Математическое уравнение для функции затрат

Выразить общую функцию валовых затрат цеха и найти их прогнозируемую величину

Страницы работы

Фрагмент текста работы

ФГОУ ВПО Рязанский государственный агротехнологический университет

им. П. А. Костычева

Кафедра «Бухгалтерского учета и аудита»

Лабораторная работа №1

По дисциплине «Бухгалтерский управленческий учет»

Выполнил: студент 5 курса

«Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

В сентябре в цехе № 18 при объеме производства 2000 ед. имели место затраты представленные в таблице 1.

Необходимо выразить общую функцию валовых затрат цеха и найти их прогнозируемую величину в октябре, когда объем выпуска составит 2200 ед.

Таблица 1. – Группировка издержек с учетом вариатора

Сумма затрат, руб.

Сырье и материалы

Топливо и энергия

Заработная плата рабочих с отчислениями

Заработная плата административно-управленческого персонала с отчислениями

Расходы на содержание оборудования

Вначале определяем функцию поведения затрат каждого вида частично переменных расходов. Это затраты сырья и материалов, топлива и энергии, амортизации средств труда и расходы на содержание оборудования.

По сырью и материалам переменная часть расходов составляет 90 %, т.е. 4950 * 0,9 = 4455 руб. или 4455 / 2 000 =2,23 руб./ед.

На постоянную часть этих расходов приходится 10 % или 4950 * 0,1 = 495 руб. Общая сумма материальных затрат может быть представлена формулой R₁ = 495 + 2,23x.

Аналогично определяем функции поведения и других частично переменных расходов. В итоге получается зависимость общей суммы валовых издержек производства от величины постоянных и переменных расходов. Оформим решение в виде таблицы.

Таблица 2. – Формула совокупных издержек

Сумма затрат, руб.

1. Сырье и материалы

2. Топливо и энергия

3. Заработная плата рабочих с отчислениями

4. Заработная плата администра-тивно-управ-ленческого персонала с отчислениями

6. Расходы на содержание оборудования

7. Арендная плата

Общая функция валовых затрат цеха имеет вид Rвал = 10479 + 6,43x, прогнозируемая величина валовых затрат цеха в октябре при объеме выпуска продукции 2 200 ед. составит: Rвал = 10479 + 6,43 * 2 200 =24625 руб.

За 9 месяцев текущего года на фирме «Альфа» наблюдался неравномерный выпуск продукции, а фактические затраты превышают нормативные. Данные об объемах выпуска и затратах представлены в таблице 11.

Фирма собирается довести объем выпускаемой продукции до определенного уровня (см. таблицу) изделий. Разделите затраты в зависимости от степени их переменности с помощью экономико-математических методов. Определите величину денежных средств, необходимых для выпуска запланированного объема продукции.

Таблица 3. – Объем выпуска продукции и затраты на ее производство

Суммарные затраты, руб.

Объем производства, шт.

Планируемый объем выпуска продукции

Вначале осуществляем выбор наибольшего и наименьшего значения суммарных затрат: Y_max = 6700; Y_min = 5026. Далее определяем соответствующие наибольшему и наименьшему значениям Y значения переменной Х, то есть объем производства продукции: X_max = 480; X_min = 391.

Далее в соответствии с формулой , рассчитываем значение коэффициента b, показывающего переменные издержки в расчете на 1 шт.продукции.

.

Для определения постоянной составляющей затрат используем формулу . Подставляя соответствующие значения, рассчитываем постоянную часть затрат а, не зависящую от объема производства.

Величина суммарных затрат представлена формулой:

Прогнозируемая величина затрат при выпуске продукции в 500 шт. составит:

Y = -2328,71+18,81*500=7076,29 (руб.)

Метод корреляции (графический метод)

Исходя из рисунка 1 получили уравнение суммарных затрат , которое рассчитывается в MS Excel. Используя полученное уравнение для расчета прогнозируемой величины затрат при выпуске продукции в 500 шт., получаем

Y = 13,107* 500 = 6553,5 (руб.)

Результаты построения постоянных и переменных затрат на графике самостоятельно представлены на рисунке 2.

На основании рисунка 2 можно определить величину постоянных затрат на уровне 500 руб. Тогда размер переменных затрат в расчете на 1 шт. продукции можно рассчитать как (на основании данных января):

Следовательно величина суммарных затрат может быть представлена формулой:

В этом случае прогнозируемая величина затрат при пробеге машин 66 тыс. км составит:

Y = 500 + 11,9 * 500 = 6450 (руб.)

Метод наименьших квадратов (регрессионный анализ)

Таблица 4. – Динамика суммарных затрат и объема производства продукции

Функции затрат: понятие, виды, примеры

Функция затрат отражает математическую зависимость между затратами и выпуском продукции. Она показывает, как изменяются затраты в ответ на изменения в объеме производства.

Связь между затратами фирмы и выпуском продукции может быть изучена с помощью таблиц затрат (которые показывают общие затраты, общие переменные затраты и предельные затраты для каждой единицы) или графиков, которые строят различные кривые затрат.

При этом функция затрат является наиболее компактным и прямым методом инкапсуляции информации о затратах фирмы.

Функции затрат обычно в качестве зависимой переменной имеют стоимость, а в качестве независимой переменной – выпуск (количество) продукции.

Такие функции затрат не учитывают каких-либо изменений в стоимости вводимых ресурсов, поскольку они предполагают фиксированные цены на них.

Виды функций стоимости

Типичные функции затрат бывают: (1) линейными, (2) квадратичными и (3) кубическими.

В линейной функции затрат показатель степени аргумента Q (количество) равен 1. Она подходит только для структур затрат, в которых предельные издержки постоянны.

Квадратичная функция затрат отражает структуру затрат, в которой средние переменные затраты имеют U-образную форму (в ней показатель степени независимой переменной равен 2).

Кубическая функция (в ней показатель степени независимой переменной равен 3) затрат позволяет построить U-образную кривую предельных издержек. Функция затрат в приведенном ниже примере является кубической функцией затрат.

Функция общих затрат является наиболее фундаментальной зависимостью между затратами на выпуск продукции, поскольку функции для других затрат, таких как переменные затраты, средние переменные затраты и предельные издержки и так далее, могут быть получены из функции общих затрат.

Пример

Представьте, что вы работаете в фирме, чья функция общих затрат (TC) выглядит следующим образом:

TC = 0.1Q 3 – 2Q 2 + 60Q + 200

Средняя функция общих затрат может быть получена путем деления функции общих затрат на Q:

ATC = TC/Q = 0.1Q 2 – 2Q + 60 + 200/Q

Постоянное значение в функции общих затрат представляет собой общую фиксированную стоимость. Функция для общей переменной стоимости может быть получена путем вычитания постоянного значения из функции общей стоимости:

VC = TC – FC

VC = 0.1Q 3 – 2Q 2 + 60Q

Функция средних переменных издержек составляет результат деления общих переменных затрат на Q:

AVC = VC/Q = 0.1Q 2 – 2Q + 60

Предельные издержки равны наклону кривой общих издержек, которая, в свою очередь, равна первой производной функции общих издержек.

MC_Q = dTC/dQ = 0.3Q 2 – 4Q + 60

Функции затрат можно использовать для создания таблиц затрат и кривых затрат. Подключив различные уровни количества в функции затрат, определенные выше, мы можем создать таблицу затрат, которая может быть использована для построения кривых затрат.

Кривые общей стоимости и общей переменной стоимости, представленные функциями, рассмотренными выше, дают следующий график:

Поскольку функция общих затрат является кубической функцией, кривая средних переменных затрат и кривая предельных затрат имеют U-образную форму, как показано ниже:

Метод наименьших квадратов.

При использовании графического метода берутся все данные за исследуемый период, все точки наносятся на график и заполняется корреляционное поле. Затем визуально проводится линия совокупных затрат, которая пересекаясь с осью ординат, показывает величину общих издержек в общей сумме затрат [6,24].

На практике очень часто пользуются более простым методом разделения затрат на по­стоянные и переменные — методом высшей и низшей точек. Его сущность заключается в том, что изучаются данные за определенное время, в котором выделяются периоды с максимальным и мини­мальным объемами производства, и определяется отклонение в объемах производства (∆Х) по формуле:

где X_max, X_min — объем производства соответственно в

максимальной и минимальной точках.

Затем рассчитывается отклонение в затратах (∆3) на производ­ство в тех же периодах (максимального и минимального объемов производства) по формуле:

где З_mах, З_min— затраты соответственно в максимальной

и минималь­ной точках.

Рассчитав данные величины, можно определить ставку перемен­ных затрат на единицу продукции С:

Зная ставку переменных расходов на единицу продукции, объем производства (максимальный или минимальный) и совокупные затраты в исследуемом периоде, можно найтиусредненное значение по­стоянных затрат в данном периоде:

где а — постоянные затраты в определенный

Y — совокупные затраты в исследуемом периоде;

b — переменные затраты на единицу продукции

(ставка переменных расходов на единицу

X — объем производства в исследуемом периоде.

Подставляя рассчитанные значения постоянных, переменных затрат и разные значения объема производства в формулу (1.2), можно получать информацию о предполагаемом размере совокуп­ных затрат, которые должно произвести предприятие, чтобы выпус­тить запланированный объем продукции. На основе этой же форму­лы можно построить график зависимости совокупных затрат от объема производства, что позволит более наглядно представить перспективы производства. Особенность построенного графика со­стоит в том, что он пересекает ось, показывающую изменение за­трат, в точке, соответствующей значению постоянных затрат. Но не следует забывать, что, используя в исходных расчетах изменения объемов производства и затрат, мы получим приблизительные дан­ные о совокупных затратах.

При разделении затрат на постоянные и переменные нужно помнить, что переменные затраты изменяются пропорционально уровню деловой активности. Значит, увеличение объема производ­ства в несколько раз повлечет за собой увеличение размера пере­менных затрат в такое же количество раз. Но важно понимать и то, что совокупные переменные затраты зависят от объема производст­ва, а переменные затраты на единицу продукции — это постоянная величина [24].

Пример

Рассмотрим метод «мини-макси», используя следующие данные.

Переменные затраты на единицу = Разность затрат / Разность объемов продукции » 3,14 руб.

Определив, что переменные затраты составляют 3,14 руб. на единицу, мы можем определить величину постоянных затрат. Для этого используем исходные данные о максимальном или минималь­ном объемах производства. Постоянные затраты а рассчитываются вычитанием переменных затрат при соответствующем объеме из общей суммы затрат.

а = 512 — 3,14 х 24 = 512 — 75,36 = 436,64 » 437.

Отсюда формула затрат для нашего примера:

Заметим, что формула вычисления затрат по методу «мини-макси» справедлива только в области релевантности (область релевант­ности — диапазон, в пределах которого сохраняется определенная модель поведения затрат) и может не дать нужных результатов вне этой области. Метод «мини-макси» прост в применении, но его не­достаток заключается в том, что для определения затрат использу­ются только две точки. В общем же случае двух точек недостаточно для определения зависимости и расчета сумм затрат. В частности, периоды, в которых объем производства был необычайно низким или высоким вследствие различных причин (отсутствия сырья, про­стоя оборудования, поломки, т.е. случайные точки), могут исказить общую картину, поэтому для более точного расчета величины за­трат используют методы, основанные на большом количестве на­блюдений за поведением затрат.

Для установления зависимости между затратами и объемом про­изводства и определения суммы затрат используют методы матема­тической статистики, в частности метод наименьших квадратов (МНК). Дифференциация затрат с помощью МНК дает наиболее; точные результаты. Согласно этому методу прямая затрат строится таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений расстояний от всех точек до теоретической линии регрессии была бы минималь­ной. Функция Y = a + bХ, отражающая связь между зависимой и независимой переменными, называется уравнением регрессии, а и b — параметры уравнения.

Применительно к задачам управления затратами функция Y в этом уравнении — зависимая переменная (общая сумма затрат, сме­шанные затраты); а — общая сумма постоянных затрат; b — пере­менные затраты на единицу продукции; X — независимая перемен­ная (объем производства).

Математический аппарат МНК описан достаточно подробно в специальной литературе. Итак, сумма квадратов отклонений факти­ческих значений функции Y от значений, найденных по уравнению регрессии, должна быть наименьшей:

где Уф — фактические значения;

Y_i — расчетные значения, вычисляемые по заданной

Это условие приводит к системе нормальных уравнений, реше­ние которых позволяет определить параметры уравнения регрессии. Эти уравнения имеют вид:

åху = aåx + båx 2 ;

где х — объем производства;

у — совокупные затраты;

п — количество наблюдений.

Алгоритм решения следующий.

Шаг 1. Рассчитываются åx; åy; åxy; åx 2 и п.

Шаг 2. Рассчитанные величины подставляются в уравнения.

Шаг 3. Система уравнений решается относительно одного из па­раметров, обычно параметра b, т.е. переменных затрат на единицу продукции.

Шаг 4. Зная один из параметров, находим другой, т.е. а или по­стоянные затраты [24].

По степени управляемостизатраты делятся на релевантные и нерелевантные.

Релевантные затраты – затраты, отличающие одну альтернативу от другой, т.е. которые изменяются в результате принятия управленческого решения. Они учитываются при принятии решений.

Нерелевантные затраты – это затраты, которые от принятого решения не зависят.

Бухгалтер-аналитик, представляя руководству предприятия исходную информацию для выбора оптимального решения, готовит свои отчеты таким образом, чтобы они содержали только релевантную информацию ( рис. 1.4).

Рис. 1.4 Разделение затрат на релевантные и нерелевантные

Область релевантности – это диапазон, в пределах которого сохранятся определенная модель поведения затрат

Пример

Предприятием А, реализующим продукцию на внешнем рын­ке, впрок были закуплены основные материалы на сумму 500 руб. Впослед­ствии в связи с изменением технологии выяснилось, что для собственного производства эти материалы малопригодны. Произведенная из них продук­ция окажется неконкурентоспособной на внешнем рынке. Однако российс­кий партнер готов купить у данного предприятия продукцию, изготовлен­ную из этих материалов, за 800 руб. При этом дополнительные затраты предприятия А по изготовлению продукции составят 600 руб. Целесообраз­но ли принимать подобный заказ?

В данном случае сравниваются между собой две альтернативы: не при­нимать или принимать заказ.

Истекшие затраты по приобретению материалов в сумме 500 руб. уже состоялись и не зависят оттого, какой вариант будет выбран. Они не влияют на выбор решения, не являются релевантными и потому могут не учиты­ваться при принятии решения. Сравним альтернативы по релевантным по­казателям (табл. 1.3).

Видно, что, выбрав альтернативу II, предприятие А уменьшит свой убы­ток от покупки ненужных ему материалов на 200 руб., сократив его с 500 до 300 руб.

Безвозвратные затраты – это затраты, которые возникли в результате принятого ранее решения и которые не могут быть изменены никаким решением в будущем.Это истекшие затраты, которые не могут быть изменены никакими управленческими решениями.

Из предыдущего примера видно, что 500 руб. — безвозврат­ные затраты. Безвозвратные затраты не учитываются при принятии решений.

Однако не всегда не принимаемые в расчет при оценках затраты явля­ются безвозвратными. Так, в результате двух альтернативных методов производства может оказаться, что суммы затрат на основные материалы одинаковы для обоих методов, т.е. при выборе варианта затраты на основные материалы можно отнести к категории нерелевантных. Но они не безвозвратные, поскольку будут отнесены ( или не будут понесены, если мы отклоним решение) только в дальнейшем.

Вмененные (воображаемые) затраты в результате принятого альтернативного решения характеризуют возможность, которая потеряна или которой жертвуют, в результате выбора.

По существу это упущен­ная выгода предприятия.

Печь хлебопекарни работает на полную мощность в три сме­ны и за неделю выпускает батонов нарезных на 10 тыс. руб. Оптовый поку­патель предлагает пекарне новый недельный заказ по выпечке сдобы, что повлечет за собой дополнительные переменные затраты на сумму 3 тыс. руб. Какой должна быть минимальная цена договора?

Приняв заказ, пекарня откажется от дохода в 10 тыс. руб., получаемого ранее от выпечки батонов, т.е. по существу понесет убытки на 10 тыс. руб. Эту сумму предприятию необходимо учесть при обсуждении условий дого­вора. Цена договора не может опуститься ниже 13 тыс. руб. (10 + 3). При этом 10 тыс. руб. — вмененные (воображаемые) затраты, или упущенная выгода предприятия.

Необходимо иметь в виду, что данная категория затрат применима лишь в случае ограниченности ресурсов, в приведенном примере — при полной загрузке производственных мощностей. Если бы хлебопекарная печь была недогружена и работала с простоями, о вмененных затратах речь бы не шла.