения в Европе XII — XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x 2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.[5,12].

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

1.2. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры

Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:

· средства решения текстовых задач;

· особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;

· формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.[12,268]

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Названным областям относятся три основных направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры.

1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование (Математическое моделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, которая отображает через совокупность математических операций над величинами определенную гипотезу о структуре или воспитания). Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании. [14,246].

2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах:

· выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;

· изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом.

Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений.

3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь — двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений.

Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х 2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.[9,341]

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений , так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.[12,269]

Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры.

Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен. В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

1.3. Методика изучения квадратных уравнений

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г.Мордкович, С.М.Никольский, Ю.Н.Макарычев, М.И.Башмаков.

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

У р о к 1 (50)
Квадратное уравнение как математическая
модель текстовой задачи

Цели: ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:

а) 81 см 2 ; б) 0,49 дм 2 ; в) м 2 ;

г) м 2 ; д) 225 см 2 ; е) м 2 .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 3 х 2 – 7 х = 0; в) 2 х 2 – 1 = 0;

б) х 2 – 2 х + 1 = 0; г) х 2 + 3 х + 3 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5 х 2 + 14 х – 3 = 0; в) 7 х 2 + 8 х + 1 = 0;

б) х 2 – 2 х + 2 = 0; г) х – 3 х 2 – 2 = 0.

В а р и а н т 2

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 6 х 2 – 5 х = 0; в) 3 х 2 – 4 = 0;

б) х 2 – 4 х + 4 = 0; г) х 2 – 4 х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5 х 2 + 8 х – 4 = 0; в) 7 х 2 + 6 х – 1 = 0;

б) х 2 – 6 х + 11 = 0; г) 4 х – 3 х 2 – 2 = 0.

IV. Развивающее задание.

– Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

а) 1 и 3; б) и – ; в) 1 – ; 1 + .

V. Объяснение нового материала.

Объяснение следует начать с решения конкретной (с. 124 учебника) задачи. В процессе её решения учащиеся открывают н о в ы й ф а к т: корень уравнения, составленного по условию задачи, может не удовлетворять этому условию. В то же время полученные при решении квадратного уравнения два различных корня могут одновременно отвечать условию задачи. Поэтому возникает необходимость интерпретации полученного решения.

Важно, чтобы учащиеся осознали значимость новой ситуации и вместе с учителем чётко выделили этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).

3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.

4. Интерпретация полученного решения.

Четвёртый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нём следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи.

В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций:

1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. п.).

2) Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (н а п р и м е р, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).

3) Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (н а п р и м е р, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.).

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.

VI. Формирование умений и навыков.

Пусть х см – длина одного катета прямоугольного треугольника, тогда (23 – х ) см – длина второго катета. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и составляет 60 см 2 , составим уравнение:

· х · (23 – х ) = 60;

23 х – х 2 – 120 = 0;

х 2 – 23 х + 120 = 0;

D = (–23) 2 – 4 · 1 · 120 = 529 – 480 = 49; D > 0; 2 корня.

x ₁ = = 15;

x ₂ = = 8.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

В задаче встречается понятие «последовательные натуральные числа». Нужно убедиться, что учащиеся понимают, о чём идёт речь.

Пусть х см – ширина листа картона, тогда длина оставшейся части картона равна (26 – 2 х ) см, а её площадь равна х (26 – 2 х ) см 2 . Зная, что площадь оставшейся части картона равна 80 см 2 , составим уравнение:

26 х – 2 х 2 – 80 = 0;

D = (–13) 2 – 4 · 1 · 40 = 169 – 160 = 9; D > 0; 2 корня.

x ₁ = = 8;

x ₂ = = 5.

И н т е р п р е т а ц и я (чертёж в масштабе 1 : 2).

1-е р е ш е н и е:

2-е р е ш е н и е:

О т в е т: 5 см; 8 см.

5. № 568 (самостоятельное решение).

Пусть х – число рядов в кинотеатре, тогда ( х + 8) – число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · ( х + 8). Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:

D ₁ = 4 2 – 1 · (–884) = 16 + 884 = 900; D ₁ > 0; 2 корня.

x ₁ = –4 + = –4 + 30 = 26;

x ₂ = –4 – = –4 – 30 = –34 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 26 рядов.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что понимается под математической моделью текстовой задачи?

– Какие этапы решения задачи алгебраическим методом выделяют?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Приведите примеры, когда полученное решение противоречит условию задачи.

Домашнее задание: № 560, № 562, № 565, № 567.